偶完全数的性质.doc

偶完全数的性质1999年第2期(福建师大福清分校>总第43期JOURNAlOFFUQINGBRANCHOFFUJIANNORMALUNIVERSITYSumNo.43偶完全数的性质纪岗摘要本文主要介绍偶完全数的性质并加以证明,同时也介绍与偶完全数有关的概念和结论.关键词偶完全数;麦森素数;正约数一,引言本文主要讨论偶完全数的一些性质.在此之前,把有关概念和本文涉及到的已有的部分结论介绍如下:定义1:若一个正整数等于它的所有不等于自身的正约数之和,则称该正整数为完全数.定义2:设PN,形如2p一1的素数叫做麦森素数.记作M=2p一1.1定义3:设N,形如(+1)的正整数叫做三角形数.定义4函数s()=d(d>0)表示正整数的所有正约数之和.定义5:若S()>271,则称71是过剩数.若S()<2,则称是不足数.定义6:函数丁(71)表示正整数的各正约数的个数.定义7:函数()表示不超过正整数且与互素的正整数的个数.定义8:若一个完全数是偶数,则称它为偶完全数.若一个完全数是奇数.则称它是奇完全数.定义9:设正整数71=amalalao.记的数码之和为Sl().那么Sl():a.+am-l+al+a0=1.记Sl(1)=712,一般地Sl(1)=n,k=2,若对某个tN有171t9,则称71,为71的数字根.引理1若M.=2p一1为麦森素数,则P必为素数.引理2若a三6(roodK)=1,2,则有al+a2三6l十b2(roodK)ala2三6lb2(modK)其中n,b,KZ,=1,2.弓I理3(a+b)=aM+6三6(moda)其中a,b,MZ.引理4设的数字根为1三1(mod9).证明:设amallalaoam10+10al+a0.习么Sl()=a.+a,一l+al+ao.一Sl()=一l=nl10+lOal+ao一(a+al+ao),收稿日期:19981106?47?=a.(10一1)+a1(101).9(10一】),k=1,2,.9I(一1)即三l(mod9).同理l兰2(mod9),fl兰f(mod9)即兰(mod9)(*)从而定义9,2的数字根为9甘,兰1(mod9)(?)甘兰1(mod9)引理5()=(>0).I女1引理6()=(1一),其中=t.?l.为的标准分解式.i=1l定理1(欧几里德)若2一1是一个素数,则20(2一1)是一个偶完全数.定理2(欧拉)每一个偶完全数,必定形如20(2一1)且2一1是素数.二,性质及其证明性质1:设为正整数,那么为完全数筒S()=2.定义1证明;为完全数目的全部不等于自身的正约数之和为甘的全部正约数之和为+=定义42甘S()=2.性质2:麦森素数与偶完全数之间一一对应.证明:由定理1知:任意一个麦森素数2一1,均有偶完全数2.(2一1)与之对应.由定理2知:任意一个偶完全数20(2一1)则均有麦森素数2一1与之对应.当P=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127i521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937,21701,23209,44497,86243,132049,216091,756839,859433,1257787时,M=2t一1为麦森素数,从而2p(2p一1)为偶完全数.特别地,P=2,2t(2p一1)=6,P:3,2t,(2p一1)=28,P:5,2p(2p一1)=496,P:7,2t,(2p一1)=8128,均是偶完全数.性质3:每个偶完全数都是由不大于某个麦森素数的自然数之和.即2p(2t,一1)=证明2/_1K:1(2p一1)(2p一1)+1:2P-l(2p一1)性质4:每个偶完全数都是三角形数.证明:设2p(2p一1)是偶完全数,记M=2t,一1.那么2p-1(2户一1)=号(+1)?48?K三.dl由定义3即知命题成立.注:性质4是性质3的推论.性质5:除6外的偶完全数都可以表为奇数的立方和.即口222(22k一1):13+33+(2一1).证明:若偶完全数2t,-1(2p一1)不等于6.则P为奇素数.从而设P:2k一12】2.IJ(2一1)=n3一(2):z一8z,Jv,LI=22k-2(2一1)=2p一(2p_1).特别地:28=10+33496:13+33+53+738128=13+33+53+73+93+113+133+133+153奇数的项数:2卜=2.性质6:每个偶完全数2t,-1(2户一1)都是2p一到22P一的2的连续方幂之和证明:.2p一1=1+2+22+2p1.2户一(2户一1)=2p一+2p+2p+22P一2.命题得证.性质7:完全数的全部正约数的倒数之和为2.证明:完全数的全部正约数从小到大排列为12,.由此可知:l=2l=,一般地ni+l=,(i:1,2,愚).由性质1知S()=即2=1=l十Il例:+号+号+吉=2;1+号+1+1+1=2.性质8:设偶完全数=2p一(2户一1),是为的真因子,则d是不足数?49?项数2l222j2=2=一一=.:一一证:由已知dIg/,且1d<g/,知d具有形式为:2,其中m满足0P一1.2M,其中t满足0t<P一1.(1)当d=2时,则有S(d)=S(2)=1+2+2+2=2一1<2l=2d(2)当d=2M时,则有S(d)=S(2tMp)=S(2)S(M)=(2一1)(M+1)=2Mp一(Mp一2十1)=2M6一(2p一2)<2lMp=2d从而由定义5知d是不足数.性质9:设为偶完全数2p(2p一1).若q为小于2户一1的正整数,则2户-1q是过剩数;若q为大于2p一1的素数,则2pq是不足数.证明:.S(2户q)=S(2户)S(q):(2户一1)S(q)(1)若q为小于2户一1的正整数,那么S(2户q)(2户一1)(q+1)=2tq+(2户一1)一q>2tq=2?2p一q(2)若q为大于2p一1的素数,那么.S(2pq)=(2p一1)(q+1)=2pq+(2户一1)一q<2=2?2pq.由定义5知命题得证.性质10:数论函数f()表示不超过且与不互素的正整数的个数,则(1)是完全数当且仅当()=;dI(2)是过剩数当且仅当()>dI(3)是不足数当且仅当()<.其中dN.证明:.S(n)=()+()dIHdl=()+()=+()引理5dI(1)n是完全数筒s()=2筒()=;dI(2)n是过剩数筒s()>2n筒,()>n;d!?50?t(3)是不足数甘s()<2甘()<.l1性质11:若=2t,(2p一1)为偶完全数,则(,():2.证明:?()=2P-I(2户一1)(1一吉)(1一)引理6=2t,-1(2户一1).(7/,(7/)=2.注:(,()表示与()的最大公约数.性质12:所有偶完全数的个位数为6或8.证明:设=2t,-1(2t,一1)是偶完全数,且易知2三6(modl0)2三2(modl0)2三4(modl0)2三8(modl0)其中mN.P为素数,.P=2或P为奇素数.当P=2时有=6三(modl0)当P为奇素数时可分为如下两种形式(1)当P=4k+1时,kN.=2(2一1)兰6(21)兰6(modl0)(2)当P=4k+3时,kN.=24k+2(2一1)兰4(81)三28三8(modl0)从而命题得证性质13,若为偶完全数,>6,则三1(mod9)证明:设:2t,-1(2t,一1),.>6.P3当P=3时,=28三1(mod1)当P>3时,素数P可以写成6k一1或6+1的形式.2兰64兰1(mod9).2三1(mod9).其中kN.(1)当P=6k一1时=2t,-1(2户一1)=26(一)26(一)一1三24(251)(mod9)三496三1(mod9)(2)当P=6k+1时=2t,-1(2户一1)=26(26一1)三1(21)(mod9)三1(mod9)从而命题得证.性质14:大于6的偶完全数的数字根均为1.证明:由性质13及引理4即知性质14成立.?51?性质15:若偶完全数n=2p(2p一1),则三1+9Cz(mod81)证明:n=2p(2p一1)=(4p一2)=(3+1)一(31)c3+(mod81)兰1+9Cz(mod81)性质16:若是偶完全数,则丁(n)为偶数,且n的各正约数的调和平均数恰为丁(n)/2证明:.n是偶完全数,设n:2p-1(2p一1).丁()=丁(2p一1)T(2t)=2P=2p.设n的各正约数为:al,a2,a其中K=丁(n)它们的调和平均数为m,则=11+麦+)一上一丁()d南(性质7).?.m:户.参考文献1初等整数论熊全淹2高等代数陈昭木等3初等数论陈景润4数学欣赏左平译5数学与创造张楚廷湖北教育出版社福建教育出版社科学出版社北京出版社湖南教育出版社ThePROPERTYOFEVEN