复变函数与积分变换课堂PPT第五章.ppt

第五章留数 1孤立奇点 2留数 3留数在定积分计算上的应用 1孤立奇点 1 可去奇点 2 极点 3 本性奇点 4 函数的零点与极点的关系 5 函数在无穷远点的性态 在第二章曾定义函数不解析的点为奇点 如果函数f z 虽在z0不解析 但在z0的某个去心邻 内处处解析 则z0为f z 的孤立奇点 函数的奇点都是孤立的 例如 都以z 0为孤立奇点 但不能认为 的一个奇点 此外 当n的绝对值逐渐增大时 可任意接近z 0 域 例如函数 z 0是它 也是它的奇点 换句话说 在z 0的不论怎样小的去心领域内总有f z 的奇点存在 所以z 0不是孤立奇点 把函数f z 在它的孤立奇点z0的去心邻域内展开 成洛朗级数 根据展开式的不同情况对孤立奇点进行 如果在洛朗级数中不含 点z0称为f z 的可去奇点 这时 f z 在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就 是一个普通的幂级数 的负幂项 则孤立奇 1 可去奇点 如下分类 因此 这个幂级数的和函数F z 是在z0解析的函数 且 时 F z f z 当z z0时 F z0 c0 由于 当 从而函数f z 在z0就成为解析的了 由于这个原因 所以 z0称为可去奇点 所以不论f z 原来在z0是否有定义 如果令f z0 c0 则在圆域 内就有 例如 z 0是 的可去奇点 因为这个函数在 z 0的去心领域内的洛朗级数 中不含负幂项 如果约定 在z 0的值为1 即c0 则 在z 0就成为解析的了 2 极点 其中 如果在洛朗级数中只有有限多个 其中关于 即 则孤立奇点z0称为函数f z 的m级极点 上式也可写成 的负幂项 且 的最高幂为 反过来 当任何一个函数f z 能表示为 5 1 1 的形式 且g z0 0时 则z0是f z 的m级极点 如果z0为f z 的极点 由 5 1 1 式 就有 例如 对有理分式函数 它的三级极点 是它的一级极点 或写作 z 1是 3 本性奇点 中含有无穷多个z的负幂项 如果在洛朗级数中含有无穷多个 孤立奇点z0称为f z 的本性奇点 的负幂项 则 例如 函数 以z 0为它的本性奇点 因为在 级数 在本性奇点的邻域内 f z 有以下性质 证明从略 在本性奇点的邻域内 f z 有以下性质 证明从略 如果z0为函数f z 的本性奇点 则对任意给定的复数A 总可以找到一个趋向于z0的数列 当z沿这个数列趋向 于z0时 f z 的值趋向于A 则由 可得 显然 当 时 所以 当z沿 趋向于i 而 趋向于零时 f z 的值 例如 给定复数A i 可把它写成 存在且有限 如果z0为f z 的极点 则 如果z0为f z 的本性奇点 则 不存在且不为 反过来结论也成立 这就是说 可以利用上述极限的 不同情形来判别孤立奇点的类型 综上所述 如果z0为f z 的可去奇点 则 4 函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数f z 如果能表示成 其中 f z 的m级零点 例如当 级零点 根据这个定义 可以得到以下结论 若f z 在z0解析 则z0是f z 的m级零点的充要 在z0解析且 m为某一正整数 则z0称为 时 z 0与z 1是它的一级与三 条件是 事实上 如果z0是f z 的m级零点 那么f z 可表 成如下形式 其中 那么f z 在z0的泰勒展开式为 设在z0的泰勒展开式为 易证z0是f z 的m级极点的充要条件是前m项系数 从而知z 1是f z 的一级零点 如z 1是f z z3 1的零点 由于f 1 3z2 z 1 3 0 这等价于 顺便指出 由于 在z0的去心邻域内不为零 即 的邻域内不为零 这是因为 解析函数的零点是孤立的 必存在 由此得 时 有 在z0解析且 因而它在z0 在z0解析 必在z0连续 所以给定 当 所以 不恒为零 只在z0等于零 也就是说 一个不恒为零的 定理如果z0是f z 的m级极点 则z0就是 的m级 证 如果z0是f z 的m级极点 则有 零点 反过来也成立 其中g z 在z0解析 且m级极点 则有 所以当 时 有 函数h z 也在z0解析 且 又由于 因此只要令 则可得z0是 的m级零点 的m级极点 这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单 的方法 例1函数 有些什么奇点 如果是极点 指出 它的级 解 函数1 sinz的奇点显然是使sinz 0的点 这些 奇点是 因为从sinz 0得 或 立奇点 由于 点 的一级极 注意 在求函数的孤立奇点时 不能一看函数表面 极点 其实是一级极点 因为 的2级极点而不是3级极点 例 下列函数有些什么奇点 如果是极点 指出 它的级 解 1 显然 是三级极点 是二级极点 所以 是可去奇点 例 下列函数有些什么奇点 如果是极点 指出 它的级 解 3 显然 是函数的奇点 所以 是六级极点 又 5 函数在无穷远点的性态 如果函数f z 在无穷远点z 的去心邻域R z 内解析 称点 为f z 的孤立奇点 作变换 规定这个变换把扩充z平面上的无穷远点 扩充t平面上的点 并且 映射成 则扩充z平面上每一个向无穷 到现在为止 讨论函数f z 的解析性和它的孤立 奇点时 都设z为复平面内的有限远点 至于函数在无 穷远点的性态 尚未提及 现在在扩充复平面上对此 加以讨论 与扩充t平面上向零收敛的序 列对应 反过来也是这样 无穷远点收敛的序列 相对应 反过来也 是这样 同时 把扩充z平面上 的去心领域 映射成扩充t平面上原点的去心领域 又 这样 可把在去心领域 对f z 的研究化为在 内对 的研究 显然 在 内解析 所以z 0是 的孤立奇点 规定 如果t 0是 本性奇点 则称点z 是f z 的可去奇点 m级极点 或本性奇点 由于f z 在R z 内解析 所以在此 圆环域内可以展开成洛朗级数 即有 的可去奇点 m级极点或 其中C为R z 内绕原点任何一条简单正向闭曲线 如果在上面级数中 因此 在圆环域 内的洛朗级数可由得 到上式得到为 为最高幂 i 可去奇点 则t 0是 iii 含有无穷多的负幂项 ii 含有有限多的负幂项 且 i 不含负幂项 的 ii m级极点 iii 本性奇点 因此 根据前面的规定 有 i 不含正幂项 ii 含有限多的正幂项 且zm为最高幂 iii 含有无穷多的正幂项 则z 是f z 的 i 可去奇点 ii m级极点 iii 本性奇点 如果在级数中 这样一来 对于无穷远点来说 它的特性与其洛朗 级数之间的关系就跟有限远点的情形一样 不过只是把 正幂项与负幂项的作用互相对调就是了 例 下列函数中 的奇点类型 解 1 显然 是二级极点 所以 是二级极点 当z 令 则 例 下列函数中 的奇点类型 解 所以 是本性奇点 例 下列函数中 的奇点类型 解 3 所以 是本性奇点 当z 令 则 由前面分析又知道 要确定t 0是不是 去奇点 极点或本性奇点 可以不必把 展开成洛 值 为无穷大或即不存在又不为无穷大数就可以了 对于无穷远点也有同样的确定方法 即z 是f z 的可去奇点 极点或本性奇点 完全看 是否存在 有限值 为无穷大或即不存在 的可 朗级数来考虑 只要分别看极限 是否存在 有限 又不是无穷大来决定 由于 极限 的 只要取 当z 是f z 的可去奇点 可以认为f z 在 是解析 例如函数 在圆环域 内可展开成 它不含正幂项 所以 是f z 的可去奇点 若取 f 1 则f z 在 解析 又如函数 项 所以 为它的一级极点 含有无穷多的正幂项 所以 是它的本性奇点 含有正幂项 且z为最高正幂 函数sinz的展开式 1是f z 的2级极点 例2函数 类型的奇点 如果是极点 指出它的级 解 易知 函数f z 除使分母为零的点 零点 所以这些点中除去1 1 2外都是f z 的三级极点 在扩充平面内有些什么 所以z 2是f z 的可去奇点 至于z 2 因为 例 判定z 是下列函数的什么奇点 解 1 所以 是可去奇点 所以 是本性奇点 所以 是可去奇点 2留数 1 留数的定义及留数定理 2 留数的计算规则 3 在无穷远点的留数 1 留数的定义及留数定理 但是 如果z0为f z 的一个孤立奇点 则沿在z0的某 一般就不等于零 如果函数f z 在z0的邻域内解析 那末根据柯西 古萨基本定理 个去心邻域 其中C为z0领域内任意一条简单闭曲线 内包含z0的任意一条正向简 单闭曲线C的积分 因此将f z 在此邻域内展开为洛朗级数 其中c 1就称为f z 的留数 也就是上面积分两边除以 后 两端沿C逐项积分 右端各项积分除留下 的一项等于 外 其余各项积分都等于零 所以 后所得的数称为f z 在z0的留数 记作Res f z z0 即 即 从而有 也就是说 f z 在z0的留数就是f z 在以z0为中心的 定理一 留数定理 设函数f z 在区域D内除有限个 D z1 z2 z3 zn C1 C2 C3 Cn C 孤立奇点z1 z2 zn外处处解析 C是D内包围诸奇点的 一条正向简单闭曲线 则 关于留数 有下面的基本定理 k 1 2 n 用互不包含的正向 证 把在C内的孤立奇点zk 简单闭曲线Ck围绕起来 则根据复合闭路定理有 即 利用这个定理 求沿封闭曲线C的积分 就转化 为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数 由此可 见 留数定理的效用有赖于如何能有效地求出是f z 以 除等式两边 得 在孤立奇点处z0处的留数 一般说来 求函数在奇点z0 处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中 对求留数可能更有利 如果z0是f z 的可去奇点 则 Res f z z0 0 因为此时f z 在z0的展开式是泰勒展 开式 如果z0是本性奇点 则没有太好的办法 只好 将其按洛朗级数展开 如果z0是极点 则有一些对求 项的系数即可 但如果知道奇点的类型 c 1有用的规则 2 留数的计算规则 规则II如果z0为f z 的m级极点 则 规则I如果z0为f z 的一级极点 则 事实上 由于 令两端z z0 右端的极限是 m 1 c 1 两端除以 m 1 就是Res f z z0 因此即得规则II 当m 1时就是规则I 两边求m 1阶导数 得 规则III设 P z 及Q z 在z0都解析 则z0为f z 的一级极 点 而 如果 事实上 因为 及 所以为Q z 的 一级零点 从而z0为 的一级极点 因此 其中 在z0解析 且 故z0为f z 的一级极点 由此得 其中 在z0解析 例1计算积分 C为正向圆周 z 2 解 由于 有两个一级极点 而这两个极点都在圆周 z 2内 所以 由规则I 得 而 根据规则I 令 即得规则III 所以 因此 我们也可以用规则III来求留数 这比用规则1要简单些 例求下各函数f z 在有限奇点处的留数 解 1 有两个一级极点 方法一 由规则I 得 例求下各函数f z 在有限奇点处的留数 解 1 有两个一级极点 方法二 由规则III 得 例求下各函数f z 在有限奇点处的留数 解 2 的极点为 一 为一级极点 所以 例求下各函数f z 在有限奇点处的留数 解 2 的极点为 二 的一级极点 是 从而 是 的二级极点 所以 例求下各函数f z 在有限奇点处的留数 解 3 有一个n 1级极点 方法一 由规则II 得 例求下各函数f z 在有限奇点处的留数 解 3 方法二 将函数在 上展开成洛朗级数 即 所以 有一个n 1级极点 例求下各函数f z 在有限奇点处的留数 解 4 方法一 将函数在 上展开成洛朗级数 所以 有一个4级极点 例求下各函数f z 在有限奇点处的留数 解 4 方法二 由规则II 取m比实际级数高 即m 5 有 有一个4级极点 例2计算积分 C为正向圆周 z 2 解 被积函数 有四个一级极点 都在圆周 z 2内 所以 由规则III 故 例3计算积分 C为正向圆周 z 2 解 z 0为被积函数的一级极点 z 1为二级极点 而 所以 级数 由于 在z 0处的留数 为了要用公式 先应定出极点z 0的 以上介绍了求极点处留数的若干公式 用这些公 式解题有时虽感方便 但也未必尽然 例如欲求函数 因此z 0是z sinz的三级零点 从而由f z 的表达式知 z 0是f z 的三级极点 应用规则II 得 就比较方便 因为 如果利用洛朗展开式求 由此可见 往下的运算既要先对一个分式函数求二阶 函数 然后又要对求导结果求极限 这就十分繁杂 所以 可见解题的关键在于根据具体问题灵活选择方法 不 要拘泥于套用公式 3 在无穷远点的留数 的值与C无关 称其为f z 在 点的留数 记作 积分路线的方向是负的 也就是顺时针方向 绕原点的任何一条简单闭曲线 则积分 设函数f z 在圆环域R z 内解析 C为圆环域内 从第一节可知 当n 1时 有 因此 由 5 2 7 可得 这就是说 f z 在 点的留数等于它在 点的去心领域 R z 内洛朗展开式中z 1的系数变号 定理二如果函数f z 在扩充复平面内只有有限 个孤立奇点 那末f z 在所有各奇点 包括 点 的留数 总和必等于零 下面的定理在计算留数时是很有用的 证 除 点外 设f z 的有限个奇点为zk k 1 2 n 又设C为一条绕原点的并将zk k 1 2 n 包含在它内部 的正向简单闭曲线 则根据留数定理与在无穷远点的留 数定义 有 规则IV 关于在无穷远点的留数计算 有以下的规则 那末 事实上 在无穷远点的留数定义中 取正向简单 闭曲线C为半径足够大的正向圆周 令 于是有 为正向 并设 所以规则IV成立 由于f z 在 内解析 从而 内解析 因此 在 外没有其他 奇点 由留数定理 得 定理二与规则IV为提供了计算函数沿闭曲线积分 在 内除 的又一种方法 在很多情况下 它比利用上一段中的 方法更简便 例求函数 在 点的留数 解 由 而 故 的项系数为 例求函数 在 点的留数 解 而 故 在有限点处有一级极点 例求函数 在 点奇点类型和留数 解 由 故z 是 的本性奇点 例4计算积分 C为正向圆周 z 2 解 在 z 2的外部除 外无奇点 因此 又 根据定理二与规则IV 因此 例5计算 C为正向圆周 z 2 解 被积函数除 外还有奇点 i 1与3 由 定理二 有 其中 由于 i与1在C的内部 所以从上式 留数定理 与规则IV得到 如果用上一段的方法 由于 i是10级极点 并且 在C的内部 因而计算必然很繁琐 例利用留数计算积分 解 函数在 z 2的外部除 外无奇点 因此在 又 内把被积函数展开成洛朗级数 有 例利用留数计算积分 解 所以 所以 例利用留数计算积分 解 函数在 z 2的外部除 外无奇点 因此根据 又 定理二与规则IV 则 例利用留数计算积分 解 所以 所以 3留数在定积分计算上的应用 1 形如 2 形如 3 形如 的积分 的积分 的积分 根据留数定理 用留数来计算定积分是计算定积分 显得有用 即使寻常的方法可用 如果用留数 也往往 首先 被积函数必须要与某个解析函数密切相关 这一 的一个有效措施 特别是当被积的原函数不易求得时更 感到很方便 当然这个方法的使用还受到很大的限制 点 一般讲来 关系不大 因为被积函数常常是初等函 数 而初等函数是可以推广到复数域中去的 其次 定积分的积分域是区间 而用留数来计算要牵涉到把 问题化为沿闭曲线的积分 这是比较困难的一点 下面 来阐述怎样利用复数求某几种特殊形式的定积分的值 其中 从而积分化为沿正向单位圆周的积分 1 形如的积分 为 与 的有理函数 令 则 其中f z 是z的有理函数 且在单位圆周 z 1上分母不为 其中zk k 1 2 n 为单位圆 z 1内的f z 的孤立奇点 零 根据留数定理 得所求的积分值 解 由于0 p 1 被积函数的分母在 内不为零 因而积分是有意义的 由于 因此 在被积函数的三个极点z 0 p 1 p中只有前两个在 圆周 z 1内其中 z 0为二级极点 z p为一级极点 所以在圆周 z 1上被积函数无奇点 则 因此 解 设 代入得 的值 例计算 将 被积函数在被积区域内只有一个一级极点 又 所以 为一已约分式 当被积函数R x 是x的有理函数 而分母的次数至少 比分子的次数高二次 且R z 在实轴上没有孤立奇点时 积分是存在的 不失一般性 设 取积分路线如图所示 其中CR是以原点为中心 R为半 z1 z2 z3 y CR R R O x 径的在上半平面的半圆周 取R适当大 使R z 所有的 在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内 由留数 定理 得 此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变 因为 而当 z 充分大时 总可使 因此 在半径R充分大的CR上 有 如果R x 为偶函数 所以 的一级极点为 例2计算积分 的值 解 这里 并且实轴上R z 没有 孤立奇点 因此积分是存在的 函数 其中ai与bi在上半平面内 由于 所以 在上半平面有二级极点为 例计算积分 的值 解 这里 并且实轴上R z 没有 孤立奇点 因此积分是存在的 函数 在上半平面有二级极点为 例计算积分 的值 解 这里 并且实轴上R z 没有 孤立奇点 因此积分是存在的 函数 一级极点为 例计算积分 的值 解 当R x 是x的有理函数而分母的次数至少比分子的 次数高一次 且R z 在实数轴上没有奇点时 积分是存 在的象2中处理的一样 由于m n 1 故对充分大的 z 有 因此 在半径R充分大的CR上 有 上面用到不等式 于是得 或 在上半平面内有一级极点ai 例3计算 的值 解 这里 R z 的实轴上无孤立 奇点 因而所求的积分是存在的 因此 因此 还可以利用复变函数计算出下列积分值 在上半平面内有一级极点z 2 i 例计算 的值 解 这里 R z 的实轴上无孤立 奇点 因而所求