高中数学第二章数列2_3_2等比数列的前n项和二课件新人教b版必修5

2 3 2等比数列的前n项和 二 第二章 2 3等比数列 1 熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题 2 会用错位相减法求和 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一等比数列前n项和公式的函数特征 若数列 an 的前n项和Sn 2n 1 那么数列 an 是不是等比数列 若数列 an 的前n项和Sn 2n 1 1呢 答案 梳理 当公比q 1时 设A 等比数列的前n项和公式是Sn A qn 1 当公比q 1时 因为a1 0 所以Sn na1 Sn是n的正比例函数 知识点二等比数列前n项和的性质 设 an 的公比为q 则Sn a1 a2 an S2n Sn an 1 an 2 a2n a1qn a2qn anqn qnSn S3n S2n a2n 1 a2n 2 a3n an 1qn an 2qn a2nqn qn S2n Sn Sn S2n Sn S3n S2n成等比数列 公比为qn 思考 若等比数列 an 的前n项和为Sn 则Sn S2n Sn S3n S2n成等比数列吗 答案 梳理等比数列 an 前n项和的三个常用性质 1 数列 an 为公比不为 1的等比数列 Sn为其前n项和 则Sn S2n Sn S3n S2n仍构成等比数列 2 若 an 是公比为q的等比数列 则Sn m Sn qnSm n m N 3 若 an 是公比为q的等比数列 S偶 S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和 则 在其前2n项中 q 在其前2n 1项中 S奇 S偶 a1 a2 a3 a4 a2n a2n 1 q 1 知识点三错位相减法 在等式两端乘以公比 两式会出现大量的公共项 通过相减消去即可 思考 在上一节 我们是如何求公比不为1的等比数列 an 的前n项和Sn a1 a2 an的 答案 梳理如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 anbn 的前n项和时 一般使用如下方法 Sn a1b1 a2b2 anbn qSn a1b1q a2b2q anbnq a1b2 a2b3 anbn 1 得 1 q Sn a1b1 a2 a1 b2 a3 a2 b3 an an 1 bn anbn 1 a1b1 d b2 b3 bn anbn 1 上述方法称为 错位相减法 题型探究 类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用 例1已知数列 an 的前n项和Sn an 1 a是不为零且不等于1的常数 则数列 an A 一定是等差数列B 一定是等比数列C 是等差数列或等比数列D 既非等差数列 也非等比数列 当n 2时 an Sn Sn 1 a 1 an 1 当n 1时 a1 a 1 满足上式 an a 1 an 1 n N a 数列 an 是等比数列 答案 解析 1 已知Sn 通过an 求通项an 应特别注意n 2时 an Sn Sn 1 2 若数列 an 的前n项和Sn A qn 1 其中A 0 q 0且q 1 则 an 是等比数列 反思与感悟 跟踪训练1若 an 是等比数列 且前n项和为Sn 3n 1 t 则t 显然q 1 此时应有Sn A qn 1 答案 解析 类型二等比数列前n项和的性质 命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项 前2n项 前3n项的和分别为Sn S2n S3n 求证 Sn S2n S3n 证明 方法一设此等比数列的公比为q 首项为a1 当q 1时 Sn na1 S2n 2na1 S3n 3na1 方法二根据等比数列的性质Sm n Sm qmSn 有S2n Sn qnSn Sn 1 qn S3n Sn qnSn q2nSn 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1 运用等比数列的前n项和公式 要注意公比q 1和q 1两种情形 在解有关的方程 组 时 通常用约分或两式相除的方法进行消元 2 灵活运用等比数列前n项和的有关性质 反思与感悟 跟踪训练2在等比数列 an 中 已知Sn 48 S2n 60 求S3n 解答 因为S2n 2Sn 所以q 1 命题角度2不连续n项之和问题 a2 a4 a6 a8 a1q a3q a5q a7q q a1 a3 a5 a7 答案 解析 注意观察序号之间的联系 发现解题契机 整体思想能使问题解决过程变得简洁明快 反思与感悟 跟踪训练3设数列 an 是以2为首项 1为公差的等差数列 数列 bn 是以1为首项 2为公比的等比数列 则ba1 ba2 ba3 ba6 是首项为b2 公比为2的等比数列 27 2 答案 解析 2 类型三错位相减法求和 解答 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 anbn 的前n项和时 可采用错位相减法 反思与感悟 跟踪训练4求和 Sn x 2x2 3x3 nxn x 0 当x 1时 Sn 1 2 3 n 当x 1时 Sn x 2x2 3x3 nxn xSn x2 2x3 3x4 n 1 xn nxn 1 1 x Sn x x2 x3 xn nxn 1 解答 当堂训练 设最底层所点灯的盏数为a1 1 一个七层的塔 每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍 一共点381盏灯 则最底层所点灯的盏数是A 190B 191C 192D 193 答案 解析 1 2 3 4 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 方法二当n 1时 a1 S1 x 当n 2时 an Sn Sn 1 2x 3n 2 an 是等比数列 n 1时也应适合an 2x 3n 2 即2x 3 1 x 解得x 由题意得S7 S14 S7 S21 S14组成等比数列48 12 3 即S21 S14 3 S21 63 1 2 3 3 一个等比数列的前7项和为48 前14项和为60 则前21项和为A 180B 108C 75D 63 4 答案 解析 当n 1时 a1 S1 3 k 当n 2时 an Sn Sn 1 3n k 3n 1 k 3n 3n 1 2 3n 1 由题意知 an 为等比数列 所以a1 3 k 2 k 1 1 2 3 4 4 在数列 an 中 an 1 can c为非零常数 且前n项和为Sn 3n k 则实数k 1 答案 解析 规律与方法 1 在利用等比数列前n项和公式时 一定要对公比q 1或q 1作出判断 2 等比数列前n项和中