利用MATLAB图形技术实现麦克斯韦速度分布律教学可视化.doc

第 5 期第 14 卷 第 5 期2012 年 10 月黄 山 学 院 学 报Journal of Huangshan UniversityVo1.14,NO.5Oct.2012利用 MATLAB 图形技术实现麦克斯韦速度分布律教学可视化叶剑锋（黄 山 学 院 信 息 工 程 学 院 ，安 徽 黄 山 245041）摘 要 ：麦 克斯 韦 分 布 律是 热 学 气体 分 子 动 理 论 的 难 点 ，其 数 学 表 达式 抽 象 复 杂 ，教 学 中 不 便精 确 计 算和准确 绘制分布曲 线面。 利用 MATLAB 绘图功能，对 麦氏分 布 率 编 程 ，绘 制了 同 一 温度 下 不 同 气体 、同 种 气体在不同温度下的分 布 曲线面。关键词 ：MATLAB；麦克斯韦速度分 布律中图分类号 ：O55,G642文献标识码 ：A文章编号 ：1672-447X(2012)05-0105-04麦 克 斯 韦 速 度 （速 率 ）分 布 律 是 热 学 气 体 动 理论 教 学 中 的 很 重 要 的 内 容 ， 是 研 究 气 体 分 子 热 运 动 、 气 体 分 子 碰 撞 及 其 气 体 输 运 过 程 的 理 论 依 据 。 但 其 速 度 分 布 函 数 和 速 率 分 布 函 数 分 别 是 速 度 分 量 的 三 元 高 斯 函 数 和 速 率 的 一 元 高 斯 函 数 与 速 率 的 二 次 函 数 的 乘 积 ，函 数 关 系 比 较 复 杂 。 而 且 随 着 不 同 的 气 体 及 所 处 平 衡 态 温 度 的 变 化 ， 速 度 、 速 率 分 布 的 精 确 计 算 和 分 布 曲 面 、曲 线 的 精 确 绘 制 变 得 比较繁 杂而不易操 作 。 以往的 热学教学中 教师往往都代之以草 图 ，降低了科 学性 。 本文用 MATLAB 绘 图 和 模 拟 能 力 用 于 麦 克 斯 韦 速 度 （速 率 ）分 布 函 数的教学和研 究中 ，提高 了教学效果 。度 区 间 内 的 分 子 数 ；m 为 单 个 分 子 的 质 量 ；k 为 玻 尔兹 曼常数 ；T为气 体处于平 衡态时的热 力学温度 。当 只 考 虑 速 度 的 大 小 而 不 考 虑 速 度 的 方 向 时 ，速 度分布率蜕 化为速率 分布律 ，可表 述为 ：在 平 衡 状 态 下 ，当 气 体 分 子 间 的 相 互 作 用 可 以 忽 略时 ，分布在 任意速率 区间 v-v+dv 内的 分 子 数 比率为2 2 2 dN =4( m )3/2 e-m(vx +vy +vz )/2k Tdv2dv=f(v)dv（2）N2kT（1），（2）两式中f(vx ，vy ，vz )=f(vx)f(vy)f(vz)2 2 2=( m 3/2 -m(vx +vy +vz )/2k2kT )eT（3）2 2 23/2 -m(vx +vy +vz )/2k) eTv2m1麦克斯韦速 度 （速率）分布 律f(v)=4(（4）2kT分 别 称 为 麦 克 斯 韦 速 度 分 布 函 数 和 速 率 分 布函 数 ，其 物 理 意 义 分 别 表 示 分 布 在 单 位 速 度 区 间 或麦 克 斯 韦 速 度 分 布 律 是 在 平 衡 状 态 下 ，当 气 体分 子 间 的 相 互 作 用 可 以 忽 略 时,分 布 在 速 度 区 间 vx- vx+dvx，vy-vy+duy，vz-vz+dvz 内的分子比 率为单位速率 区间内的分 子数比率 。12 2 22基于 MATLAB 的麦氏 分布律的可 视化 dN m 3/2 -m(vx +vy +vz )/2kN =( 2kT )eTdvxdvydvz2.1不同气体在同一温度下的麦克斯韦速度分布律利 用 MATLAB 编 程 模 拟 氢 气 、氮 气 、氧 气 和 二=f(vx )f(vy )f(vz )dvx dvy dvz（1）其 中 N 为 气 体 分 子 总 数 ；dN 为 分 布 在 上 述 速收 稿 日 期 ：2012-03-22作 者 简 介 ：叶 剑 锋 （1981），安 徽 休 宁 人 ，黄 山 学 院 信 息 工 程 学 院 助 教 ，硕 士 ，研 究 方 向 为 核 技 术 及应 用 。氧 化 碳 在 同 一 温 度 （T=300K）时 的 麦 克 斯 韦 速 度 分布函数 曲面 ，程序如 下:k=1.38e-23; T=300;fori=1:4m=3.35e-27,4.648e-26,6.03e-26,7.37e-26;x=-1000:1:1000; y=-1000:1:1000; xx,yy=meshgrid(x,y);ff=m(i)/(2*k*T).*exp(-m(i)*xx.2/(2*k*T).*exp(-m(i)*yy.2/(2*k*T); figure,meshc(xx,yy,ff); colormap(default);colorbaraxis tight;title(f?v_x,v_y?),xlabel(v_x), ylabel(v_y),zlabel(fv_x,v_y)end图 1 只展示了 f(vx ，vy ）随速度 分 量 vx ，vy 变 化 的曲 面 ，完 整 速 度 分 布 函 数 f（vx ，vy，vz）=f（vx ）f（vy）f（vz） 应 是 个 四 维 形 式 ，即 f（vx ，vy，vz）随 3 个 速 率 分 量 vx ， vy，vz 变 化 ，但 四 维 无 法 用 坐 标 形 式 标 出 。 同 样 可 以 做 出 f（vx ，vz），f（vy，vz），分 布 面 ，利 用 速 度 分 布 函 数 f（vx ，vy）随 速 度 vx ，vy 分 量 变 化 的 三 维 情 形 即 可 以 联想到四维情 形 。22.2同一气体在不同温度下的麦克斯韦速度分布律利 用 MATLAB 同 样 绘 制 出 氢 气 在 温 度 为300K、600K、900K、1200K 时 的 麦 克 斯 韦 速 度 分 布 函 数曲面如 图 2 所示，程序 如下 ：k=1.38e-23; m=3.35e-27; for i=1:4T=300,600,900,1200;x=-1000:2:1000; y=-1000:2:1000; xx,yy=meshgrid(x,y);ff =m/(2*k*T (i).*exp (-m*xx.2/(2*k*T (i).*exp (- m*yy.2/(2*k*T(i);figure,meshc(xx,yy,ff);colormap(default);colorbaraxis tight;title(f?v_x,v_y?),xlabel(v_x), ylabel(v_y),zlabel(fv_x,v_y)end虽 然 不 同 温 度 下 的 曲 面 形 式 不 变 ，但 是 通 过 观 察 f（vx ，vy）轴 可 见 相 同 的 vx ，vy 时 ， f（vx ，vy）值 会 随着温度提 升而增加 。图 3 同一温度下不同气体的速率分布函数 第 5 期 叶 剑 锋 ：利 用 MATLAB 图 形 技 术 实 现 麦 克 斯 韦 速 度 分 布 律 教 学 可 视 化 107图 2 同一气体在不同温度下速度分布函数 2.3不同气体同 一温度下的 麦克斯韦速 率分布律麦 克 斯 韦 速 率 分 布 函 数 f（v）是 一 个 二 维 形 式 。 图 3 为氢 气 、氮气 、氧气 和二氧化 碳等 4 种气体 在相 同 的 温 度 （T=300K）时 的 麦 克 斯 韦 速 度 分 布 函 数 曲 线，程序 为 ：T=300;hold onplot(v,f3) hold on plot(v,f4) gridlegend(H_2,N_2,O_2,CO_2)xlabel(v/(m/s),ylabel(f/(v)由图 3 可以清 晰的看到由 于分布函数 满足归一 化 结 果 ， 随 着 气 体 分 子 量 的 增 大 ， 其 统 计 速 率 变 化 的 趋 势 递 减 ， 速 率 分 布 的 密 度 加 重 ， 其 最 可 几 速 率 减小 。k=1.38e-23v=0:10:5000;m1=3.35e-27;m2=4.648e-26; m3=6.03e-26; m4=7.37e-26;f1 =4*pi* (v.2).* (m1/(2*pi*k*T)1.5.*exp (-m1* (v.2)/(2*k*T)f2 =4*pi* (v.2).* (m2/(2*pi*k*T)1.5.*exp (-m2* (v.2)/(2*k*T)f3 =4*pi* (v.2).* (m3/(2*pi*k*T)1.5.*exp (-m3* (v.2)/(2*k*T)f4 =4*pi* (v.2).* (m4/(2*pi*k*T)1.5.*exp (-m4* (v.2)/(2*k*T) plot(v,f1) holdon plot(v,f2)2.4同一气体在不同温度下的麦克斯韦速率分布律图 4 同一气体在不同温度下速率分布函数 同 一 气 体 氢 气 在 不 同 温 度 （300K、600K、900K1200K） 时 的 麦 克 斯 韦 速 度 分 布 函 数 曲 线 如 图 4 所 示 ，程序为 ：m=3.35e-27; k=1.38e-23; v=0:10:8000 ; T1=300T2=600T3=900T4=1200;f1 =4*pi* (v.2).* (m/(2*pi*k*T1)1.5.*exp (-m* (v.2)/(2*k*T1)f2 =4*pi* (v.2).* (m/(2*pi*k*T2)1.5.*exp (-m* (v.2)/(2*k*T2)f3 =4*pi* (v.2).* (m/(2*pi*k*T3)1.5.*exp (-m* (v.2)/(2*k*T3)f4 =4*pi* (v.2).* (m/(2*pi*k*T4)1.5.*exp (-m* (v.2)/(2*k*T4) plot(v,f1,v,f2,v,f3,v,f4) holdongrid legend(300K,600K,900K,1200K) xlabel(v/(m/s),ylabel(f/(v)图 4 清 晰 显 示 ， 随 着 温 度 的 上 升 ， 氢 气 的 最 可几 速 率 增 加 ， 在 归 一 化 条 件 的 约 束 下 ， 其 速 度 变 化3结束语结 合 MATLAB 编 程 绘 图 功 能 ， 讨 论 了 同 种 气体 在 不 同 温 度 下 及 其 不 同 气 体 在 同 一 温 度 下 的 麦 克 斯 韦 速 度 （速 率 ）的 可 视 化 ，能 够 使 抽 象 的 麦 克 斯 韦 速 度 （速 率 ）分 布 规 律 ， 变 得 具 体 、形 象 、生 动 ， 易于让学生 掌握速 率 分 布 曲 线 具 体 内 容 ；MATLAB 为 热 学 教 学 提 供 了 简 捷 直 观 的 途 径 ，便 于 学 习 者 对 于物理的原理 、概念、公式和 图像作深 入了解 。4参 考 文 献 ：1秦 允 豪.热 学M.北 京:高等教育出版社,2004：58-63.2彭 芳 麟.数学物理方程的 MATLAB 解 法 与 可 视 化 M.北 京 :清华大学出版社,2004:85-153.3王 向 贤,朱 浩 瑞.基 于 MATALB 的麦克斯韦速率分布函数的 数 字 化 教 学J.宜 春 学 院 学 报 ，2011,33(4):17-19.4王 明 美.MATALB 在麦克斯韦速率分 布律教学中的应用 J.合肥师范学院学报,2010,28(6):40-42.责 任 编 辑 ：胡 德 明趋势 增加 。3Simulation of the Maxwell-Boltzmann Distribution Law by MATLAB TechnologyYe Jianfeng(School of Information Engineering，Huangshan University，Huangshan245041，China)Abstract: Maxwell-Boltzmann distribution law is a tough nut in gas movement theory. As the equation form is rather complicated, its inconvenient to make accurate accounting or draw a distri