2019_2020学年高中数学第4章函数模型的应用第2课时建立函数模型解决实际问题教学案新人教A版.docx

第2课时建立函数模型解决实际问题(教师独具内容)课程标准：结合现实情境中的具体问题，会选择合适的函数模型来解决问题教学重点：建立函数模型解决实际问题教学难点：建立函数模型【知识导学】知识点一用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型(3)求模：求解函数模型，得到数学结论(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中可将这些步骤用框图表示如下：知识点二数据拟合(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合(2)数据拟合的步骤以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；做必要的检验【新知拓展】1常见的函数模型2分段函数模型：y1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)能用指数型函数f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数()(2)函数y3x1属于幂函数模型()(3)当a1，n0时，在区间(0，)上，对任意的x，总有logaxxnax成立()(4)当x100时，函数y10x1比ylg x增长的速度快()答案(1)(2)(3)(4) 2做一做(1)某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是()Ay2x1Byx21Cy2x1Dy1.5x22.5x2(2)如图所示的曲线反映的是_函数模型的增长趋势(3)已知直角梯形ABCD如图所示，CD2，AB4，AD2，线段AB上有一点P，过点P作AB的垂线l，当点P从点A运动到点B时，记APx，l截直角梯形的左边部分面积为y，则y关于x的函数关系式为_答案(1)D(2)对数(3)y题型一 函数模型的选择问题例1某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解借助工具作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(如图所示)，观察图象可知，在区间5,60上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图象始终在y3和y0.2x的下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求金版点睛不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加据测，2015年、2016年、2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位若用一个函数模型每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)px2qxr(其中p，q，r为常数)或函数g(x)abxc(其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？解若以f(x)px2qxr作模拟函数，则依题意，得解得f(x)x2x.若以g(x)abxc作模拟函数，则解得g(x)x3.利用f(x)，g(x)对2018年CO2浓度作估算，则其数值分别为f(4)10单位，g(4)10.5单位，|f(4)16.5|g(4)16.5|，故g(x)x3作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用g(x)x3作模拟函数较好.题型二 建立函数模型解决实际问题例2某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？解设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知y1(5025)x20.5x3000024x30000.y2(5025)x140.5x18x.(1)当x3000时，y142000，y254000，y1y2，应选择方案一处理污水金版点睛建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要看建立的函数模型与实际的拟合程度.而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据.某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元)解按甲方案，每年利息10010%10,5年后本息合计150万元；按乙方案，第一年本息合计1001.09，第二年本息合计1001.092，5年后本息合计1001.095153.86万元故按乙方案投资5年可多得利息3.86万元，更有利.题型三 用分段函数模型解决实际问题例3提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并结合(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，f(x)在区间0,20上取得最大值60201200；当200.1时，yt0.1.y(2)由题意可知，t0.10.6，即这次消毒0.66036(分钟)后，学生才能进教室.题型四 建立拟合函数模型解决实际问题例418世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？解由数值对应表作散点图如图由图采用指数型函数作模型，设f(x)abxC代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得()()得b2，代入，得解得f(x)2x.f(5)5.2，f(6)10，符合对应表值，f(4)2.8，f(7)19.6，所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处在土星外面的行星与太阳的距离大约是19.6天文单位金版点睛对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式yf(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？解(1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)在同一条直线上，设此直线为ykxb，y3x150(xN，x50)，经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y3x150(xN，x50)(2)依题意有Py(x30)(3x150)(x30)3(x40)2300，当x40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润1四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x1)的函数关系是f1(x)x2，f2(x)2x，f3(x)log2x，f4(x)2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()Af1(x)x2Bf2(x)2xCf3(x)log2xDf4(x)2x答案D解析由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D2某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A300只B400只C500只D600只答案A解析由已知第一年有100只，得a100.将a100，x7代入yalog2(x1)，得y300.3某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()AyaxbByax2bxcCyaexbDyaln xb答案B解析二次函数模型的表达式为yax2bxc(a，b，c为常数，a0)，其函数图象与题图中的图形相符，因此可选择的模拟函数模型为二次函数模型故选B4.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1aent，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过_分钟，桶1中的水只有 L.答案10解析由题意，可得ae5n，nln 2，令aetln 2，解得t15，从而再经过10分钟，桶1中的水只有 L.5医院通过撒某种药物对病房进行消毒已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x表示时间(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度：f(x)(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简