高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5_3 平面向量的数量积课件 理 苏教版

5 3平面向量的数量积 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 知识梳理 AOB 0 2 平面向量的数量积 a b cos b cos 3 平面向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是单位向量 为a与b 或e 的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a 或 a 4 cos 5 a b a b 0 a b a 2 4 平面向量数量积满足的运算律 1 a b 2 a b 为实数 3 a b c b a a b a b a b a c b c 5 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 则a b 由此得到 1 若a x y 则 a 2 或 a 2 设A x1 y1 B x2 y2 则A B两点间的距离AB 3 设两个非零向量a b a x1 y1 b x2 y2 则a b 4 若a b都是非零向量 是a与b的夹角 则cos x1x2 y1y2 x2 y2 x1x2 y1y2 0 1 两个向量a b的夹角为锐角 a b 0且a b不共线 两个向量a b的夹角为钝角 a b 0且a b不共线 2 平面向量数量积运算的常用公式 1 a b a b a2 b2 2 a b 2 a2 2a b b2 3 a b 2 a2 2a b b2 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 0 2 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 3 由a b 0可得a 0或b 0 考点自测 1 设a b c为平面向量 有下面几个命题 a b c a b a c a b c a b c a b 2 a 2 2 a b b 2 若a b 0 则a 0 b 0 其中正确的有 个 答案 解析 1 由向量的数量积的性质知 正确 由向量的数量积的运算不满足结合律知 不正确 由 a b 2 a2 2a b b2 a 2 2 a b cos b 2知 不正确 对于 a b a b cos 0 a 0或 b 0或cos 0 a 0或b 0或a b 故 不正确 16 答案 解析 答案 解析 4 教材改编 已知向量a 2 4 b 1 1 若向量b a b 则实数 的值是 答案 解析 3 b a b b a b b 2 1 4 1 2 0 3 答案 解析 题型分类深度剖析 答案 解析 3 在 ABCD中 AB m AD 2 BAD 60 因为m 0 所以m 2 1 1 答案 解析 几何画板展示 方法一以射线AB AD为x轴 y轴的正方向建立平面直角坐标系 则A 0 0 B 1 0 C 1 1 D 0 1 平面向量数量积的三种运算方法 1 当已知向量的模和夹角时 可利用定义法求解 即a b a b cos a b 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 3 利用数量积的几何意义求解 思维升华 答案 解析 30 又 0 ABC 180 ABC 30 答案 解析 在等腰梯形ABCD中 AB DC AB 2 BC 1 题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模 3 答案 解析 令AC b 由题意得 因为点D在边BC上 整理得b2 2b 3 0 解之得b 3 b 1舍去 即AC的长为3 2 2016 江苏启东中学阶段测试 已知向量a b c满足a b c 0 且a与b的夹角等于150 b与c的夹角等于120 c 2 求 a b 解答 由a b c 0 命题点2求向量的夹角例3 1 2016 南京 盐城调研 已知向量a b满足a 4 3 b 1 a b 则向量a b的夹角为 答案 解析 21 a b 2 a2 b2 2a b 25 1 10cos 2 若向量a k 3 b 1 4 c 2 1 已知2a 3b与c的夹角为钝角 则k的取值范围是 答案 解析 2a 3b与c的夹角为钝角 2a 3b c 0 即 2k 3 6 2 1 0 4k 6 6 0 k 3 即2a 3b与c反向 平面向量数量积求解问题的策略 思维升华 2 两向量垂直的应用 两非零向量垂直的充要条件是 a b a b 0 a b a b 3 求向量的模 利用数量积求解长度问题的处理方法有 9 答案 解析 答案 解析 解答 因为m n 解答 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式 运用向量共线或垂直或等式成立等 得到三角函数的关系式 然后求解 2 给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式 解题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等 思维升华 跟踪训练3在 ABC中 已知C m sinA 1 n 1 cosB 且m n 1 求A的值 解答 由题意知m n sinA cosB 0 解答 利用数量积求向量夹角 现场纠错系列5 错解展示 现场纠错 纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时 不要忽视两向量共线的情况 返回 解错解中 cos 0包含了 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2016 苏州期末 已知向量a 1 2 b x 2 且a a b 则实数x 答案 解析 9 先由a a b 得a a b 0 即a2 a b 再代入数据 把a 1 2 b x 2 代入a2 a b 得5 x 4 所以x 9 15 2 若向量a b满足 a b 2 a与b的夹角为60 则 a b 答案 解析 a b 2 a 2 b 2 2 a b cos60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 已知平面向量a b满足a a b 3 且 a 2 b 1 则向量a与b夹角的正弦值为 答案 解析 a a b a2 a b 22 2 1 cos a b 4 2cos a b 3 又 a b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 2 解得2x 2 舍 或2x 1 故a 1 1 b 1 1 故a b 0 2 故 a b 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 方法二建立平面直角坐标系 使得A 0 0 B 4 0 设D 3cos 3sin 则C 3cos 2 3sin M 2cos 2sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 如图 以BC为x轴 AD为y轴 建立平面直角坐标系 不妨设B 3 0 C 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 答案 解析 由题意可建立如图所示的坐标系 可得A 2 0 B 0 2 P 1 1 C 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 答案 解析 6 1 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以O为坐标原点 OA所在直线为x轴 建立平面直角坐标系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以点C的运动轨迹是以点P为圆心 1为半径的圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设Q c d 由新的运算可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 2016 江苏如东中学质检 在 ABC中 B D是边BC上一点 AD 5 CD 3 AC 7 1 求 ADC的值 解答 在 ADC中 由余弦定理得AD2 CD2 2AD CD cos ADC AC2 52 32 2 5 3 cos ADC 72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 在 ABC中