高中数学 第一单元 基本初等函数（ⅱ）1_1_1 角的概念的推广课件 新人教b版必修4

1 1 1角的概念的推广 第一章 1 1任意角的概念与弧度制 学习目标1 了解角的概念 2 掌握正角 负角和零角的概念 理解任意角的意义 3 熟练掌握象限角 终边相同的角的概念 会用集合符号表示这些角 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一角的相关概念 我们在初中已经学习过角的概念 角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形 这种定义限制了角的范围 也不能表示具有相反意义的旋转量 那么 从 旋转 的角度 对角如何重新定义 正角 负角 零角是怎样规定的 答案 答案一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角 射线OA叫角的始边 OB叫角的终边 O叫角的顶点 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转 我们称它形成了一个零角 1 角的概念 角可以看成是绕着它的从一个位置到另一个位置所成的图形 2 角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类 梳理 3 角的运算 各角和的旋转量等于 一条射线 端点 旋转 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有旋转 各角旋转量的和 思考1 知识点二终边相同的角 假设60 的终边是OB 那么 660 420 的终边与60 的终边有什么关系 它们与60 分别相差多少 答案 答案它们的终边相同 660 60 2 360 420 60 360 故它们与60 分别相差了 2个周角及1个周角 思考2 如何表示与60 终边相同的角 答案60 k 360 k Z 梳理 终边相同角的表示设 表示任意角 所有与 终边相同的角 包括 本身构成一个集合 这个集合可记为S k 360 k Z 集合S的每一个元素都与 终边相同 当k 0时 对应元素为 思考 知识点三象限角 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点 角的始边与x轴的正半轴重合 旋转该角 则其终边 除端点外 可能落在什么位置 答案 答案终边可能落在坐标轴上或四个象限内 梳理 在直角坐标系内 使角的顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴的正半轴重合 象限角 角的在第几象限 就把这个角叫做第几象限角 轴线角 终边落在的角 终边 坐标轴上 题型探究 解析锐角指大于0 小于90 的角 都是第一象限的角 所以 对 由任意角的概念知 第一象限角也可为负角 第二象限角不一定是钝角 小于180 的角还有负角 零角 所以 错误 解答 类型一任意角概念的理解 例1 1 给出下列说法 锐角都是第一象限角 第一象限角一定不是负角 第二象限角是钝角 小于180 的角是钝角 直角或锐角 其中正确说法的序号为 答案 解析 2 将时钟拨快20分钟 则分针转过的度数是 解析分针每分钟转6 由于顺时针旋转 所以20分钟转了 120 解答 答案 解析 120 反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角 钝角 0 90 角 象限角等概念 角的概念推广后 确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小 解顺时针拧螺丝2圈 螺丝顺时针旋转了2周 因此所表示的角为 720 跟踪训练1写出下列说法所表示的角 1 顺时针拧螺丝2圈 解答 2 将时钟拨慢2小时30分 分针转过的角 解拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转 因此将时钟拨慢2小时30分 分针转过的角为900 命题角度1求与已知角终边相同的角例2在与角10030 终边相同的角中 求满足下列条件的角 1 最大的负角 解与10030 终边相同的角的一般形式为 k 360 10030 k Z 由 360 k 360 10030 0 得 10390 k 360 10030 解得k 28 故所求的最大负角为 50 类型二终边相同的角 解答 2 最小的正角 解由0 k 360 10030 360 得 10030 k 360 9670 解得k 27 故所求的最小正角为 310 3 360 720 的角 解由360 k 360 10030 720 得 9670 k 360 9310 解得k 26 故所求的角为 670 解答 反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角 其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式 再依条件构建不等式求出k的值 解答 跟踪训练2写出与 1910 终边相同的角的集合 并把集合中适合不等式 720 360 的元素 写出来 解由终边相同的角的表示知 与角 1910 终边相同的角的集合为 k 360 1910 k Z 720 360 即 720 k 360 1910 360 k Z 3 k 6 k Z 故取k 4 5 6 当k 4时 4 360 1910 470 当k 5时 5 360 1910 110 当k 6时 6 360 1910 250 解终边在y x 0 上的角的集合是S1 120 k 360 k Z 终边在y x 0 上的角的集合是S2 300 k 360 k Z 因此 终边落在直线y 上的角的集合是S S1 S2 120 k 360 k Z 300 k 360 k Z 即S 120 2k 180 k Z 120 2k 1 180 k Z 120 n 180 n Z 故终边在直线y 上的角的集合是S 120 n 180 n Z 命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例3写出终边在直线y 上的角的集合 解答 反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合 常用分类讨论的思想 即分x 0和x 0两种情况讨论 最后再进行合并 解答 跟踪训练3写出终边在直线y 上的角的集合 解终边在y x 0 上的角的集合是S1 30 k 360 k Z 终边在y x 0 上的角的集合是S2 210 k 360 k Z 因此 终边在直线y 上的角的集合是S S1 S2 30 k 360 k Z 210 k 360 k Z 即S 30 2k 180 k Z 30 2k 1 180 k Z 30 n 180 n Z 故终边在直线y 上的角的集合是S 30 n 180 n Z 类型三象限角的判定 解答 例4在0 360 范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判定它们是第几象限角 1 150 解因为 150 360 210 所以在0 360 范围内 与 150 角终边相同的角是210 角 它是第三象限角 2 650 解因为650 360 290 所以在0 360 范围内 与650 角终边相同的角是290 角 它是第四象限角 解答 3 950 15 解因为 950 15 3 360 129 45 所以在0 360 范围内 与 950 15 角终边相同的角是129 45 角 它是第二象限角 解答 引申探究确定 n N 的终边所在的象限 解一般地 要确定所在的象限 可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线 它们与坐标轴把周角分成4n个区域 从x轴的非负半轴起 按逆时针方向把这4n个区域依次标上1 2 3 4 4n 标号为几的区域 就是根据 所在第几象限时 的终边所落在的区域 如此 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出 反思与感悟 判断象限角的步骤 1 当0 360 时 直接写出结果 2 当 0 或 360 时 将 化为k 360 k Z 0 360 转化为判断角 所属的象限 跟踪训练4下列各角分别是第几象限角 请写出与下列各角终边相同的角的集合S 并把S中适合不等式 360 720 的元素 写出来 1 60 解60 角是第一象限角 所有与60 角终边相同的角的集合S 60 k 360 k Z S中适合 360 720 的元素是60 1 360 300 60 0 360 60 60 1 360 420 2 21 解 21 角是第四象限角 所有与 21 角终边相同的角的集合S 21 k 360 k Z S中适合 360 720 的元素是 21 0 360 21 21 1 360 339 21 2 360 699 解答 当堂训练 1 下列说法正确的是A 终边相同的角一定相等B 钝角一定是第二象限角C 第一象限角一定不是负角D 小于90 的角都是锐角 答案 2 3 4 5 1 2 与 457 角终边相同的角的集合是A k 360 457 k Z B k 360 97 k Z C k 360 263 k Z D k 360 263 k Z 2 3 4 5 1 答案 解析 解析 457 2 360 263 故选C 2 3 4 5 1 3 2017 是第象限角 解析因为2017 5 360 217 故2017 是第三象限角 答案 解析 三 2 3 4 5 1 4 与 1692 终边相同的最大负角是 解析 1692 4 360 252 与 1692 终边相同的最大负角为 252 答案 解析 252 5 写出终边落在坐标轴上的角的集合S 解终边落在x轴上的角的集合S1 k 180 k Z 终边落在y轴上的角的集合S2 k 180 90 k Z 终边落在坐标轴上的角的集合S S1 S2 k 180 k Z k 180 90 k Z 2k 90 或 2k 1 90 k Z n 90 n Z 解答 2 3 4 5 1 规律与方法 1 对角的理解 初中阶段是以 静止 的眼光看 高中阶段应用 运动 的观点下定义 理解这一概念时 要注意 旋转方向 决定角的 正负 旋转幅度 决定角的 绝