动力学基本方程.ppt

动力学引言 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学中所研究的力学模型是质点和质点系 包括刚体 质点 具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体 质点系 由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统 刚体 质点系的一种特殊情形 其中任意两个质点间的距离保持不变 也称不变的质点系 工程实际中的动力学问题 棒球在被球棒击打后 其速度的大小和方向发生了变化 如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力 工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接 工程实际中的动力学问题 航空航天器的姿态控制 牛顿及其在力学发展中的贡献 牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中 在他出生之前父亲即去世 他不到三岁时母亲改嫁了 他不得不靠他的外祖母养大 1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院 1665年获文学学士学位 在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学 1665 1666的两年期间 剑桥流行黑热病 学校暂时停办 他回到老家 这段时间中他发现了二项式定律 开始了光学中的颜色实验 即白光由7种色光构成的实验 而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题 在30岁时 牛顿被选为皇家学会的会员 这是当时英国最高科学荣誉 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的 他提出了光的微粒说 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分 给出了二项式定理 牛顿在力学上最重要的贡献 也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著 自然哲学之数学原理 这本书出版于1687年 书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果 后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学 第15章动力学基本方程 15 1动力学的基本定律 第一定律 惯性定律 不受力作用的质点 将保持静止或作匀速直线运动 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 15 1动力学的基本定律 第二定律 力与加速度关系定律 在经典力学中质点的质量是守恒的 质点的质量越大 其运动状态越不容易改变 也就是质点的惯性越大 因此 质量是质点惯性的度量 上式是推导其它动力学方程的出发点 称为动力学基本方程 质点的质量与加速度的乘积 等于作用质点的力的大小 加速度的方向与力的方向相同 15 1动力学的基本定律 国际计量标准g 9 80665m s2 一般取g 9 8m s2 在国际单位制 SI 中 长度 时间 质量为基本量 它们的单位以米 m 秒 s 和千克 kg 为基本单位 其它量均为导出量 它们的单位则是导出单位 在地球表面 任何物体都受到重力P的作用 在重力作用下得到的加速度称为重力加速度 用g表示 由第二定律有 或 15 1动力学的基本定律 必须指出的是 质点受力与坐标无关 但质点的加速度与坐标的选择有关 因此牛顿第一 第二定律不是任何坐标都适用的 凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系 反之为非惯性坐标系 第三定律 作用与反作用定律 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等 方向相反 沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学 2 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影 3 质点运动微分方程在自然轴上投影 1 矢量形式的质点运动微分方程 15 2质点的运动微分方程 15 2质点的运动微分方程 第一类基本问题 已知质点的运动 求作用在质点上的力 这类问题其实质可归结为数学上的求导问题 第二类基本问题 已知作用在质点上的力 求质点的运动 这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题 例10 1 例1如图 设质量为m的质点M在平面oxy内运动 已知其运动方程为x acoswt y asinwt 求作用在质点上的力F i j v r F 解 以质点M为研究对象 分析运动 由运动方程消去时间t 得 质点作椭圆运动 将运动方程对时间求两阶导数得 代入质点运动微分方程 即可求得主动力的投影为 力F与矢径r共线反向 其大小正比于矢径r的模 方向恒指向椭圆中心 这种力称为有心力 y x x b a O M 例10 3 例2从某处抛射一物体 已知初速度为v0 抛射角为a 如不计空气阻力 求物体在重力单独作用下的运动规律 解 研究抛射体 列直角坐标形式的质点运动微分方程 积分后得 x y M 初始条件为 轨迹方程为 由此可见 物体的轨迹是一抛物线 于是物体的运动方程为 确定出积分常数为 15 3 1刚体绕定轴的转动微分方程 主动力 约束力 对刚体内任一质点 根据质点动力学基本方程 第一式两边同时乘以 可得 对整个刚体则有 15 3 1刚体绕定轴的转动微分方程 或 则有 或 刚体定轴转动微分方程 称为刚体对转轴z轴的转动惯量 令 15 3 2刚体对轴的转动惯量 1 简单形状物体的转动惯量计算 1 均质细直杆对一端的转动惯量 由 得 2 均质薄圆环对中心轴的转动惯量 3 均质圆板对中心轴的转动惯量 式中 或 15 3 2刚体对轴的转动惯量 2 回转半径 惯性半径 或 3 平行轴定理 即 刚体对于任一轴的转动惯量 等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 加上刚体的质量与两轴间距离