常见离散型随机变量的分布.ppt

第四节常见离散型随机变量的分布 一 两点分布三 泊松分布二 二项分布四 几何分布 一 两点分布 则称X服从参数为p的两点分布 或参数为p的0 1分布 在一次伯努利试验中 若成功率为p 成功的次数X的分布为 两点分布是最简单的一种分布 任何一个只有两种可能结果的随机现象 比如新生婴儿是男还是女 明天是否下雨 种籽是否发芽等 都属于两点分布 两点分布的期望与方差 设X服从参数为p的0 1分布 则有 若在一次伯努利实验中成功 事件A发生 的概率为p 0 p 1 独立重复进行n次 这n次中实验成功的次数 事件A发生的次数 X的分布列为 记为X B n p 或X b n p 称X所服从的分布为二项分布 二 二项分布 二项分布X的分布列表 q 1 p 例1某射手在相同条件下独立地进行5次射击 每次击中目标的概率是0 6 求击中目标次数X的概率分布 P X 0 0 01024 P X 1 0 0768 P X 3 0 3456 P X 4 0 2592 P X 5 0 07776 P X 2 0 2304 解 n 5 p 0 6 例如 一批产品的合格率为0 8 有放回地抽取4次 每次一件 取得合格品件数X 以及取得不合格品件数Y均服从分布为二项分布 X对应的实验次数为n 4 成功 即取得合格品的概率为p 0 8 所以 X B 4 0 8 类似 Y B 4 0 2 若A和是n重伯努利实验的两个对立结果 成功 可以指二者中任意一个 p是 成功 的概率 二项分布的期望与方差 注 利用方差和的性质时要注意相互独立的条件 则 例2设X表示10次独立重复射击命中目标的次数 每次射中目标的概率为0 4 则X2的数学期望E X2 18 4 有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设每辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0 0001 在每天的该段时间内有1000辆汽车通过 问出事故的次数不小于2的概率是多少 例3 故所求概率为 三 泊松分布 例4 设随机变量X服从参数为 的泊松分布 且已知 解 随机变量X的分布律为 由已知 由此得方程 得解 所以 例5一家商店采用科学管理 由该商店过去的销售记录知道 某种商品每月的销售数可以用参数 4的泊松分布来描述 为了以95 以上的把握保证不脱销 问商店在月底至少应进某种商品多少件 解 设该商品每月的销售数为X 已知X服从参数 4的泊松分布 设商店在月底应进某种商品m件 进货数 销售数 查泊松分布表得 也即 于是得m 8 件 泊松分布的期望与方差 历史上 泊松分布是作为二项分布的近似 于1837年由法国数学家泊松引入的 近数十年来 泊松分布日益显示其重要性 成为概率论中最重要的几个分布之一 在实际中 许多随机现象服从或近似服从泊松分布 二项分布与泊松分布的关系 在n重伯努利试验中 事件A在一次试验中发生的概率为pn 与试验次数n有关 则成功次数X服从二项分布 当 则对于任何非负整数k 有 泊松定理 泊松定理的应用 由Poisson定理 可知 若随机变量X b n p 设1000辆车通过 出事故的次数为X 则 可利用泊松定理计算 所求概率为 解 例3有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设每辆汽车 在一天的某段时间内出事故的概率为0 0001 在每天的该段时间内有1000辆汽车通过 问出事故的次数不小于2的概率是多少 例6某射手连续向一目标射击 直到命中为止 已知他命中的概率是p 求射击次数X的概率分布 解 X可能取的值是1 2 P X 1 P A1 p 计算P X k Ak 第k发命中 k 1 2 设 于是 所求射击次数X的概率分布为 四 几何分布 则称X服从几何分布 记作 在独立重复伯努利试验中 若成功率 事件A发生的概率 为p 如果X为首次成功 事件A首次发生 时的试验次数 X的分布列为 例如设某批产品的次品率为p 对该批产品做有放回的抽样检查 直到第一次抽到一只次品为止 在此之前抽到的全是正品 那么所抽到的产品数X是一个随机变量 则X服从几何分布 说明几何分布可作为描述某个试验 首次成功 的概率模型 几何分布的分布列 概率分布P X k p 1 p k 1 k 1 2 n 其中0 p 1 记q 1 p 求和与求导交换次序 几何级数求和公式 几何分布的期望和方差 将q看成变量 DX EX2 EX