一元线性回归方程在建筑物沉降预测中的应用与探讨.doc

一元线性回归方程在建筑物沉降预测中的应用与探讨欧阳德诚( 中南电力设计院，武汉430071 )摘要: 为对施工中的建筑物，尽早、 尽可能提供出尽量合理的沉降预测数据或预警信息， 本文提出以少量沉降观测数据，在线性相关条件下，用累计平均沉降值建立一元线性回归方程后， 再赋 值计算出预测值的方法，探讨了方法的可靠性、 实用性、 合格样本的外在条件。 按此方法的几例 建筑物沉降测量，方程的相关检验、预测值与实测值的对比， 均得到满意结果。 计算出的预测值 具有一定的可靠性和参考价值，同时也提高和体现了测量成果的尽早使用价值。沉降; 平均值; 方程; 预测; 赋值; 对比关键词:中图分类号:P258文献标识码:ADiscussion and application of linear regression equationin forecasting the building settlement measurementOuyang Decheng( Central Southern China Electric Power Design Institute，Wuhan 430071 ，China )Abstract: In order to provide a reasonable prediction of settlement data or warning information for theconstruction building as soon as possible，this paper presents a small amount of the observational data of the settlement and the line-related conditions. And it uses the cumulative average settlement value to establish the linear regression equation and calculates the predicted value. The proposed method explores the reliability，practicality，and qualified external conditions for the sample. This approach is applied to several cases of building settlement surveying，inspection of the related equations，comparison of the predicted and the actual values. All obtains are satisfied. The predicted calculation not only has a certain degree of reliability and reference value，but also reflects and enhances the value of surveying results.Key words: subsidence; average; equation; prediction; assignment; comparison观测值，在线性相关条件下建立一元线性回归方程( 荷载与变形关系的数学模型) ，得出观测点预测累 计平均 沉 降 量， 再计算观测点累计沉降 赋 值 的 方 法，在几例工程的应 用 中 得 到 验 证， 取 得 满 意 结 果，也提高了观测成果的尽早使用价值。 本文探讨 了这种方法的可靠性、实用性、外在条件。引言0力求建立变 形 量 与 变 形因 子 之间的数学模型，对建筑物 变形或 变 形发 展趋 势进行尽早准确的预 测，是变形测量追求和探索的目标。建立数学模型预测建筑物的变形量，相关规定 要求有不少 于 10 个 周 期 的 观 测 数 据，待 积 累 满 足 要求的数据后建立数学模型觉得滞后，有的建筑物 因在整个建筑期内的观测周期达不到规定要求而不 能建立数学模型，因此不能尽早或不能提供预测数 据来完全满足工程需要，也在一定程度上损失了沉 降观测成果的使用价值。与土建施工有关的变形测量中，沉降观测仍然 是重要的监测手段。为尽早取得预测数据，本文提 出仅依靠少量观测数据，以楼层数和累计平均沉降理论应用与验证的思路1利用已有的回归理论建立的方程，能否合理成立和应用，主要取决于所用的少量观测数据的样本 代表性，本文检验的方法是必须先通过概率与统计收稿日期: 2009 -09 -06 ; 修订日期: 2009 -09 -28作者简介: 欧阳德诚 (1954 ) ，男 ( 汉族) ，湖北天门人，高级工程师.论中的相关检验，再通过实际观测数据来更好验方程的可靠性与合理性。 在几例完成的高层建筑 沉降观测尚未达到要求观测周期的 1 /3 时，建立 元线性回 归 方 程 后，方 程 的 相 关检验获得通过， 计平均沉降预测值和观测点累计沉降的赋值，均 实测值进行了对比，也得到满意结果，仅增加一 观测值，预测值的精度得到大幅提高。 下面以一 工程的数据为例。 1 y珋=n ixi y珋ixi，1 (2 xx ) 2iin= yi b xian y珋i b xi， i(2 )= yi *Nnyiyi =* yi数据来源与测量精度(3 )珔Yi对 1 栋 27 层 ( 含 2 层 地 下 室) 施 工 中 的 高 层筑物进行沉降观测，地层条件为软土和粘土，天 地基，局部复合地基，独立基础与阀板基础。 观 点设在墙柱上，基准网为一等水准。 每次观测以 定水准路线，将固定的已知水准点和所有沉降观 点构成 2 个结点的二等水准结点网。 观测后的平 计算结果为大 多 数 沉降观测 点的高程中误差 m h 0. 1 mm， 极 少 点 的 高 程 中 误 差 在 0. 1 2 mm 之 间。 观 测 数 据 见 表 1 ( 实 测 累 计 沉 降 数) 。= 楼层 数， x珋= 平 均 楼 层 数， y = 实 测 累 计 沉 降xii值，y珋= 实测累 计 沉 降 平 均 值，珔Y = 最 后 一 次 实 测ii累计沉降平均值，y = 预测累计沉降平均值，y=ii观测点累计沉降赋值， = 预测累计总沉降值，n =i沉降观测次数，N = 沉降观测点数。3. 1回归方程的计算取表 1 中前 3 次实测沉降数据的平均值建立回 归方程，相关计算见表 2 ( 回归计算) 。回归计算表 2实测累计沉降数据表 1ii根 据 式 ( 1 ) 计 算 得 回 归 方 程 为: yi =( 方程 1 ) ，依此方程计算0. 598647 0. 221767 * xixi = 3 、xi = 7 、xi = 16 、 xi = 21 、 xi = 27 时得: y3 = 0. 0666 、 y7 = 0. 9537 、 y16 = 2. 9496 、 y21 = 5. 3891 ，对比表 1 中的前 3 次实 4. 0585 、y =27测 值， 残 差 ( yi y珋i ) 分 别 为: 0. 0666 、 0. 0963 、0. 0296 ，残差和仅为 0. 009 ，忽略不计。3. 2回归方程相关检验31方程 1 相关检验如下: y珓=33 y珋 = 1. 3233ii = 1回归方 程 的 建 立 与 检 验、 预 测 值 的 赋 值 计 算 及测值的比较1 主要公式:( 总偏差平方和)= ( yi y珋)2SS总i = 132= ( y珋i y珓)= 4. 37527i = 1( y= a + bx) = yi a + bxi(1 )3( 误差平方和)= ( yi yi )2SSE1 xi yin xi yii = 13b= ( y珋i yi ) = 0. 01458542 1 i = 13 xi2( xi )n22( 回归平方和)= ( yi y珋)SSRi = 1序号点名实测累计沉降值 yi ( mm)(3 层)y3(7 层)y7(16 层)y16(21 层)y21(27 层)y2712345678910B0B1B2B3B4B5B6B7B8B900000000000. 00. 0( y珋3 ) 1. 6 0. 5 0. 9 0. 3 0. 7 1. 1 0. 7 1. 8 1. 5 1. 4 10. 5 1. 05( y珋7 ) 3. 6 1. 6 3. 2 1. 4 2. 2 2. 9 3. 0 4. 4 3. 4 3. 5 29. 2 2. 92( y珋16 ) 4. 7 3. 0 4. 6 2. 6 3. 5 4. 6 4. 5 5. 9 4. 7 4. 9 43. 0 4. 3( y珋21 ) 6. 0 3. 9 6. 5 3. 7 4. 6 6. 1 5. 8 7. 4 6. 0 6. 5 56. 5 5. 65( y珋27 )合计平均 ( y珋i )序号层数 ( x )实测累计平均沉降 ( y珋)xi * y珋ix2iy珋2i1233716260 1. 05 2. 92 3. 970 7. 35 46. 72 54. 0794925631401. 10258. 52649. 6289算结果见表 3 ( 预测区间计算) 。3= ( yi y珓)2= 4. 360752 )小样本统计条件下i = 1(1 )R2相关系数检验x0 = 21 时，预测 区 间 为 5. 74 2. 38 之 间，= SS / SS ，R = 0. 9983 ，R(0. 998 R实测值 4. 3 在预测区间;= 27 时，预测区间为xR总0. 0500. 997 ) ，自变量 x 与因变量 y 之间线性相关且密切。(2 ) t 检验 3. 71 7. 06 之间，实测值 5. 65 在预测区间。计算结果看出，预测值满足小样本统计条件下 的预测 区 间， 且满足大样本统计条件下 的 预 测 区 间。2 ( xi x珋)tb = b槡 ( yi yi ) / ( n 2 )2预测累计总沉降值计算及比较3. 3 ( xi x珋)2根据方程 1 和式(2 )计算出的值对比如下:= 17. 29 ，t = bb当 x = 21 时，预 测 累 计 总 沉 降 值 ( ) = 2槡 ( y珋i yi ) / ( n 2 )i214. 06 * 10 = 40. 6 ，实 测 累 计 总 沉 降 值 = 43. 0 ;当 xi = 27 时，预 测 累 计 总 沉 降 值 ( 27 ) = 5. 39* 10 = 53. 9 ，实测累计总沉降值 = 56. 5 。t (0. 025 ，1 ) ， ( 即 17. 29 12. 71 ) 。 t 检 验 通 过，自变量 x 与因变量 y 线性关系密切。( 单位: mm)预测区间计算表 34累计沉降值的赋值计算及比较依据方程 1 计算出的为观测点预测累计平均沉降值，各观测点的累计沉降值并不相同，为求出各 个观测点的预测累计沉降值，根据各个观测点已有 的最后一次实测累计沉降量的大小，进行观测点累(3 )F b =F 检验计沉降赋值 ( 按式(3 )计算) 。R2按表 1 中 计 算 的 珔Y= 2. 92 ， y= 4. 06( n 2 )2= 302 ，F b F(302 1614. 4 )1621( 方程 1 计算) ，按照1 R( 方程 1 计算) 、y= 5. 3927，回归整体模型可靠性较高。式(3 )赋 值 后， 各 个 观 测 点 预 测 累 计 沉 降 赋 值(4 )预测区间估计( y ) 与各个观测点的实测累计沉降值 ( y ) 比 较iixi = 21 、 y215. 3891 为例。= 4. 0585 、 xi= 27 、 y27=于表 4 ( 赋 值 计 算) 。 如 B0 点 的 第 21 层 的 赋 值 = 4. 06 / 2. 92 * ( 3. 6 ) = 5. 0 mm、 第 27 层1 )大样本统计条件下:按大样本统 计 条 件 下 的 3 原 则，预 测 区 间 计( 3. 6 ) = 6. 6 mm。的赋值 5. 39 / 2. 92 *赋值计算( 单位: mm)表 416( 方程 2 ) ，xi = 27 时，累计0. 66774 0. 23279 * xi增加样本数的方程计算结果比较5平均沉降值 yi = 5. 62 。当增加一次样本，即取表 1 中前 4 次实际观测值，按 照 式 ( 1 ) 计 算 出 的 回 归 方 程 为: yi =方程 1 与方程 2 分别计算的预测累计平均沉降值与比较见表 5 ( 预测累计平均沉降值比较)。从表点名实测累计沉降21 层累计沉降赋值赋值 实测实测累计沉降27 层累计沉降赋值赋值 实测(16 层) y16(21 层) y21y21 = 4. 06 / 2. 92 * y16y21 y21(27 层) y27y27 = ( 5. 39 / 2. 92 ) * y 16y27 y27B0B1B2B3B4B5B6B7B8B9合计 平均 3. 6 1. 6 3. 2 1. 4 2. 2 2. 9 3 4. 4 3. 4 3. 5 29. 2 2. 92 ( 珔Y ) 4. 7 3 4. 6 2. 6 3. 5 4. 6 4. 5 5. 9 4. 7 4. 9 43 4. 3 5. 0 2. 2 4. 4 1. 9 3. 1 4. 0 4. 2 6. 1 4. 7 4. 9 40. 6 4. 06 0. 30. 80. 20. 70. 40. 60. 3 0. 20. 00. 02. 40. 24 6 3. 9 6. 5 3. 7 4. 6 6. 1 5. 8 7. 4 6 6. 5 56. 5 5. 65 6. 6 3. 0 5. 9 2. 6 4. 1 5. 4 5. 5 8. 1 6. 3 6. 5 53. 9 5. 39 0. 60. 90. 61. 10. 50. 70. 3 0. 7 0. 30. 02. 60. 26置信度公式xi = 21xi = 2768. 2 %95. 4 %99. 4 %实测值yi syxyi 2 syxyi 3 syx 3. 9 4. 2 3. 8 4. 3 3. 7 4. 4 4. 3 5. 3 5. 5 5. 1 5. 6 5. 0 5. 8 5. 65可以看出，仅增加一次样本数后，计算的预测累计均沉降值与实测累计平均沉降值之差由 0. 26 减小 仅为 0. 03，预测值准确度得到大幅度的提高。近实测值。为对观测点累计沉降赋值前后的预测值精度进行评价比较，不妨将实测累计沉降值作为真 值，将预测累计平均沉降值与计算后的累计沉降赋 预测累计平均沉降值比较表 5值分别视为观测值，按照中误差 m =分别槡n评定。仅以方程 1 为例，计算与分别评定结果见表6 ( 中误差计算) 。从表 6 中对比可以看出，经赋值后 21 层 的 中 误 差 由 0. 96 mm 减 小 为 0. 43 mm、27 层的中误差由 1. 17 mm 减小为 0. 65 mm，都只预测值的精度评定约为未经赋值前的中误差的 1 /2 。如以方程 2 计算，从表 4 中对比可以看出，经计算后点的累计沉赋值，特别是沉降值大的点，累计沉降赋值更接中误差的精度会更高。( 单位: mm)中误差计算表 6( 21 )( 21 )( 27 )( 27 )注: 表 6 中 21 = y21 y21 ，21 = y21 y21 ; 27 = y27 y27 ，27 = y27 y27降，说明回归方程是符合客观实际的，有一定的可信度和参考价值。初次观测前的沉降数据由于一些特殊的原因，未能及时取得建筑物的期 (0 层) 沉降数据，初次观测前的沉降数据已 能通过实 际 观 测 取 得 了。 通 过 建立的回归方程， 自变量的适用范围内，可以计算出初次观测前的 降数据。作为一种在不得已情况下而采取的数据 补手段，这种计算的数据是 “回忆” 性的沉降数。根据方程 1 计算，当 xi = 0 时，yi = 0. 6 ，表示 初次观测 ( xi = 3 ) 时建筑物已沉降了 0. 6 mm， 均 楼 层 的 沉 降 为 0. 6 mm /3 = 0. 20 mm。 而 实误差原因分析8从计算与实测的结果对比看出，回归方程预测值与实测值不完全吻合， 原因主要与下 列 因 数 有 关: 样本的代表性; 测量精度; 方程的合理 性。9结果的探讨上述结果可以看出，具备一定前提条件 ( 与方程预测值适 宜 的数据测量精度、 合 理 的 点 位 布 置、变量的正确统计等) 的沉降测量，在线性相关的条件下尽早建立回归方程后，回归方程的检验能获得 通过，预测值与实测值比较有较好的吻合。 在对其 它 3 例高层建筑的测量中，均取得较满意结果，探 讨如下。(1 ) 实用性以楼层数 ( 或荷载量) 为自变量、累计平均沉后的平均楼层的沉降为 5. 6 mm /27 = 0. 21 mm。地基开挖或清基时，会不同程度扰动地基与建物基础交接面的表土层。 建筑物的初期沉降包括 到这种扰动后的表土，在承受荷载后被重新压缩 产生 的 沉 降， 这种 沉 降应大于未被扰 动 土 的 沉，尽管这时 的 建 筑 物 高 度 只 有 3 层，荷 载 较 轻， 产生的 平均沉 降 仍然 接近 初次观测后的平均沉 名称实测累计沉降预测累计平均沉降累计沉降赋值21 层27 层y21y27y21y27y21y27 212 212 272 272B0B1B2B3B4B5B6B7B8B9合计 中误差 4. 7 3 4. 6 2. 6 3. 5 4. 6 4. 5 5. 9 4. 7 4. 9 43 6 3. 9 6. 5 3. 7 4. 6 6. 1 5. 8 7. 4 6 6. 5 56. 5 4. 06 4. 06 4. 06 4. 06 4. 06 4. 06 4. 06 4. 06 4. 06 4. 06 40. 6 5. 39 5. 39 5. 39 5. 39 5. 39 5. 39 5. 39 5. 39 5. 39 5. 39 53. 9 5. 0 2. 2 4. 4 1. 9 3. 1 4 4. 2 6. 1 4. 7 4. 9 40. 5 6. 6 3 5. 9 2. 6 4. 1 5. 4 5. 5 8. 1 6. 3 6. 5 54. 00. 64 1. 060. 54 1. 46 0. 560. 540. 441. 840. 640. 842. 40. 40961. 12360. 29162. 13160. 31360. 29160. 19363. 38560. 40960. 70569. 3 0. 96 0. 300. 800. 200. 700. 400. 600. 30 0. 200. 000. 002. 50. 090. 640. 040. 490. 160. 360. 090. 040. 000. 001. 9 0. 430. 61 1. 491. 11 1. 69 0. 790. 710. 412. 010. 611. 112. 60. 37212. 22011. 23212. 85610. 62410. 50410. 16814. 04010. 37211. 232113. 6 1. 17 0. 600. 900. 601. 100. 500. 700. 30 0. 70 0. 300. 002. 50. 360. 810. 361. 210. 250. 490. 090. 490. 090. 004. 2 0. 65层数21 层27 层预测计算方程预测累计平均沉降值 ( mm) 实测累计平均沉降值 ( mm)差数 ( mm)方程 1 4. 06 4. 300. 24方程 1 5. 39 5. 650. 26方程 2 5. 62 5. 650. 03降量为因变量，简化了变量因子，数据来自于所有形数据，混淆于观测数据中难以分离，降低沉降数观测点，样本 有 一 定 的 代 表 性，建立的回归方程，预测值有一定的可靠性和参考作用。据的真实性。(9 )预测累计沉降赋值(2 )回归方程的合理性根据回归方 程 计 算 的为预测累计沉降平均值，解算出的回归方程，除应在相应检验中获得通过外，还应判断其是否合乎实际状况。 一般正常情 况下方程中 a0 ，如果 a 0 时应慎重使用该方程， 分析数据是否存在粗差，或观测精度不够等原因需 要剔除。再经赋值计算出每个沉降观测点的预测累计沉降值后，可提高沉降观测点的预测值精度。(10)“回忆” 性的沉降数据在回归方程的合理范围内，计算的 “回忆” 性的沉降数据也有一定的可信度和参考价值。(3 )(11 )修正回归方程的重要性地下水位的影响合格样本越多，方程预测值的准确度越高。 建立回归方程 计算出预测值后，每 再完成一次观测， 方程中应纳入新完成的实测值，修正回归方程后再 计算预测值，逐步提高回归方程预测值准确度，在xi 远离 x珋时有明显效果。观测数据中，应注意人工干预建筑物及周围地下水位的降低后，引起土层孔隙水压力随之降低后 导致建筑物的阶段性沉降。 这种沉降不宜直接纳入 样本，宜考虑根据水位变化和测量的时间等，通过 分析、模拟等方法，将这种阶段性数据 “隔离” 出 来后，以常数形式加入到沉降量中。(4 )合理的预测对象预测对象宜为基础独立的单位建筑物。 当预测预测对象为多个单位建筑物时，宜分别建立回归数 学模型。(5 ) 自变量的确定引起楼房正常沉降的主要原因是建筑物荷载增 加后，引起地基土层的压缩变形。 以荷载量为自变 量时，具有准确合理的优点，但统计较复杂。 以单 层结构一致的楼层为自变量，有简单的优点和较好 的合理性，以楼层为自变量时宜 精确到一位小数。 当单层结构不一致时，以荷载量作自变量为好。 也 可用设计数据互相予以换算为楼层数