1.5二次函数的应用

二次函数 第1章 二次函数的应用 1 5 动脑筋 如图 一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分 拱桥的跨度是4 9m 当水面宽4m时 拱顶离水面2m 若想了解水面宽度变化时 拱顶离水面高度是怎样变化 你能建立函数模型来解决这个问题吗 解析 以拱顶为原点 抛物线的对称轴为y轴 建立直角坐标系 设抛物线解析式为 已知水面宽4m 拱顶离水面高2m 因此A 2 2 在抛物线上 由此得出 解得 因此 函数表达式为 其中是水面宽度的一半 y是拱顶离水面高度的相反数 由于拱桥跨度为4 9m 因此自变量x的取值范围是 2 45 x 2 45 当水面宽4 6m时 拱顶离水面几米 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么 实际问题 建立二次函数模型 实际问题的解 利用二次函数的图象和性质求解 说一说 如图 用8m长的铝材做一个日字形窗框 试问 窗框的宽和高各为多少时 窗框的透光面积S m2 最大 最大面积是多少 假设铝材的宽度不计 动脑筋 解析 设窗框的宽为xm 则窗框的高为m 其中则窗框的透光面积为配方可得 故当时 S取最大值 这时高为2m 则当窗框的宽为m 高为2m时 窗框的透光面积最大 最大面积为m2 例某网络玩具店引进一批进价为20元 件的玩具 如果以单价30元销售 那么一个月内可售出180件 根据销售经验 提高销售单价会导致销售量的下降 即销售单价每上涨1元 月销售量将相应减少10件 当销售单价为多少元时 该店能在一个月内获得最大利润 举例 解设每件商品的销售单价上涨x元 一个月内获取的商品总利润为y元 每月减少的销量为10 x 件 实际销售量为180 10 x 件 单件利润为 30 x 20 元 则 即配方可得 答 当销售单价定为34元时 该店在一个月内能获得最大利润1960元 所以当x 4时 即销售单价为34元时 y取最大值1960 1 如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图 已知悬索桥两端主塔高100m 主塔之间的距离为900m 试建立适当的直角坐标系 求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式 解析 以桥面所在直线为x轴 桥面的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 设抛物线解析式为 已知主塔高100m 主塔间距离900m 因此A 450 100 在抛物线上 由此得出 解得 因此 函数表达式为 由于主塔间距离为900m 因此自变量x的取值范围是 450 x 450 2 小妍想将一根72cm长的彩带剪成两段 分别围成两个正方形 则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小 此时的面积和为多少 解设剪成长度为4xm和 72 4x m的两部分 面积和为ym2 则两部分面积分别为xm2和 18 x m2 即配方可得 故当x 9时 即两部分长度均为36m时 y取最小值162 答 剪成两部分长度均为36m时 面积和最小 最小面积和为162m2 例 城市发展 交通先行 成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程 建成后将大大提升二环路的通行能力 研究表明 某种情况下 高架桥上的车流速度V 单位 千米 时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 且当0 x 28时 V 80 当28 x 188时 V是x的一次函数 函数关系如图所示 1 求当28 x 188时 V关于x的函数表达式 2 若车流速度V不低于50千米 时 求当车流密度x为多少时 车流量P 单位 辆 时 达到最大 并求出这一最大值 注 车流量是单位时间内通过观测点的车辆数 计算公式为 车流量 车流速度 车流密度 解析 1 当28 x 188时 设 解得 2 依题意 故当车流密度x为9