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高考复习资料之正态分布一、 基础知识回顾1.正态分布:若总体密度曲线就是或近似地是函数的图象其中:是圆周率;e是自然对数的底;x是随机变量的取值,为正态分布的平均值;是正态分布的标准差这个总体是无限容量的抽样总体,其分布叫做正态分布正态分布由参数,唯一确定,记作,E()=,D()=.2.函数f(x)图象被称为正态曲线(1)从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为x=,并在x=时取最大值。(2)从x=点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近x轴,但永不与x轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的,(3)当的值一定时, 越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;越小,曲线越“高”总体分布越集中3. 把即=0,=1称为标准正态分布,这样的正态总体称为标准正态总体,其密度函数为,x(-,+),相应的曲线称为标准正态曲线.利用标准正态分布表可求得标准正态总体在某一区间内取值的概率. (1)对于标准正态总体,是总体取值小于的概率,即:,其中,其值可以通过“标准正态分布表”查得,也就是图中阴影部分的面积,它表示总体取值小于的概率(2)标准正态曲线关于y轴对称。因为当时,;而当时,根据正态曲线的性质可得:,并且可以求得在任一区间内取值的概率:,显然(0)=0.5.5.对于任一正态总体,都可以通过使之标准化,那么,P()=P()=,求得其在某一区间内取值的概率.例如: N(1,4),那么,设=,则,有P(3)=P(1)=0.8413.6. (1)=0.8413、(2)=0.9772、(3)=0.9987 二、例题1.下面给出三个正态总体的函数表示式,请找出其均值和标准差(1),(-x+ (2),(-x+(3),(-x+2.正态总体的函数表示式是,(-x+)(1)求f(x)的最大值;(2)利用指数函数性质说明其单调区间,以及曲线的对称轴3.利用标准正态分布表(1)=0.8413、(2)=0.9772、(3)=0.9987)求标准正态总体在下面区间取值的概率(1)(0,1);(2)(1,3);(3)(-1,2).利用标准正态分布表(1)=0.8413、(1.84)=0.9671),求正态总体在下面区间取值的概率(1)在N(1,4)下,求F(3)(2)在下,求P(-1.84X+1.84)*.对于正态总体取值的概率:()(-,+):()(-2,+2):()(-3,+3):取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%。因此我们时常只在区间(-3,+3)内研究正态总体分布情况,而忽略其中很小的一部分,这一部分情况发生为小概率事件。6.下列关于正态曲线性质的叙述正确的是(1)曲线关于直线x=对称,这个曲线只在x轴上方;(2)曲线关于直线x=对称,这个曲线只有当x(-3,3)时才在x轴上方;(3)曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数;(4)曲线在x=时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;(5)曲线的对称轴由确定,曲线的形状由确定;(6)越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;越小,曲线越“高”总体分布越集中()(A)只有()()()() (B) 只有(2)()() (C) 只有(3)()()() (D) 只有()()()7.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一个新的曲线b,下列说法不正确的是 (A)曲线b仍然是正态曲线 (B)曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 (C)以曲线a为概率密度曲线的总体的方差比以曲线b为概率密度曲线的总体的方差大2 (D)以曲线a为概率密度曲线的总体的期望比以曲线b为概率密度曲线的总体的期望小28.在正态总体(0,)中,数值落在(-,-1)(1,+)里的概率为(A)0.097 (B).046 (C)0.03 (D)0.0039.设随机变量N(2,4),则D()等于 (A)1 (B)2 (C)0.5 (D)410.设随机变量(,),且P(C)=P(C),则C等于 ( ) (A)0 (B) (C)- (D)11.正态总体的概率密度函数为,则总体的平均数和标准差分别是 (A)0和8 (B)0和4 (C)0和2 (D)0和 12.填空题(1)若随机变量N(1,0.25),则2的概率密度函数为 .(2)期望为2,方差为的正态分布的密度函数是 .(3)已知正态总体落在区间(0.2,+)的概率是0.5,则相应的正态曲线f(x)在x= 时,达到最高点.(4)已知N(0,1),P(1.96)=(1.96)=0.9750,则(-1.96)= .(5)某种零件的尺寸服从正态分布N(0,4),则不属于区间(-4,4)这个尺寸范围的零件约占总数的 .(6)某次抽样调查结果表明,考生的成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%,则考生成绩在60至84分之间的概率为 .参考答案:1(1)0,1(2)1,2(3)-1,0.5;2.(1)x=-1时,(2)对称轴为x=-1.3.(1)0.3413(2)0.1574(3)0.81854. (1)F(3)=0.8413(2) P

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