2018年高中数学_第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程课件6 北师大版选修1-1

2 3双曲线2 3 1双曲线及其标准方程 悲伤的双曲线如果我是双曲线 你就是那渐近线如果我是反比例函数 你就是那坐标轴虽然我们有缘 能够生在同一个平面然而我们又无缘 漫漫长路无交点为何看不见 等式成立要条件难道正如书上说的 无限接近不能达到为何看不见 明月也有阴晴圆缺此事古难全 但愿千里共婵娟 生活中的双曲线 法拉利主题公园 巴西利亚大教堂 麦克唐奈天文馆 1 记住双曲线的定义 会推导双曲线的标准方程 重点 2 会用待定系数法确定双曲线的方程 难点 探究点1双曲线的定义 问题1 椭圆的定义 平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 问题2 如果把椭圆定义中的 距离之和 改为 距离之差 那么点的轨迹是怎样的曲线 即 平面内与两个定点F1 F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹 是什么 如图 A MF1 MF2 F2F 如图 B MF2 MF1 2a 由 可得 MF1 MF2 2a 非零常数 上面两条曲线合起来叫做双曲线 每一条叫做双曲线的一支 看图分析动点M满足的条件 2a 即 MF1 MF2 2a 图 图 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 双曲线的焦距 1 2a 2c o F 2 F 1 M 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于非零常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 2 2a 0 双曲线定义 MF1 MF2 2a 0 2a 2c 注意 1 定义中为什么要强调差的绝对值 举一反三 若不加绝对值 则曲线为双曲线的一支 2 定义中的常数2a可否为0 2a 2c 2a 2c 不能 若为0 曲线就是F1F2的垂直平分线了 若为2a 2c 曲线应为两条射线 若为2a 2c 这样的曲线不存在 探究点2双曲线的标准方程 1 建系 如图建立直角坐标系xOy 使x轴经过两焦点F1 F2 y轴为线段F1F2的垂直平分线 设M x y 为双曲线上任意一点 双曲线的焦距为2c c 0 则F1 c 0 F2 c 0 又设点M与F1 F2的距离的差的绝对值等于常数2a 2 设点 3 列式 由定义可知 双曲线就是集合 P M MF1 MF2 2a 4 化简 代数式化简得 由双曲线的定义知 2c 2a 0 即c a 故c2 a2 0 令c2 a2 b2 其中b 0 代入上式 得 上面方程是双曲线的方程 我们把它叫做双曲线的标准方程 它表示焦点在x轴上 焦点分别是F1 c 0 F2 c 0 的双曲线 这里c2 a2 b2 想一想 焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是什么 我们应该如何求解 F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2 MF1 MF2 2a 2a F1F2 F 0 c F 0 c 提升总结 解 因为双曲线的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 因为2a 6 2c 10 所以a 3 c 5 所以 因此 双曲线的标准方程为 例2已知A B两地相距800m 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 且声速为340m s 求炮弹爆炸点的轨迹方程 分析 首先根据题意 判断轨迹的形状 由声速及A B两处听到爆炸声的时间差 可知A B两处与爆炸点的距离的差为定值 这样 爆炸点在以A B为焦点的双曲线上 因为爆炸点离A处比离B处远 所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上 解 如图所示 建立直角坐标系xOy 使A B两点在x轴上 并且坐标原点O与线段AB的中点重合 P B A 设爆炸点P的坐标为 x y 则 即2a 680 a 340 又 所以2c 800 c 400 因此炮弹爆炸点的轨迹 双曲线 的方程为 举一反三 1 若在A B两地同时听到炮弹爆炸声 则炮弹爆炸点的轨迹是什么 解 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线 2 根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差 可以确定爆炸点在某条曲线上 但不能确定爆炸点的准确位置 而现实生活中为了安全 我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置 怎样才能确定爆炸点的准确位置呢 解 再增设一个观测点C 利用B C 或A C 两处测得的爆炸声的时间差 可以求出另一个双曲线的方程 解这两个方程组成的方程组 就能确定爆炸点的准确位置 这是双曲线的一个重要应用 1 已知两定点F1 5 0 F2 5 0 动点P满足 PF1 PF2 2a 则当a 3和5时 P点的轨迹为 A 双曲线和一直线B 双曲线和一条射线C 双曲线的一支和一条射线D 双曲线的一支和一条直线 2 若方程 k2 k 2 x2 k 1 y2 1的曲线是焦点在y轴上的双曲线