《复变函数》总结.doc

复变小结1.幅角（不赞成死记，学会分析）-arg z Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 Arg(z1/z2)=Argz1-Argz22. 求根： 由z=r(cos+isin)得 =(cosn+isinn) 当r=1时，= （*1）当rgz1-Argz2 w= （*2） 例：可直接利用（*1）式求解 可令z=1+i,利用（*2）式求解3.复函数： a. 一般情况下：w=f(z),直接将z=x+iy代换求解 但遇到特殊情况时：如课本P12例1.13（3）可考虑： z=r(cos+isin)代换。b.对于P12例题1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C）共线所满足的公式:(向量) OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBAc.对于P15例题1.14中可直接转换成X和Y的表达式后判断正负号来确定其图像。d.判断函数f(z)在区域D内是否连续可借助课本P17定义1.84.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。b.柯西黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）c.指数函数:复数转换成三角的定义。d.只需记住：Lnz=lnz+i(argz+2k)e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e时，w= = (幂指数为Ln而非ln)能够区分： 的计算。f.三角函数和双曲函数：只需记住： 及 其他可自己试着去推导一下。反三角中前三个最好自己记住，特别 因为下一章求积分会用到(如第三章的习题9)5.复变函数的积分a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。（勿乱用）例如: 与路径无关。而与路径有关。b.柯西-古萨基本定理：当函数f(z)在以简单闭曲线C为边界的有界区域D内解析且在闭区域上连续时：重要公式 c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分： d.调和函数： 一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。 6.级数a.熟知课本P59定理4.2及其推导（其中1最重要）性质。b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。c. 幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。（方法同于高数级数）d.泰勒级数： 五个重要初等函数展开式： 其余可由式：直接推导。（注意各展开式的z取值范围）e.洛朗展开式:与泰勒展开式的主要区别在于其包含Z的负次数方幂。泰勒展开式是洛朗展开式的特殊形式。（即当洛朗展开式中奇点为可去奇点时展开式为泰勒形式）f.零点，奇点，极点零点:即使得函数f(z)=0的点。奇点：即使得函数f(z)无意义的点。（P82定理4.18的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征）奇点又分为：可去奇点，本性奇点，一般奇点。 可去奇点：即洛朗展开式中不存在Z的负次数方幂。 本性奇点：即展开式中存在Z的负无穷次方幂。 一般奇点：即展开式中存在Z的有限次负次数方幂。极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。（奇点容易判断，极点可借助P83定理4.19判断同时可以学会判断是几阶极点，对于第五章中求留数有用）P84定理4.22：极点和零点的关系。7.留数a.留数定理：利用课本P93-94三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数（没什么特殊方法，希望大家通过多练来掌握）b.利用留数定理求积分： 有些情况下利用留数和定理： 更便于求解特殊转换：c.用留数计算实积分：形如：的积分，一般令z=使用条件：R(x,y)变量x，y的有理函数，并且在单位圆上分母不为零。形如的积分使用条件：函数R(x)是x的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 形如：的积分使用条件:其中f(z)在Imz0内除可能有有限各孤立奇点外处处解析，并且当z在Imz0上时P104引理5.3中（5.15）式成立。（具体理解大家可参考课本中的例题）老师所给划题目：P22-例、P26-例、P33-3P26-例、P33-1 P55-7（1、2）、相关例子 P46-例、P47例、P55-8P88-11（1-6） P79-80例、P89-16（2、5） P90-18（1、2、3）P113-5、相关例子 P97例、P113-6（1-5） P114-8、相关例子以上基本上是理论