高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2_8 函数与方程、函数的应用课件 文 北师大版

第8讲函数与方程 函数的应用 最新考纲1 结合二次函数的图像 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 了解指数函数 对数函数 幂函数的增长特征 结合具体实例体会直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 3 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 知识梳理1 函数的零点 1 函数的零点的概念函数y f x 的图像与横轴的交点的称为这个函数的零点 2 函数零点与方程根的关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与有交点 函数y f x 有 3 零点存在性定理若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则在区间内 函数y f x 至少有一个零点 即相应方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 横坐标 x轴 零点 a b 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图像与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 kx b k 0 4 指数 对数 幂函数模型性质比较 递增 递增 y轴 x轴 诊断自测1 判断正误 在括号内打 或 精彩PPT展示 1 函数f x lgx的零点是 1 0 2 图像连续的函数y f x x D 在区间 a b D内有零点 则f a f b 0 3 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 4 f x x2 g x 2x h x log2x 当x 4 时 恒有h x f x g x 解析 1 f x lgx的零点是1 故 1 错 2 f a f b 0是连续函数y f x 在 a b 内有零点的充分不必要条件 故 2 错 答案 1 2 3 4 3 2015 安徽卷 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 A y cosxB y sinxC y lnxD y x2 1解析由函数是偶函数 排除选项B C 又选项D中函数没有零点 排除D y cosx为偶函数且有零点 答案A 4 已知某种动物繁殖量y 只 与时间x 年 的关系为y alog3 x 1 设这种动物第2年有100只 到第8年它们发展到 A 100只B 200只C 300只D 400只解析由题意知100 alog3 2 1 a 100 y 100log3 x 1 当x 8时 y 100log39 200 答案B 考点一函数零点所在区间的判断 例1 1 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间 A a b 和 b c 内B a 和 a b 内C b c 和 c 内D a 和 c 内 2 设f x lnx x 2 则函数f x 的零点所在的区间为 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 1 a0 f b b c b a 0 由函数零点存在性定理可知 在区间 a b b c 内分别存在零点 又函数f x 是二次函数 最多有两个零点 因此函数f x 的两个零点分别位于区间 a b b c 内 故选A 2 法一函数f x 的零点所在的区间可转化为函数g x lnx h x x 2图像交点的横坐标所在的取值范围 作图如下 可知f x 的零点所在的区间为 1 2 法二易知f x lnx x 2在 0 上为增函数 且f 1 1 2 10 所以根据函数零点存在性定理可知在区间 1 2 内函数存在零点 答案 1 A 2 B 规律方法确定函数f x 的零点所在区间的常用方法 1 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图像是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 2 数形结合法 通过画函数图像 观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断 答案C 答案 1 2 2 B 规律方法函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令f x 0 有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 再结合函数的图像与性质确定函数零点个数 3 利用图像交点个数 作出两函数图像 观察其交点个数即得零点个数 解析f x 2sinxcosx x2 sin2x x2 则函数的零点即为函数y sin2x与函数y x2图像的交点 如图所示 两图像有2个交点 则函数有2个零点 答案2 考点三函数零点的应用 例3 2017 昆明调研 已知定义在R上的偶函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上f x x 若关于x的方程f x logax有三个不同的实根 求a的取值范围 规律方法已知函数有零点 方根有根 求参数值常用的方法 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图像 然后观察求解 2 在同一坐标系中 作y f x 与y b的图像 当x m时 x2 2mx 4m x m 2 4m m2 要使方程f x b有三个不同的根 则有4m m20 又m 0 解得m 3 答案 1 D 2 3 考点四构建函数模型解决实际问题 易错警示 例4 1 2016 四川卷 某公司为激励创新 计划逐年加大研发资金投入 若该公司2015年全年投入研发资金130万元 在此基础上 每年投入的研发资金比上一年增长12 则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 参考数据 lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 A 2018年B 2019年C 2020年D 2021年 答案B 训练4 1 2017 成都调研 某食品的保鲜时间y 单位 小时 与储藏温度x 单位 满足函数关系y ekx b e 2 718 为自然对数的底数 k b为常数 若该食品在0 的保鲜时间是192小时 在22 的保鲜时间是48小时 则该食品在33 的保鲜时间是 小时 答案24 当x 5时 g x max g 5 3125 万元 当7 x 12 且x N 时 g x 480 x 6400是减函数 当x 7时 g x max g 7 3040 万元 综上 2017年5月份的旅游消费总额最大 最大旅游消费总额为3125万元 思想方法 1 转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题 已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 2 判断函数零点个数的常用方法 1 通过解方程来判断 2 根据零点存在性定理 结合函数性质来判断 3 将函数y f x g x 的零点个数转化为函数y f x 与y g x 图像公共点的个数来判断 3 求解函数应用问题的步骤 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 解模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题 易错防范 1 函数的零点不是点 是方程f x 0的实根 2 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零