2019高考数学二轮复习_专题六 函数与导数、不等式 第4讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题课件

第4讲导数与函数的单调性 极值 最值问题 高考定位利用导数研究函数的性质 能进行简单的定积分计算 以含指数函数 对数函数 三次有理函数为载体 研究函数的单调性 极值 最值 并能解决简单的问题 1 2018 全国 卷 设函数f x x3 a 1 x2 ax 若f x 为奇函数 则曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为 A y 2xB y xC y 2xD y x解析因为函数f x x3 a 1 x2 ax为奇函数 所以f x f x 可得a 1 所以f x x3 x 所以f x 3x2 1 所以f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 答案D 真题感悟 2 2017 全国 卷 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 A 1B 2e 3C 5e 3D 1解析f x x2 a 2 x a 1 ex 1 则f 2 4 2 a 2 a 1 e 3 0 a 1 则f x x2 x 1 ex 1 f x x2 x 2 ex 1 令f x 0 得x 2或x 1 当x1时 f x 0 当 2 x 1时 f x 0 则f x 极小值为f 1 1 答案A 3 2018 天津卷 已知函数f x exlnx f x 为f x 的导函数 则f 1 的值为 答案e 若a 2 则f x 0 当且仅当a 2 x 1时f x 0 所以f x 在 0 上单调递减 1 试讨论函数f x 的单调性 2 设x1 x2是f x 的两个极值点 且x2 x1 设t f x1 f x2 a 2 x1 x2 试证明t 0 2 证明由 1 知 f x 存在两个极值点时 当且仅当a 2 由于f x 的两个极值点x1 x2满足x2 ax 1 0 所以x1x2 1 又 x2 x1 0 所以x2 1 又t f x1 f x2 a 2 x1 x2 1 导数的几何意义 函数f x 在x0处的导数是曲线f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 曲线f x 在点P处的切线的斜率k f x0 相应的切线方程为y f x0 f x0 x x0 易错提醒求曲线的切线方程时 要注意是在点P处的切线还是过点P的切线 前者点P为切点 后者点P不一定为切点 考点整合 2 四个易误导数公式 3 利用导数研究函数的单调性 1 导数与函数单调性的关系 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 如果函数在某个区间内恒有f x 0时 则f x 为常数函数 2 利用导数研究函数单调性的方法 若求单调区间 或证明单调性 只要在函数定义域内解 或证明 不等式f x 0或f x 0 若已知函数的单调性 则转化为不等式f x 0或f x 0在单调区间上恒成立问题来求解 4 利用导数研究函数的极值 最值 1 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 2 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 易错提醒若函数的导数存在 某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件 热点一导数与定积分的几何意义 例1 1 2016 全国 卷 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x ln x 3x 则曲线y f x 在点 1 3 处的切线方程是 解析 1 令x 0 则 x 0 f x lnx 3x 又f x 为偶函数 即f x f x 在点 1 3 处的切线方程为y 3 2 x 1 即2x y 1 0 探究提高1 利用导数的几何意义解题 主要是利用导数 切点坐标 切线斜率之间的关系来进行转化 其中关键是确定切点的坐标 2 利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 1 正确画出几何图形 结合图形位置 准确确定积分区间以及被积函数 从而得到面积的积分表达式 再利用微积分基本定理求出积分值 2 根据图形的特征 选择合适的积分变量 在以y为积分变量时 应注意将曲线方程变为x y 的形式 同时 积分上 下限必须对应y的取值 又该切线与直线x ay 1 0垂直 所以k1k2 1 解得a 1 热点二利用导数研究函数的单调性考法1确定函数的单调性 区间 例2 1 2017 全国 卷改编 已知函数f x ex ex a a2x 其中参数a 0 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 0 求a的取值范围 解 1 函数f x 的定义域为 且a 0 f x 2e2x aex a2 2ex a ex a 若a 0 则f x e2x 在 上单调递增 综上所述 当a 0时 f x 在R上单调递增 2 当a 0时 f x e2x 0恒成立 所以f 1 0 即2 b 1 0 解得b 3 经检验 适合题意 所以b 3 令f x 0 得0 x 1 所以函数f x 的单调递减区间为 0 1 因为函数g x 在 1 2 上单调递增 所以g x 0在 1 2 上恒成立 所以a 2x2 x在 1 2 上恒成立 所以a 2x2 x max x 1 2 因为在 1 2 上 2x2 x max 3 所以a 3 所以a的取值范围是 3 探究提高1 求函数的单调区间 只需在函数的定义域内解 证 不等式f x 0或f x 0 2 1 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立的理论求解 应注意参数的取值是f x 不恒等于0的参数的范围 2 若函数y f x 在区间 a b 上不单调 则转化为f x 0在 a b 上有解 训练2 已知a R 函数f x x2 ax ex x R e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 2 若函数f x 在 1 1 上单调递增 求a的取值范围 解 1 当a 2时 f x x2 2x ex 所以f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 2 因为函数f x 在 1 1 上单调递增 所以f x 0对x 1 1 都成立 因为f x 2x a ex x2 ax ex x2 a 2 x a ex 所以 x2 a 2 x a ex 0对x 1 1 都成立 因为ex 0 所以 x2 a 2 x a 0 热点三利用导数研究函数的极值和最值考法1求函数的极值 最值 例3 1 2018 北京卷 设函数f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex 1 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 求a 2 若f x 在x 2处取得极小值 求a的取值范围 解 1 因为f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex 所以f x ax2 2a 1 x 2 ex f 1 1 a e 由题设知f 1 0 即 1 a e 0 解得a 1 此时f 1 3e 0 所以a的值为1 2 f x ax2 2a 1 x 2 ex ax 1 x 2 ex 当x 2 时 f x 0 所以f x 在x 2处取得极小值 所以f x 0 所以2不是f x 的极小值点 探究提高1 本题利用导数的几何意义曲线在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 求a值 切记 需检验切线是否与x轴重合 2 1 可导函数在极值点处的导数一定为零 但导数为零的点不一定是极值点 是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点 2 求函数f x 在闭区间 a b 的最值时 在得到极值的基础上 结合区间端点的函数值f a f b 与f x 的各极值进行比较得到函数的最值 训练3 已知函数f x excosx x 解 1 f x ex cosx x f 0 1 f x ex cosx sinx 1 f 0 0 y f x 在 0 f 0 处的切线方程为y 1 0 x 0 即y 1 2 f x ex cosx sinx 1 令g x f x g x g 0 0 f x 0且仅在x 0处等号成立 令f x 0 即x2 ax 1 0 其中 a2 4 当a2 4 0时 即 2 a 2时 x2 ax 1 0恒成立 f x 0 则f x 在 0 上递增 函数无极值点 若a 2 则x10 当x x1 x2 时 f x 0 故x1是f x 的极大值点 x2是f x 的极小值点 综上 当a 2时 f x 有两个极值点 当a 2时 f x 无极值点 当x 0 1 时 ex x 1 lnx x2 10 即h x 0 h x 单调递增 因此x 1为h x 的极小值点 即h x h 1 e 1 故a e 1 探究提高1 求函数f x 的极值 则先求方程f x 0的根 再检查f x 在方程根的左右附近函数值的符号 2 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0根的大小或存在情况来求解 训练4 已知函数f x ax 1 lnx a R 1 讨论函数f x 在定义域内的极值点的个数 2 若函数f x 在x 1处取得极值 x 0 f x bx 2恒成立 求实数b的最大值 当a 0时 f x 0在 0 上恒成立 函数f x 在 0 上单调递减 f x 在 0 上没有极值点 综上 当a 0时 f x 在 0 上没有极值点 当a 0时 f x 在 0 上有一个极值点 2 函数f x 在x 1处取得极值 f 1 a 1 0 则a 1 从而f x x 1 lnx 则g x 在 0 e2 上单调递减 在 e2 上单调递增 1 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个 这些单调区间不能用 连接 而只能用逗号或 和 字隔开 2 可导函数在闭区间 a b 上的最值 就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值 3 可导函数极值的理解 1 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定 也有可能极小值大于极大值 2 对于可导函数f x f x 在x x0处的导数f x0 0 是 f x 在x x0处取得极值 的必要不充分条件 3 注意导函数的图象与原函数图象的关系