第四讲：双曲线与方程.doc

第四讲：双曲线与方程一、知识结构二、重点叙述1.双曲线的定义：双曲线的定义:平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。双曲线的圆锥曲线的统一定义:双曲线具有圆锥曲线统一的定义,双曲线是平面内到一个定点和到一条定直线(不在上)的距离的比等于常数的点的轨迹。其中常数是双曲线的离心率,定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线。双曲线的这个定义常常称之为双曲线的第二定义,而把前一个双曲线的定义称为双曲线的第一定义。双曲线的第一定义具有双曲线的定义三角形(即)的特点,双曲线的第二定义具有涉及焦半径(即)的“斜直转化”特色(即把解决焦半径转化为解决,其中)。2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程:、焦点在x轴的双曲线标准方程:,();、焦点在y轴的双曲线标准方程:,()。双曲线系方程:中心在原点,焦点在轴,具有相同离心率,或相同渐近线的双曲线系方程为(参数)。3. 双曲线的位置关系： 双曲线与点的位置关系:、位置关系:对于双曲线而言,已知点。分类图形特点方程特点点不在双曲线上点在双曲线内点在双曲线外点在双曲线上、判断方法:(1)“以点代面”判断法:即在双曲线外找一特殊的点(如),将其坐标代入双曲线方程的左边式子,得或,则判断出或的点与所找的特殊点属于同一区域。(2)“位置结论”判断法:对于双曲线而言,已知点,若则点P在双曲线上;若则点P在双曲线外;若则点P在双曲线内。双曲线与直线的位置关系:、双曲线与直线的位置关系:分 类交点个数图形特点联立方程组解的个数相交两个交点两组解一个交点一组解相切一个交点一组解相离无交点无解、双曲线与直线位置关系的判断方法:已知双曲线:,直线联立得,1o 若,则方程组有唯一一组解或无解,双曲线与直线相交于一点或不相交;2o 若,则,那么当时,双曲线与直线相交于两点;当时,双曲线与直线相切于一点;当时,双曲线与直线不相交,即相离。、双曲线与直线位置关系的特点研究:1o 双曲线与直线相交于两点,若直线的斜率为k,则弦长为。2o 双曲线与直线相切于点,若双曲线方程是,则过切点的双曲线切线方程为。此外,求双曲线切线方程的一般方法是:“联立消元”。3o 双曲线与直线相离,则可求双曲线与直线距离最近的点,或求直线与双曲线最短的距离。设双曲线:,直线。方法1:如图,是双曲线上任意一点,求点到直线的距离的最小值,这最小值就是直线与双曲线的最短距离。即求的最小值。方法2:如图,平行于直线的动直线:与双曲线相切时,平行线与之间的较短距离就是直线与双曲线最短的距离。双曲线与圆的位置关系:、只限于双曲线与圆有共同对称轴时,研究双曲线与圆的最小距离。由于圆的半径是不变的,双曲线与圆的最小距离就转化为定圆的圆心与双曲线的最小距离。、如图,设双曲线:的点,圆:,与圆交于点,则求的最小值转化为求二次函数在区间或上的最小值,于是。、如图,设双曲线:的点,圆:,与圆交于点,则求的最值转化为求二次函数在上的最小值,于是三、案例分析案例1： (1)（2009辽宁理16）以知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_。(2)（2009全国理11）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为（）AB. C. D. 分析：（1）点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为，由双曲线定义，而|，于是得，当且仅当三点共线时等号成立。（2）如图，因为，问题涉及双曲线的焦半径，因此应运双曲线的第二定义，“斜直”转化，揭示了焦半径与离心率的关系，把问题集中在内解决。解：（1）如图，设双曲线右焦点为，则。连接，是双曲线的左焦点，点在双曲线的右支上，在中，当且仅当三点共线时等号成立。的最小值为9。故填9。（2）如图，设双曲线的右准线为，过分别作于，于，于。直线的斜率为，直线的倾斜角为，在中，。由双曲线的第二定义有，又。故选A。案例2：(1)（2009山东理9） 设双曲线的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点，则双曲线的离心率是_。(2)（2009浙江理9）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为。若，则双曲线的离心率是_。分析：（1）抓住双曲线的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点的条件确定双曲线间的关系，从而求得双曲线的离心率。如何解决“只有一个公共点”的问题？可以用“联立、消元、一元二次方程的”解决；也可以用导数的方法，即导数的几何意义解决。（2）设过右顶点作斜率为的直线方程与双曲线的渐近线联立，求得交点的坐标，利用进行坐标运算，解得双曲线间的关系，从而求得双曲线的离心率。解：（1）如图，设双曲线的一条渐近线为，渐近线与抛物线 只有一个公共点，由方程组，消去y，得 只能有唯一解，。故选D。另解：如图，双曲线的一条渐近线为与抛物线 只有一个公共点，这点是抛物线的切点，设切点为，则切线的斜率为。有，又，解得，。评注：二次曲线的切线问题，可以用直线与二次曲线方程联立，消元转化为一元二次方程的判别式为零解决；也可以利用曲线在某点处导数的几何意义，即曲线在这点处的切线斜率的方法解决。值得注意的是，导数法往往显得简捷。（2）如图，对于右顶点，则斜率为的直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，设，则由 解得同理，由 解得， ， 。，。故填。案例3：已知双曲线：，点的坐标为，设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点，记，求的取值范围。分析：如图，由点的关系设点的坐标，从而算得向量的坐标，于是根据建立的函数关系式，利用双曲线的范围解决的取值范围。解：如图，设双曲线：上点的坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为。，。是双曲线上的点，。所以的取值范围是。案例4：已知是双曲线：的左、右焦点，设点在双曲线上，且，求的大小。 分析：如图，已知双曲线定义的两边与第三边的关系，根据余弦定理解决问题。解：双曲线：的方程可化为。如图，在中，由余弦定理所以。四、总评(1)双曲线的定义是解决双曲线问题的重要依据,第一定义构成双曲线的定义三角形,可与解三角形结合解决相关问题;第二定义形成“斜直转化”的特色,常用于解决涉及焦半径等的问题。双曲线的焦半径要注意双曲线左右支上的点所产生的形式差别。(2)双曲线的标准方程与几何性质密切相关,揭示了双曲线与方程的数形结合的特点,根据双曲线的几何性质,应用待定系数法求双曲线的方程是双曲线与方程综合解题的基本点。双曲线的几何性质要特别关注