高中数学 第一章 计数原理 1.1 第2课时 两个基本原理的应用课件 新人教A版选修23.ppt

第一章 计数原理 1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时两个基本原理的应用 自主预习学案 2015年8月 世界田径锦标赛在北京举行 这是体坛的一大盛事 一名志愿者从广州赶赴北京为游客提供导游服务 但需在武昌停留 已知从广州到武昌每天有7个航班 从武昌到北京每天有6列火车 请思考 该志愿者从广州到北京需要经历几个步骤 完成每一步各有几种方法 该志愿者从广州到北京共有多少种不同的方法 1 用两个计数原理解决计数问题时 最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 需要分类还是需要分步 应用 原理时 要注意 类 与 类 之间的独立性和并列性 各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成 应用 原理时 要注意 步 与 步 之间是连续的 做一件事需分成若干个互相联系的步骤 所有步骤依次相继完成 这件事才算完成 加法 乘法 2 分类要做到 分类后再分别对每一类进行计数 最后用 求和 得到总数 3 分步要做到 步与步之间要 根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘得到总数 不重不漏 分类加法计数原理 步骤完整 相互独立 1 在2 3 5 7 11这五个数字中 任取两个数字组成分数 其中假分数的个数为 a 20b 10c 5d 24 解析 假分数的分子不小于分母 故以2为分母的有4个 以3为分母的有3个 以5为分母的有2个 以7为分母的只有1个 由加法原理知共有4 3 2 1 10个 b 2 图书馆的书架有三层 第一层有3本不同的数学书 第二层有5本不同的语文书 第三层有8本不同的英语书 从中任取一本书 共有不同的取法 a 120种b 16种c 64种d 39种 解析 由分类加法计数原理知 共有不同取法3 5 8 16种 b 3 已知两条异面直线a b上分别有5个点和8个点 则这13个点可以确定不同的平面个数为 a 40b 16c 13d 10 解析 分两类 第1类 直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面 第2类 直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面 故可以确定8 5 13个不同的平面 c 4 一植物园参观路径如图所示 若要全部参观并且路线不重复 则不同的参观路线种数共有 a 6种b 8种c 36种d 48种 d 解析 由题意知在a点可先参观区域1 也可先参观区域2或3 每种选法中可以按逆时针参观 也可以按顺时针参观 所以第一步可以从6个路口任选一个 有6种结果 参观完一个区域后 选择下一步走法 有4种结果 参观完第二个区域 只剩下最后一个区域 有2种走法 根据分步乘法计数原理 共有6 4 2 48种不同的参观路线 互动探究学案 命题方向1 两个计数原理在排数中的应用 从0 1 2 3 4 5这六个数字中取四个数字组成一个四位数 问 1 能组成多少个四位数 2 能被5整除的四位数有多少个 思路分析 1 要完成的一件事是组成四位数 所以首位数字不能是0 2 要使所组成的四位数能被5整除 则末位数字必须是0和5中的一个 典例1 解析 1 第1步 千位上的数不能取0 只能取1 2 3 4 5 有5种选择 第2步 由于千位取了一个数 还剩下5个数供百位取 所以有5种选择 第3步 由于千位 百位分别取了一个数 还剩下4个数供十位取 所以有4种选择 第4步 由于千位 百位 十位分别取了一个数 还剩下3个数供个位取 所以有3种选择 根据分步乘法计数原理 组成的四位数共有5 5 4 3 300 个 2 因为满足要求的四位数能被5整除 所以个位上的数字只能是0或5 第1类 当个位上的数字为0时 依次取千位 百位 十位上的数字 分别有5种选择 4种选择 3种选择 所以有5 4 3 60个满足要求的四位数 第2类 当个位数字为5时 依次取千位 百位 十位上的数字 分别有4种选择 4种选择 3种选择 所以有4 4 3 48个满足要求的四位数 根据分类加法计数原理 能被5整除的四位数共有60 48 108 个 规律总结 排数问题实际就是分步问题 需要用分步乘法计数原理解决 在有附加条件时 可能需要进行分类讨论 即在解决相关的排数问题时 要注意两个原理的综合应用 跟踪练习1 用0 1 2 3 9十个数字可组成不同的 1 三位数 个 2 无重复数字的三位数 个 3 小于500且无重复数字的三位奇数 个 解析 1 由于0不能在百位 所以百位上的数字有9种选法 十位与个位上的数字均有10种选法 所以不同的三位数共有9 10 10 900 个 2 百位上的数字有9种选法 十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法 个位上的数字应从剩余8个数字中选取 所以共有9 9 8 648个无重复数字的三位数 900 648 144 3 小于500的无重复数字的三位奇数 应满足的条件是 首位只能从1 2 3 4中选 个位必须为奇数 按首位分两类 第一类 首位为1或3时 个位有4种选法 十位有8种选法 共有 4 8 2 64种 第二类 首位为2或4时 个位有5种选法 十位有8种选法 共有 5 8 2 80种 由分类加法计数原理知 共有64 80 144种 命题方向2 平面区域问题 用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色 每个区域涂一种颜色 若要求相邻 有公共边 的区域不同色 那么共有多少种不同的涂色方法 思路分析 由于要求相邻 有公共边 的区域不同色 所以可按 1号区域与4号区域同色 和 1号区域与4号区域不同色 两种情况分类 然后根据两个原理分别求解 典例2 解析 第一类 1号区域与4号区域同色 此时可分三步来完成 第一步 先涂1号区域和4号区域 有5种涂法 第二步 再涂2号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此有4种涂法 第三步 涂3号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此也有4种涂法 由分步乘法计数原理知 有5 4 4 80种涂法 第二类 1号区域与4号区域不同色 此时可分四步来完成 第一步 先涂1号区域 有5种涂法 第二步 再涂4号区域 只要不与1号区域同色即可 因此有4种涂法 第三步 涂2号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此有3种涂法 第四步 涂3号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此也有3种涂法 由分步乘法计数原理知 有5 4 3 3 180种涂法 依据分类加法计数原理知 不同的涂色方法种数为80 180 260 规律总结 这是一个有限制条件的计数问题 解决方法是 特殊位置 特殊元素优先安排的原则 本题是先分类再分步 而分类的标准是两个特殊位置 这样 在分类时才能做到 不重不漏 42 72 解析 1 只满足相邻实验田种植不同作物 则从左往右5块试验田分别有3 2 2 2 2种种植方法 共3 2 2 2 2 48种方法 而5块试验田只种植了2种作物共有3 2 1 1 1 1 6种 所以不同的种植方法有48 6 42种 2 当使用四种颜色时 先着色第1区域 有4种方法 剩下3种颜色涂其他四个区域 即有一种颜色涂相对的两块区域 有3 2 2 12种 由分步乘法计数原理得 共有4 12 48种 当使用三种颜色时 从4种颜色中选取3种 有4种方法 先着色第1区域 有3种方法 剩下2种颜色涂四个区域 只能是一种颜色涂第2 4区域 另一种颜色涂第3 5区域 有2种着色方法 由分步乘法计数原理得有4 3 2 24种 综上共有48 24 72种 命题方向3 抽取 分配 问题 高三年级的三个班到甲 乙 丙 丁四个工厂进行社会实践 其中甲工厂必须有班级去 每班去哪个工厂可自由选择 则不同的分配方案有 a 16种b 18种c 37种d 48种 思路分析 解决此类问题可以用直接法先分类再分步 也可用排除法 解析 若不考虑限制条件 每个班级 都有4种选择 共有4 4 4 64种情况 其中工厂甲没有班级去 即每个班都选择了其他三个工厂 此时每个班级都有3种选择 共有3 3 3 27种方法 则符合条件的有64 27 37种 典例3 c 规律总结 解决抽取 分配 问题的方法 1 当涉及对象的数目不大时 一般选用列举法 树状图法 框图法或者图表法 2 当涉及对象的数目很大时 一般有两种方法 直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理 一般地 若抽取是有顺序的就按分步进行 若是按对象特征抽取的 则按分类进行 间接法 去掉限制条件 计算所有的抽取方法数 然后减去所有符合条件的抽取方法数即可 跟踪练习3 3个不同的小球放入5个不同的盒子 每个盒子至多放一个小球 共有多少种不同的方法 解析 把3个不同的小球分别放入5个不同的盒子里 每个盒子至多放一个球 实际上是从5个位置选3个位置用3个元素进行排列 共有60种结果 已知集合a a1 a2 a3 a4 集合b b1 b2 其中aibj i 1 2 3 4 j 1 2 均为实数 1 从集合a到集合b能构成多少个不同的映射 2 能构成多少个以集合a为定义域 以集合b为值域的不同函数 思路分析 1 由映射的定义可知 集合a中的每一个元素总对应着b中唯一的元素 2 依题意 集合b中的每一个元素在集合a中要有对应元素 因此只要从问题 1 的映射数中减去a中四个元素对应b中一个元素的情况即可得到 2 的解 元素重复的计数问题 典例4 解析 1 因为集合a中的每个元素ai i 1 2 3 4 与集合b中元素的对应方法都有2种 由分步乘法计数原理 得构成a b的映射有2 2 2 2 24 16 个 2 在 1 的映射中 a1 a2 a3 a4均对应同一个元素b1或b2的情形构不成以集合a为定义域 以集合b为值域的函数 这样的映射有2个 所以构成以集合a为定义域 以集合b为值域的函数有16 2 14 个 规律总结 通过阅统计分析 造成失分的原因如下 1 混淆分类加法计数原理和分步乘法计数原理而至错 2 利用分步乘法计数原理时列式24误列为42而致错 3 对函数概念的理解不清而致错 跟踪练习4 将字母a a b b c c排成三行两列 要求每行的字母互不相同 每列的字母也互不相同 则不同的排列方法共有 a 12种b 18种c 24种d 36种 解析 第一步先排好一列 由于每列字母不同 则只能是a b c 共6种排列 第二步根据排好的一列进行排列 假设第一列是a b c 第二列只能是b c a或c a b两种 共有6 2 12种排列 a 有红 黄 蓝旗各3面 每次升1面 2面 3面在某一旗杆上纵向排列 表示不同的信号 顺序不同也表示不同的信号 共可以组成多少种不同的信号 错解 每次升一面旗可组成3种不同的信号 每次升2面旗可组成3 2 6种不同信号 每次升3面旗可组成3 2 1 6种不同的信号 根据分类加法计数原理知 共有不同信号3 6 6 15种 辨析 每次升起2面或3面旗时 颜色可以相同 分类计数时考虑不全致误 典例5 正解 每次升1面旗可组成3种不同的信号 每次升2面旗可组成3 3 9种不同的信号 每次升3面旗可组成3 3 3 27种不同的信号 根据分类加法计数原理得 共可组成 3 9 27 39种不同的信号 点评 审题时要细致 把题意弄清楚 本题中没有规定升起旗子的颜色不同 故既要考虑升起旗子的面数 又要考虑其颜色 不可偏废遗漏 跟踪练习5 三边长均为正整数 且最大边长为11的三角形的个数是 解析 另两边长用x y表示 且不妨设1 x y 11 要构成三角形 必须x y 12 当y取11时 x可取1 2 3 11 有11个三角形 当y取10时 x可取2 3 10 有9个三角形 当y取6时 x只能取6 只有1个三角形 所求三角形的个数为11 9 7 5 3 1 36 36 1 把10个苹果分成三堆 要求每堆至少有1个 至多5个 则不同的分法共有 a 4种b 5种c 6种d 7种 解析 分类考虑 若最少一堆是1个 那由至多5个知另两堆分别为4个 5个 只有一种分法 若最少一堆是2个 则由3 5 4 4知有2种分法 若最少一堆是3个 则另两堆为3个 4个 故共有分法1 2 1 4种 a 2 如图所示给五个区域涂色 现有四种颜色可供选择 要求每一个区域只涂一种颜色 相邻区域所涂颜色不同 则不同涂色方法种数为 a 24种b 48种c 72种d 96种 c 解析 解法一 分两种情况 1 a c不同色 先涂a有4种 c有3种 e有2种 b d有1种 由分步乘法计数原理知有4 3 2 24种 2 a c同色 先涂a有4种 e有3种 e有2种 b d各有2种 由分步乘法计数原理知有4 3 2 2 48种 由分类加法计数原理知 共有72种 故选c 解法二 先涂a 有4种涂法 再涂b d