不等式的证明方法及应用 --毕业论文.doc

【标题】不等式的证明方法及应用 【作者】刘 刚 【关键词】不等式方法运用微分中值定理 【指导老师】王 进 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题(特别是有关不等式的证明)在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法(课本中已经提及)：差值比较法、商值比较法、分析法、综合法等,除了这些基本方法之外,本文还将介绍了另外的一些方法。本文介绍了用微分中值定理等方法讨论不等式有关证明方法，利用这些方法使不等式的证明变得非常简单。不等式是高等数学中经常遇到而又比较困难的问题之一,在这里我们就这些方法讨论其有关证明。2不等式的证明方法2.1利用单调性证明不等式若（或），则时，有（或）。例1证明：证明：令则单调递增，于是由知2.2利用微分中值定理证明不等式若在上连续，在内可导，则。故当在时，有此原理,在证明不等式时,经常采用。例2证明：证明：1令，则时，。不等式可写成 2令，则故问题在于证明：用乘之，问题化为证明因，只需证明。由于。证毕。2.3利用Talylor公式证明不等式若在上有连续阶导，已知。利用此原理，证明一些不等式。例3，且，证明。证明：因连续且具有一阶导数，故由，知由的泰勒公式得，在与之间，因，所以。2.4利用极值证明不等式要点：要证明，只要求函数的极值，证明。这是证明不等式的基本方法。例4证明不等式证明：设，则令，得驻点，由于，知为极小值点，即最小值。的最小值为，因此即原不等成立。证毕。以上是证明不等式时常用的方法,在证明不等式时可根据具体情况选择不同的方法。2.5利用三角函数法(适用于函数的绝对值小于1的情形)例5 设函数在内可积，且，试证：证明：可令于是故2.6利用函数的单调增减性例6试证：当时,，证明：设，由于当时有，由于在处连续，所以在上严格递增，从而当时有，即2.7利用函数的极值与最值例7设，证明不等式：证明：令令得故在处取极小值。在上最大值为1，最小值为故2.8利用函数图形的凹凸性例8应用凹凸函数概念证明如下不等式（1）对任意实数有（2）对任何非负实数有证明：（1）设则故为上凸函数，从而对有即（2）设则故为内的凹函数，令则即2.9利用拉格朗日(Lagrange)中值定理当不等式或其变形中有函数在两点的函数值之差时，可考虑用此方法，在现行高等数学教材，它都是写成等式形式，例如，式中只知道与有关，但对于许多应用来，只要知道导数的上、下界和，就可得出不等式 M例9 设在区间上，且在开区内取得最大的值，则证明：设在取得最大值，则，对于用微分中值定理，得，其中分别为和内任一点，两式相加即可得证。另外，我们还可以利用柯西(Cauchy)定理，柯西定理是拉格朗日定理的一个推广，当不等式或其变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时考虑用此方法。2.10比较法比较法是证明不等式最基本、最重要的方法之一，它分为作差比较法和作商比较法两种。2.10.1作差法（1）理论依据：（2）证明步骤：作差变形判断符号。2.10.2作商法（1）要证，只要证；要证，只要证；（2）证明步骤：作商变形判断与1的关系。例10若，求证：证明：（作差法）左边右边由于，则且与同号或同时为零,，因此所以(作商法)因为左边，右边，所以，所以,原不等式成立.2.11综合法所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，也可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的运用。例11已知，求证：证明：因为所以上述三个不等式对应相加得。从而得证。2.12分析法所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直到找到题设条件，或者是已经证明过的基本不等式，或者是显然成立的不等式，也可以简称为“执果索因”。例12求证：证明：当时，不等式显然成立。当时，要证明不等式成立，只要证明即，即即，即此式显然成立。所以原不等式成立。2.13反证法反证法就是从否定结论出发,，经过逻辑推理，导出矛盾，证明结论的否定是错误的，从而肯定原结论正确的证明方法。凡涉及到证明的不等式为否定性命题、唯一性命题,，或者是含“至多”“至少”等字句的命题时，可考虑使用反证法，即“正难则反”。例13已知（1）求证：（2）求证：中至少有一个不小于。证明：（1）（2）假设都小于，则|而|于是出现矛盾。中至少有一个不小于。2.14放缩法欲证，可通过适当地放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，或，再利用传递性达到求证的目的，这种方法叫做放缩法。具体的放缩方式有：公式放缩和利用某些函数的单调性放缩等。常用技巧有：(1)舍去一些正项或负项;；(2)在和或积中换大或换小某些项；(3)扩大或缩小分式的分子或分母。例14 设为不相等的正数，且。求证：。证明：由题设得于是，故又，而即2.15构造法例15设，求证:：证明：设，即则原问题转化为求证在上恒成立的问题。，。的图像是一条直线，当时，即。例16已知，求证：。证明：设。在上是增函数。，即。故原问题得证。例17已知且.求证:：。证明：原不等式等价于，即即。令，设当时,，在上单调递减。 。故原不等式得证。例18 已知。求证：。证明：设。要证明原命题成立。只需证明函数的图像与轴的负轴没有交点。，在上单调递增。与轴的负半轴没有交点。方程有三个正根，即例19 求证：。证明：设，则是偶函数，其图像关于轴对称。当时，则有；当时，由图像的对称性可知，故当时，恒有，即。3不等式证明方法的应用形如mfM的不等式证明应用举例不等式的证明在中学数学中占有相当重要的分量,它贯穿了高中数学的每一章,是考查学生数学推理能力的重要素材,也是学习高等数学的基础.因此,不等式的证明就显得非常重要.笔者就形如mfM型不等式的证明,举例说明如下:3.1利用不等式的性质证明例20已知，求证：。证明：因为所以。由已知所以，所以。又因为所以。综上可知：3.2利用函数的单调性证明例21试证：若时，则有。证明：设，则有：，当时，故在上单调递增，又，所以，因此，当时，。再设，则有，当时，故在上单调递增，又，所以，因此，当时，即：。综上可知：当时，有。3.3利用对数的性质证明例22已知，其中为质数，且满足，求证：。证明：因为，所以，一奇一偶，又因为，互为质数，所以因此，。又因为大于的四位数的对数的首数为,尾数是小于的正数，故。3.4利用非负数的性质证明例23设，且，求证：。证明：令，代入已知等式得：，利用非负数，引出的不等式。所以。所以。同理，得，故。3.5构造二次方程