重庆市中考数学题型复习 题型八 二次函数综合题 类型三 与等腰三角形有关的问题练习.doc

类型三 与等腰三角形有关的问题1. (2017重庆a卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于a，b两点(点a在点b的左侧)，与y轴交于点c，对称轴与x轴交于点d，点e(4，n)在抛物线上(1)求直线ae的解析式；(2)点p为直线ce下方抛物线上的一点，连接pc，pe.当pce的面积最大时，连接cd，cb，点k是线段cb的中点，点m是cp上的一点，点n是cd上的一点，求kmmnnk的最小值；(3)点g是线段ce的中点将抛物线yx2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点d，y的顶点为点f.在新抛物线y的对称轴上，是否存在点q，使得fgq为等腰三角形？若存在，直接写出点q的坐标；若不存在，请说明理由第1题图2. (2016重庆a卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3与x轴交于a，b两点(点a在点b左侧)，与y轴交于点c，抛物线的顶点为点e.(1)判断abc的形状，并说明理由；(2)经过b，c两点的直线交抛物线的对称轴于点d，点p为直线bc上方抛物线上的一动点，当pcd的面积最大时，点q从点p出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点m处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点n处，最后沿适当的路径运动到点a处停止当点q的运动路径最短时，求点n的坐标及点q经过的最短路径的长；(3)如图，平移抛物线，使抛物线的顶点e在射线ae上移动，点e平移后的对应点为点e，点a的对应点为点a.将aoc绕点o顺时针旋转至a1oc1的位置，点a，c的对应点分别为点a1，c1，且点a1恰好落在ac上，连接c1a，c1e.ac1e是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点e的坐标；若不能，请说明理由第2题图3. (2018原创)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3交x轴于a，b两点(点a在点b左侧)，与y轴交于点c，顶点为d，对称轴与x轴交于点e.(1)判断直线ac与cd的位置关系，并说明理由；(2)点p是直线ac上方的抛物线上的一点，当pac面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点q，使得paq的周长最小，若存在，求点q的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图，设de与ac相交于f，将aef绕点e顺时针旋转60.再向右平移(3)个单位长度，得到a1e1f1，其中点f的对应点为f1，在抛物线的对称轴上是否存在点m，使得cmf1是等腰三角形，若存在，求点m的坐标；若不存在，说明理由第3题图4. (2017重庆沙坪坝区一模)如图，抛物线yx2x3与x轴相交于a、b两点(点a在点b的右侧)，已知c(0，)，连接ac.(1)求直线ac的解析式(2)点p是x轴下方的抛物线上一动点，过点p作pex轴交直线ac于点e，交x轴于点f，过点p作pgae于点g，线段pg交x轴于点h.设lepfh，求l的最大值(3)如图，在(2)的条件下，点m是x轴上一动点，连接em、pm，将epm沿直线em折叠为ep1m，连接ap，ap1，当app1是等腰三角形时，试求出点m的坐标第4题图5. 如图，抛物线yx2x与y轴交于点a，点b在第一象限抛物线上，直线yxb与x轴交于点c，与y轴交于点a，点d在x轴上，bd6，odb120，连接ob、cb.(1)求点a、c两点的坐标；(2)设点e是第一象限ob上方抛线线上一动点，过点e作efy轴交ob于点f，过e在ef的右侧作fegbod，交ob于点g，求efg周长的最大值；(3)将直线ac沿x轴向右平移，平移过程中直线ac交直线bc于点h，交x轴于点k，在平移过程中，是否存在某一时刻，使kdh为等腰三角形？若存在，求出平移后c的对应点k的坐标；若不存在，请说明理由第5题图备用图6. (2018原创)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3分别交x轴于a、b两点，交y轴交于c点，顶点为d.(1)如图，连接ad，r是抛物线对称轴上的一点，当arad时，求点r的坐标；(2)在(1)的条件下在直线ar上方，对称轴左侧的抛物线上找一点p，过p作pqx轴，交直线ar于点q，点m是线段pq的中点，过点m作mnar交抛物线对称轴于点n，当平行四边形mnrq周长最大时，在抛物线对称轴上找一点e，y轴上找一点f，使得peeffa最小，并求此时点e、f的坐标(3)如图，过抛物线顶点d作dhab于点h，将dbh绕着h点顺时针旋转得到dbh且b落在线段bd上，将线段ac沿直线ac平移后，点a、c对应的点分别为a、c，连接dc，da，dca能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点a的坐标；若不能，请说明理由第6题图答案1. 解：(1)当y0时，即x2x0，解得x11，x23，a(1，0)，b(3，0)，当x4时，n424，点e(4，)，设直线ae的解析式为：ykxb(k0)，把a(1，0)，e(4，)代入得，解得，直线ae的解析式为yx；(2)在yx2x中，令x0，得y，点c(0，)，点e(4，)，易求直线ce的解析式为yx，过点p作phy轴，交ce于点h，如解图，第1题解图设点p的坐标为p(t，t2t)，则h(t，t)，pht(t2t)t2t，spce|xexc|ph4(t2t)t2t，(0t4)0，抛物线开口向下，当t2时，spce取得最大值此时，点p为(2，)，点c(0，)，b(3，0)，由中点坐标公式得k(，)，ycyp，pcx轴，作点k关于cp的对称点k1，如解图，则k1(，)，tanocb，ocb60，第1题解图抛物线yx2x的对称轴为x1，d(1，0)，tanocd，ocd30，ocddcb30，cd平分ocb，点k关于cd的对称点k2在y轴上，又ckoc，k2与点o重合，连接ok1，交cd于点n，交cp于点m，如解图，kmmnnkk1mmnon，根据“两点之间，线段最短”可得，此时kmmnnk的值最小，k1k2ok13，kmmnnk的最小值为3；(3)存在点q，使得fgq为等腰三角形，且点q的坐标为(3，)或(3，)或(3，)或(3，2)【解法提示】c(0，)，e(4，)，g(2，)，新抛物线y是原抛物线yx2x(x1)2沿x轴正方向平移得到的，且y经过点d，抛物线向右平移了ad1(1)2个单位，y(x12)2(x3)2.新抛物线的顶点坐标为f(3，)，对称轴为x3，若在新抛物线的对称轴上存在点q，使得fgq为等腰三角形，设q点坐标为q(3，m)，则fq2(m)2m2m，gq21(m)2m2m，fg21()2，当fqgq时，m2mm2m，解得m，此时q1(3，)；当fqfg时，m2m，解得m，此时q2(3，)，q3(3，)；当gqfg时，m2m，解得m12，m2，此时q4(3，2)，q5(3，)(舍去)综上所述，存在点q，使得fgq为等腰三角形，且点q的坐标为(3，)或(3，)或(3，)或(3，2)2. 解：(1)abc为直角三角形，理由如下：在抛物线yx2x3中，令y0，得x2x30，解得，x1，x23，a(，0)，b(3，0)令x0，得y3，c(0，3)，ac212，bc236，ab248，ac2bc2ab2，abc为直角三角形(2)设直线bc的解析式为ykxb，将b(3，0)，c(0，3)代入，得， ，直线bc的解析式为yx3，如解图，过点p作pry轴交bc于点r，设p(t，t2t3)，则r(t，t3)，prt2t3(t3)t2t，spcdsprcsprdprxr(xrxd)t2t(t)20t3，当t时，spcd取得最大值，此时p(，)，将p(，)向左平移个单位，得p(，)，连接ap交y轴于点n，过点n做nm抛物线的对称轴于点m，连接pm，点q沿pmna运动，所走的路经最短，即最短路径的长为pmmnan.设直线ap的解析式为ymxn，将a(，0)，p(，)代入，得：， ，直线ap的解析式为yx，令x0，得y，故n(0，)，点q经过的最短路径等于pmmnanapmn.第2题解图(3)tancao，cao60，oaoa1，aa1o为等边三角形，c1ob30，c1(，)，e(，4)，a(，0)，直线ae的解析式为yx2，设a(t，t2)，则e(t2，t6)，ae228，ac12t2t7，ec12t27t21，当ac1ec1时，t2t7t27t21，解得，t，故e(，5)，当aeac1时28t2t7，解得t，t，t，e(，7)，当aeec1时，t27t2128，解得t，t，t，e(，3)，综上所述，所有符合条件的点e的坐标为(，5)或(，7)或(，3)3. 解：(1)accd，理由如下：对于抛物线yx22x3，令y0得x22x30，解得x13，x21，点a的坐标为(3，0)，点b的坐标为(1，0)令x0，得y3，点c的坐标为(0，3)，化为顶点式得y(x1)24，点d的坐标为(1，4)，ac2323218，ad2(13)24220，cd212(43)22，ac2cd2ad2，accd.(2)设直线ac的解析式为ykxt，将点a(3，0)，c(0，3)代入得，解得，直线ac的解析式为yx3.设过点p且平行ac的直线的解析式为yxt1，与抛物线联立得，整理得x23xt130，pac的面积最大，点p到ac的距离最大，直线yxt1与抛物线只有一个交点，一元二次方程x23xt130有两个相等的实数根，3241(t13)0，解得t1，此时一元二次方程为x23x30，解得x，点p的坐标为(，)，点b的坐标为(1，0)，点a与点b关于直线x1对称，点q在直线x1上，qaqb，第3题解图当点q为直线bp与直线x1的交点时，满足题意，设直线pb的解析式为yk2xb2，将点b、p代入得，解得，直线bp的解析式为yx，令x1，得y3，点q的坐标为(1，3)(3)对于直线ac：yx3，当x1时，y2，点f(1，2)，设aef绕点e顺时针旋转60得到aef，则aea60，aef90，feo30，如解图，过f作fgx轴于g，第3题解图则efef2，在rtfeg中，易得eg，fg1，点f的坐标为(1，1)，将aef的向右平移(3)个单位，得到a1e1f1，则点f1的坐标为(2，1)，cf1222(31)28，设点m的坐标为(1，m)，则mc21(m3)2，mf1232(m1)2.若mcf1是等腰三角形，则可按以下情况分类，()mcmf1，即1(m3)232(m1)2，解得m0，此时点m的坐标为(1，0)；()mccf1，即1(m3)28，解得m3，此时点m的坐标为(1，3)，(1，3)；()mf1cf1，即32(m1)28，此时方程无解，即此时不存在这样的点m.综上可知，存在点m使得mcf1是等腰三角形，这样的点m有3个，坐标分别为(1，0)，(1，3)，(1，3)4. 解：(1)当y0时，x2x30，解得x13，x22，点a在点b的右侧，a(2，0)、b(3，0)；设直线ac的解析式为ykxb，把a(2，0)、c(0，)代入得，解得，直线ac的解析式为：yx；(2)在rtaco中，tanoac，fphphf90，oacahg90，phfahg，fphoac，tanfphtanoac，tanfph，fhfpfp，设点p(m，m2m3)，则e(m，m)，epm2m，fpm2m3，于是lepfhepfpm2m3，0，lm2m3开口向下，对称轴x2，点p是x轴下方的抛物线上一动点，联立得，3m2，当m2时，l最大4；(3)如解图，m2时，e(2，3)，p(2，2)，a(2，0)，epea5，当p1pp1a时，ap的中点为k(0，1)，于是直线ek为y2x1，直线ek交x轴于i(，0)，ei，if，过点m1作m1jek于j，则ejef3，ij3，iefim1j，im13.m1(38，0)，当apap2时，aepaep2，aepaep2，点m2与点a重合，点m2(2，0)当p3pp3a时，由efm3m1fe，得到ef2fm3fm1，fm336，点m3(38，0)，当p4ppa时，作m4qep4，设m4qm4fx，在rtp4qm4中，p4q2qm42p4m42，22x2(4x)2，x，om42，点m4(，0)综上所述点m1(38，0)，m2(2，0)，m3(38，0)，m4(，0)第4题解图5. 解：(1)当x0时，y，a(0，)，将a(0，)代入yxb中，得b，yx，当y0时，x3，c(3，0)；(2)延长ef交x轴于点m，过点b作bqx轴于点q，如解图，第5题解图odb120，bdq60，bd6，bq3，dq3，b点的纵坐标为3，代入抛物线解析式可求得b点的横坐标为9，b(9，3)，直线ob的解析式为yx，bod30，efy轴，emx轴，fegbod，efgofm，egef，fgef，cefgefegfgef，设e(m，m2m)，f(m，m)，efyeyfm2mm(m4)2，当m4时，cefg最大().(3)设dka，ao，oc3，acohko30.当dhdka时，如解图，作hncd于n，第5题解图dhkdkh30，hdn60，nda，hna，cn3a，解得a2，k(8，0)；当khkda时，如解图，作hrdk于r，则hra，kra，draa，解得a，k(，0)；当点k在点d左边时，设dkkha，同理可得，解得a，k(，0)，第5题解图hdkhkd，hdhk不存在综上所述，满足要求的k点坐标为：(8，0)，(，0)6. 解：(1)对于抛物线yx2x3，令y0，得x2x30，解得x2或6，b(2，0)，a(6，0)，yx2x3(x2)24，抛物线顶点d坐标为(2，4)，对称轴x2，设直线ad的解析式为ykxb则有，解得，直线ad的解析式为yx6，arad，直线ar的解析式为yx2，点r坐标(2，)(2)如解图中，设p(m