代数系统试题.doc

代数系统一、选择题：1、下列正整数集的子集在普通加法运算下封闭的是（ D ）A、 B、与互质 C、是的因子 D、是的倍数2、设S=1，2，10 ，则下面定义的运算*关于S非封闭的有（ D ）A、x*y=max(x ,y) B、x*y=min(x ,y) C、x*y=取其最大公约数D、x*y= 取其最小公倍数3、设集合的幂集为，为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ）A、 B、 C、 D、4、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C）A、 B、 C、D、5、设为正整数集，*表示求两数的最小公倍数，对代数系统，有（ A ）A、是么元，无零元 B、是零元，无么元 C、无零元，无么元 D、无等幂元6、设非空有限集的幂集为，对代数系统，有（ B ）A、是么元，是零元 B、是零元，是么元 C、唯一等幂元 D、无等幂元7、在有理数集Q上定义的二元运算*： ，则Q中元素满足（ C ）A、都有逆元 B、只有唯一逆元 C、时，有逆元 D、都无逆元8、设R是实数集合，“”为普通乘法，则代数系统 一定不是（ D ）A、半群 B、独异点 C、可交换的独异点 D、循环独异点9、设S=0，1，*为普通乘法，则（ B ）A、是半群，但非独异点B、是独异点，但非群C、是群，但非阿贝尔群D、是阿贝尔群10、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）A、不能构成群B、不一定能构成群 C、能构成群 D、能构成阿贝尔群二、填充题：1、下表中的运算均定义在实数集上，请在相应的空格中打“”或填上具体实数（不满足或无该项者不填）结合律交换律么元（含左、右么元）00（右幺元）1零元（含左、右零元）02、设A=2,4,6，A上*为：a*b=maxa,b，则在独异点中，么元是(2)，零元为(6)。3、设A=3,6,9，A上*为：a*b=mina,b，则在独异点中，么元是(9)，零元为(3) 。4、代数系统中，|A|1，若分别为的么元和零元，则的关系为 。*abcaabcbbaccccc5、设为代数系统，* 运算如下：则它的么元为a ；零元为c； a、b、c的逆元分别为a、b、无。6、设G,*是一个群，则(1) 若a,b,xG，ax=b，则x=( ab)；(2) 若a,b,xG，ax=ab，则x=( b )。7、群的等幂元是(么元)，有(1)个，零元有(0)个。8、设是12阶群的生成元， 则是(6 )阶元素，是(4)阶元素。9、设是10阶群的生成元， 则是(5 )阶元素，是(10)阶元素。10、在一个群G,*中，若G中的元素的阶是k，则的阶是(k)。三、简答题：1、设A=1，2，A上所有函数的集合记为AA, 是函数的复合运算，试给出AA上运算的运算表，并指出AA中是否有么元，哪些元素有逆元？答：因为|A|=2，所以A上共有22=4个不同函数。令，其中：为AA中的么元，和有逆元。2、已知定义在集合上的运算*如下表：*abcdaabcdbbadcccdbaddcab 试问：1）是否为代数系统？2）是否为子群？3）是否为群？4）是否有单位元？5）是否满足交换律？题号12345答案3、设I是整数集合，Z3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z3上定义+3如下：，试给出+3的运算表，并指出是否构成群？+3012001211202201答：构成群。四、计算题：1、设S=QQ，Q为有理数集合，*为S上的二元运算：对任意(a,b)，(c,d)S,有 (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b),求出S关于二元运算*的么元，以及当a0时，(a,b)关于*的逆元。解：设S关于*的么元为(a,b)。根据*和么元的定义，对(x,y)S,有(a,b)*(x,y)=(ax,ay+b)=(x,y), (x,y)*(a,b)=(ax,xb+y)=(x,y)。即ax=x,ay+b=y,xb+y=y对x,yQ都成立。解得a=1,b=0，则S关于*的么元为(1,0)。当a0时，设(a,b)关于*的逆元为(c,d)。根据逆元的定义，有(a,b)*(c,d)= (ac,ad+b)=(1,0)，(c,d)*(a,b)= (ac,cb+d)=(1,0)即ac=1,ad+b=0,cb+d=0。解得c=1/a,d=-b/a。 所以(a,b)关于*的逆元为(1/a, -b/a)。2、试求中每个元素的阶。解：0是中关于+6的么元。则|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。五、证明题：1、 设是一个代数系统，*是R上二元运算，则0是么元且是独异点。证明：（1） 即 ，0是么元（2）由于+，在R封闭，则*在R上封闭。（3） 因此 ， R，*是独异点。2、I上的二元运算*定义为：a,bI，a*b=a+b-2。试证：为群。证明：（1）a,b,cI，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c)=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c= a*(b*c)，从而*满足结合律。（2）记e=2。对aI，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是I关于运算*的单位元。（3）对aI，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。综上所述，为群。3、设*是集合A上可结合的二元运算，且a,bA,若a*b=b*a，则a=b。试证明：（1）aA,a*a=a，即a是等幂元；（2） a,bA,a*b*a=a。证明：（1）aA,记b=a*a。因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。（2）a,bA,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，从而a*b*a=a。4、设半群中消去律成立，则是可交换半群当且仅当a,bS，（ab）2=a2b2。证明： a,bS，（ab）2=(ab)(ab)=(ab)a)b=(a(ba)b=(a(ab)b=(aa)b)b=(aa)(bb)=a2b2;a,bS，因为（ab）2=a2b2，所以(ab)(ab)=(aa)(bb)。故a(ba)b)=a(a(bb)。由于满足消去律，所以(ba)b=a(bb)，即(ba)b=(ab)b。从而ab=ba。故满足交换律。5、若是可交换独异点，T为S中所有等幂元的集合，则是的子独异点。证明： ee=e，eT，即T是S的非空子集。 a,bT, 是可交换独异点,(ab)(ab)=(ab)a)b=(a(ba)b=（a(ab)）b=(aa)b)b=(aa)(bb)=ab,即abT。 故是的子独异点。有么元且满足消去律的有限半群一定是群。证明 设是一个有么元且满足消去律的有限半群，要证是群，只需证明G的任一元素a可逆。，则，对a，a2，ak，因G只有有限个元素，所以存在kl，使得akal。令mkl，有al*eal*am，其中e是么元。由消去律得ame。于是，当m1时，ae，而e是可逆的；当m1时，a*am-1am-1*ae。从而a是可逆的，其逆元是am-1。总之，a是可逆的。6、对独异点，若A中每个元素都有右逆元，则必为群。证明：设为的么元， ，记b是a的右逆元，c是b的右逆元，则，则b是a的左逆元。故，a有唯一逆元b，于是，必为群。7、设群除单位元外每个元素的阶均为2，则是交换群。证明：对任一aG，由已知可得a*a=e，即a-1=a。对任一a,bG，因a*b=(a*b)-1=b-1*a-1=b*a，所以*满足交换律。 从而G,*是交换群。8、证明：（1）有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。（2）偶数阶群中阶为2 的元素的个数一定是奇数。证明：（1）设是有限群，则aG，有|a|=|a-1|。且当a 阶大于2时，a-1。故阶数大于2 的元素成对出现，从而其个数必为偶数。证明：（2）设是偶数阶群，则由于群的元素中阶为1 的只有一个单位元，阶大于2 的元素是偶数个，剩下元素中都是阶为2 的元素。故偶数阶群中阶为2 的元素一定是奇数个。9、设是由g生成的循环群，则若G为无限循环群，则G只有两个生成元g和g1。证明：因为g是群的生成元，所以对任意的aG，存在iZ使得agi。又a，所以g1也是群的生成元。再证G只有g和g1这两个生成元。假设h也是G的生成元，对G的元素g，存在整数s，使得ghs。对于h来说，由g是G的生成元，存在整数t，使得hgt。于是，ghsgst。由G中的消去律得e。因为G是无限群，必有st10。从而有st1或st1，即hg或hg1。10、是个群，uG，定义G中的运算“D”为aDb=a*u-1*b，对任意a，bG，求证：也是个群。证明：1）a，bG，aDb=a*u-1*bG，运算是封闭的。2）a，b，cG，（aDb）Dc=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=aD（bDc），运算是可结合的。3）aG，设E为D的单位元，则aDE=a*u-1*E=a，得E=u，存在单位元u。4）aG，aDx=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，则xDa=u*a-1*u*u-1*a=u=E，各元素都有逆元。所以也是个群。11、设是群，作f:GG,aa-1。证明：f是G的自同构G是交换群。证明： 设f 是G的自同构。对a，bG，ab=(b-1a