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内蒙古师范大学本科毕业论文 微磁学模拟的研究进展胡日查（学号：20082116025）（物理与电子信息学院 物理专业2008蒙班 内蒙古 呼和浩特 010022）指导教师：那日苏摘要：本论文首先介绍了微磁学模拟的基本理论，讨论了布朗静态方程和基于Landau-Lifshitz方程的动力学过程模拟。在此基础上，介绍了微磁学模拟的研究现状，分别介绍了薄膜磁性材料的模拟、硬磁体系的模拟以及应力下的薄膜磁性单元的模拟等。关键词：微磁学，应力，磁化强度1 引言随着以磁性传感器、磁记录磁头及磁机电器件为代表的磁性器件向微型化、薄膜化方向发展，以及以薄膜和半导体工艺技术为基础的磁电子学的兴起，对磁性材料的磁行为进行更为细致的研究，了解微米尺度下的磁化过程愈显得重要。2 微磁学基本理论2.1微磁学概述 现代微磁学理论起源于Landau和Lifshitz在1935年发表的一篇关于研究反平行排列的磁畴之间的畴壁结构的论文。微磁学(micromagnetic)一词是由Brown在1963年提出，它是关于磁性材料的磁化和反磁化过程的第一原理。2.2微磁学基本能量公式微磁学理论处理磁化过程是从总的磁吉布斯自由能开始的，磁吉布斯自由能包括磁各向异性能、铁磁交换能、静磁能和磁势能。对铁磁体如果忽略外应力的影响，即不考虑磁弹性能，则总自由能 为 (1)其中，是磁各向异性能，是铁磁交换能，是静磁能(退磁场能)，是磁势能(外磁场能)。磁各向异性能使磁化强度矢量沿某一方向取向，铁磁交换能使磁矩互相平行，静磁能起源于表面的磁偶极子，它有助十磁畴的稳定存在，磁势能的作用是旋转磁化强度矢量使其平行于外磁场方向。下面给出各能量项积分形式的计算表达式:2.2.1 交换能采用海森堡交换模型的交换能通常写为如下形式 (2)其中为交换积分，可通过量子力学方法计算而得。为自旋算符。由于随原子间距离的增加而急剧减小，因此上式中的积分可仅对近邻原子进行，从而可写为。假如以经典矢量形式代替上式中的算符并重写点乘形式，交换作用能可写为 (3)假设使用连续变量来代表磁矩，对很小的角度可得 其中是从点i到j的位置矢量。从而,交换能可写为 (4)将对i的求和改为对整个铁磁体的积分，则立方晶体交换作用能的表达式为 (5)交换常数A可写为:。其中a为相邻格点之间的距离，c为晶胞原子数，对单立方晶体结构材料c =1，体心立方晶体结构材料c =2，面心立方晶体结构材料c=4。2.2.2各向异性能 磁晶各向异性能与交换能相比通常很小。但是磁矩的方向却由各向异性决定，因为交换能只使得磁矩相互平行而不管其平行的方向。 在六角晶体中，磁晶各向异性能仅仅是磁化方向与易磁化轴(c轴)之间的夹角的函数。实验表明，各向异性能相对十基平面(ab平面)是对称的，故各向异性能密度，的幂级数展开式中的奇次项可忽略，只取前两项可得 （6） 其中z平行于c轴。由实验可知，在大多数场合是可忽略的。若0, c轴是易磁化方向，这意味着c轴所对应的能量是极小值。若0, c轴是难磁化方向，易磁化平面与其垂直。2.2.3退磁能 在静磁问题中，没有电场E或传导电流少。因此， (7) (8)磁感应强度可写为。(6)式的一个通解可写为 (9) 其中U是标量磁势。将和的表达式代入式(9)可得 在磁体内: (10)在磁体外: (11) 上述方程组求解时须在磁体表面上满足边界条件 ， (12)其中为垂直于磁体表面的单位向量，其方向以垂直磁体表面向外为正。 退磁能源自于经典的磁偶极子之间的相互作用，由于这种作用存在于很大的范围内，属于长程作用，因此静磁能的计算是最为困难的。2.2.4外磁场能磁化强度为的区域与外磁场，的相互作用能为 (13)由于Maxwell方程组的线性性，叠加原理允许该项能量可进行简单叠加。2.2.5磁应力能应力能谜底为： （14）2.3布朗静态方程 布朗提出了变分的方法，他假设仅磁化矢量的方向有一微小变化，而不是磁化矢量分布函数的任意微小变化。在能量的局部最小点，变分所得线性项的系数应该为零。合理地运用变分原理，可得到布朗方程组（矢量形式） （15）定义有效磁场为： （16）2.4磁化强度运动方程布朗方程组只能给出系统平衡时的磁矩的分布情况(静态)。如果需要研究磁矩分布的动态特性及磁矩随时间的变化特性，则需考虑磁矩在磁场进动情况。 从描述在有效磁场中进动的量子力学表达式可直接得到磁化强度随时间变化的动态方程 (17)其中: g 为旋献,g为Land因子，是电子的质量。 Brown方程组可看作式(16)的一个特殊情况，即磁化强度不随时间变化，达到静态平衡的状态。此处边界条件与静态情况下相同。图 1. 磁化强度进动式(16)表征磁化强度的无阻尼进动，如图2-1所示，即进动能永久地进行下去。但是实验表明，在有限的时间内磁化强度的变化会衰减。目前只能唯像地加一阻尼项。Gilbert将式（17）修正为下列形式 (18)其中是无量纲的阻尼因子。用点乘上式两端，再计算与上式的矢量积，将矢量积代回上式整理可得以Landau-Lifshitz形式的阻尼进动方程（以Gilbert形式表示，简称LGG方程） （19）其中。（18）和（19）两种表达式在数学上是等效的。如果阻尼系数比较小，物理解释也没有大的差别。不过再大阻尼场合，由于某些实际的理由，倾向于使用Gilbert的表达式。数值求解微分方程（18）或（19）便可得到磁化强度矢量随时间变化的动态分布情况。3近期进展微磁学数值模拟基于布朗方程和LLG方程，利用高速计算机对材料上各网格的磁矩进行静态和动力学求解，目前较为成熟的计算程序有OOMMF、LLGSimulator 和FastMag 等，在材料上的网格划分方面有方格子和三角格子，下面我们介绍环期利用微磁模拟研究磁性材料的新进展。3.1方法研究进展3.1.1微磁学计算在磁性材料中的应用 早期的微磁学计算机模拟与设计应用于畴壁计算领域。最近随着计算机技术的高速发展，其应用范围已延伸到计算单畴粒子的磁化反转过程，研究磁记录头材料中封闭畴的畴转行为，分析磁阻，巨磁阻磁头的性能研究磁性隧道结的磁畴结构，模拟微观结构与块材磁性材料内磁参数的关系等。3.1.2磁记录介质材料领域的应用 Zhu和Bertam首先在研究垂直记录介质过程中提出了一个微磁模型，在该模型依赖CoCr介质薄膜的晶粒结构，它由二角点阵上封闭的六角柱状单元的二维阵列表示薄膜，其每个六角柱状形表示一个晶粒，并假设在每个晶粒内由强铁磁交换作用能引起的磁化强度是均匀一致的(由于晶粒小，这个假设是合理的)。由于晶粒间的静磁交换作用是长程有效的，所以该模型的计算费了相当多的时间。 电子科技大学的张万里等人对菱形NiFe纳米薄膜单元进行了微磁学模拟，研究了单元形状对磁矩的翻转的影响情况。研究表明菱形单元的翻转过程和LWR(length-to-width ration between long and short diagonals)有关系，当LWR小于2时，翻转过程从单元的边界开始，当LWR比较大时，翻转从单元的中心开始。在附加一个偏置场的情况下，当LWR大于2时，所有的单元呈现出类似的翻转过程，翻转场大小稳定趋于一个常数。这些结果显示了菱形纳米单元在磁性随机存储器(MRAM)中应用的可行性。3.1.3交换耦合多层膜中的应用 华东交通大学的刘正方等人采用二维动力学模型研究了交换祸合硬/软磁双层膜体系的反磁化机制，研究结果表明:在二维模型下，随着软磁层厚度的改变，体系的反磁化过程表现出了非常丰富的形式，硬磁层主要是通过形核的畴壁移动来实现其反磁化过程，且硬磁层的磁化反转形式不仅与软磁层的尺寸密切相关而且与硬磁层的厚度也有一定的关系。3.1.4永磁材料研究中的应用 中科院物理研究所磁学国家重点实验室的荣传兵等人用微磁学有限元法，模拟计算了单相和复相各向同性纳米晶磁体的起始磁化曲线、退磁曲线和回复曲线。研究结果表明，纳米晶单相和复相磁体的晶间交换祸合作用都随晶粒尺寸的增加而降低，当晶粒尺寸过大时，复相磁体表现出两相行为，其曲线出现了两个正峰值。分析表明，外场较小的正峰值是软磁相与硬磁相晶粒之间交换祸合作用的结果，而外场较大的正峰值是硬磁晶粒之间交换祸合作用的结果。3.1.5应力对铁磁材料的影响研究 Iowa州立大学的B. Zhu等人利用在总能量中加入磁弹性能并求解LLG方程的方法研究了外加应力对长方形Ni薄膜单元的磁化反转过程的影响，他们的研究结果表明Ni薄膜单元的矫顽力、剩磁及磁滞回线的形状随外加应力的变化特征与块体Ni材料有很大不同。Ni薄膜单元的矫顽力随着压应力的增加而n增大而剩磁则随着张应力的增加而减小。他们的模拟结果与实验结果定性地符合。 美国Carnegie Mellon大学的D.Z.Bai等人通过等效各向异性的方法将磁弹性能加入微磁学模型，研究了外加应力对不同织构的Fe及FeC咔巨形薄膜单元的磁结构的影响，他们的研究结果表明对正磁致伸缩系数的FeCo薄膜单元，单元长轴方向的压应力及短轴方向的张应力有利于单元形成平行于短轴方向的条状畴。对负磁致伸缩系数的Fe薄膜单元情况则相反。他们的模拟结果与实验结果符合很好。3.2磁材料的进展 人们在关注微磁学计算机模拟在磁性材料研究中的应用的同时，也对微磁学中所需的数值计算方法及由此而带来的数学问题进行了深入的探讨。 在研究薄膜的微磁学模型中，绝大多数在离散化时都采用的是规则晶粒结构，即用六角和四边形元周期阵列离散介质表面。但是，Miles证明用这种人为的规则微结构会产生非物理的各向异性，并提出了用随机晶粒结构代替规则结构的设想。在这种结构中，晶粒被小心地放在介质表面上，以免发生重叠。Porter等人用随机计算法基于Voronoi图成功地实现了这种设想，模拟了磁记录介质的磁性质、介质噪声与微观结构和磁化分布的关系。 Parker等人应用ECB(Embedded curve boundary)方法进行了微磁学模拟研究。研究过程中采用了ECB方法对非矩形形状的圆滑对象进行模拟，研究了边界形状对模拟结果的影响，并和SS(stair step boundary)方法进行比较，结果表明ECB方法要比SS方法更为先进，并目得出的结果更接近实际值。 在微磁学中，最费时间的就是计算静磁场能或退磁场能，这也是微磁学计算机模拟的关键技术和难点。对静磁场能的计算先后提出了简化的估计法、磁标量势法、磁矢量法、快速傅氏级数变换(FFT)法等方法，对其收敛的标准也有探讨。Apalkov等人应用快速多极子方法(Fast Multipole Method)对周期性系统进行了微磁学模拟。该小组应用FMM方法来计算静磁场，研究表明FMM方法相比FFT方法，计算速度更快，而且不需要在单元内划分规则的网格，是一个更为简单有效的方法。3.3发展趋势 微磁学模拟研究主要分为模拟方法研究和应用研究。其中，模拟方法研究包括了微磁学数值算法研究、微磁学模型研究等。采用蒙特卡罗方法研究混合微磁学模型及微磁学的并行算法将成为未来研究的热点。 微磁学模拟在应用研究方句将主要集中在以下两个方面:1.研究热扰动对磁矩转动的影响;2.模拟更为复杂的微结构对磁矩转动的影响以及扩展理论提出新技术以便对诸如磁性存储器件、传感器等进行模拟相信随着计算方法与计算机技术的改进与发展，以及微磁学理论的深入研究，微磁学计算机模拟一定会成为人们研究现代磁性材料与器件的得力工具。3.4应力作用下铁磁薄膜单元的微磁学模拟在计算中，本文选择矩形的磁性薄膜单元作为研究对象，模拟区域大小为200nm200nm5nm，划分单元网格大小为5nm5nm5nm，总共划分为1600个单元。磁性薄膜单元的材料参数假定为:， ,，。计算中，假设外加应力的方向沿磁性薄膜单元的易轴方向(假设为+x方向)施加。计算磁矩分布时，采用向前欧拉方法来求解LLG方程，收敛条件为:。3.5应力对磁滞回线的影响利用第二章的微磁学计算模型，计算了外加应力分别为-200Pa，-100MPa，-50MPa，0MPa,50MPa，200MPa情形下磁性薄膜单元的磁滞回线，如图2所示。图（a） 图（b）图2 不同应力作用下的磁滞回线从图2中可以看出，在不同应力作用下，薄膜单元的磁滞回线不同，这正是由于施加了不同大小的应力所致。从图中可见，当沿外磁场方向施加张应力时，薄膜单元更容易磁化饱和，而施加压应力时，薄膜单兀更容易实现磁化反转。同时还可以看出，不同应力作用下的磁滞回线的差别不是很大，这是由于本文所研究的薄膜单元尺寸较小，此时薄膜单兀的退磁能对薄膜的磁化和反磁化过程起到主要的作用，当应力不是太大时，反磁化过程主要由退磁能决定，从而应力作用下磁滞回线差别不是太大。3.6应力对矫顽力和剩磁的影响从图2中可以得到不同应力作用下磁性薄膜单元的矫顽力和剩磁，其变化规律如图3和图4所示。图3 矫顽力随应力的变化曲线由图3中可以看出，随着薄膜单元内受到的应力从压应力逐渐变为张应力，薄膜单元的矫顽力逐渐增加。这个模拟结果与Stoner-Wolfarth模型的计算结果是一致的，但是与Jiles-Atherton模型的计算结果相反。这是由于Jiles-Atherton模型的矫顽力由畴壁位移决定，而 Stoner-Wolfarth模型的矫顽力由畴转决定。对于本文模拟的铁磁薄膜单元，其磁化反转机制主要由畴转决定，当施加的外应力引起的各向异性的方向和外磁场方向平行时，需要更大的磁场来实现磁化反转，从而提高了矫顽力。相反，当施加的外应力引起的各向异性的方向和外磁场方向垂直时，外磁场方向成为难磁化方向，从而导致矫顽力降低。 图4 乘磁随应力的变化曲线从图4中可看出，随着应力从压应力逐渐变为张应力，薄膜单元的剩磁逐渐增加。这是当铁磁薄膜单元沿着易磁化方向磁化饱和后，随着外磁场逐渐降低为零，磁矩都倾向易磁化方向，由于张应力诱导产生的单轴各向异性与薄膜单元自身的磁各向异性平行，即应力增强了各向异性，导致更多的磁矩沿着薄膜单元磁各向异性方向取向，从而剩磁增加。当施加压应力时，情况刚好相反，由压应力产生的各向异性与薄膜单元自身的磁各向异性垂直，减少了沿着薄膜单元磁各向异性方向取向的磁矩，从而导致剩磁降低。4. 总结 本文介绍了微磁学模拟的基本理论和基本理论和研究进展。铁磁材料的磁各向异性显著影响其自发磁化强度、磁畴的分布及其磁化特性。当受到应力作用时，由于磁弹性耦合作用，铁磁材料内部会诱导出应力各向异性，从而铁磁材料的磁结构乃至在外磁场下的磁化与反磁化行为都将发生改变，因而铁磁材料的磁特性与受到的应力（内应力和外应力）密切相关。因此，研究应力对铁磁材料的磁特性的影响，对于合理有效地选择铁磁材料，甚至充分利用应力来人工剪裁磁性材料，无疑具有十分重要的意义。由于微磁学模拟计算是研究铁磁材料磁特性的重要方法，所以，利用微磁学方法来研究应力作用下铁磁材料的磁行为，从基础科学和应用研究的角度来看都具有重要通过微磁学模拟，能反映磁性材料内部的磁矩分布，畴壁的移动情况，从而可研究成核和磁畴磁矩反转机理，得到材料的宏观磁性质和相关微观物理量的关系。参考文献：1 E. 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