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二元一次方程组复习 复习思路 一 概念二 解法三 应用四 联系 归纳 每个二元一次方程都可转化为一次函数 实际问题 数学问题 二元或三元一次方程组 数学问题的解 二元或三元一次方程组的解 实际问题的答案 一 本章知识结构图 代入法加减法 消元 二 有关概念1 二元一次方程 通过化简后 只有两个未知数 并且两个未知数的项的次数都是1 的 整式 方程 叫做二元一次方程 2 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程的一个解 3 二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 叫做二元一次方程组 学习二元一次方程组概念时 必须注意以下六点 1 二元一次方程是整式方程 如方程x 2就不是二元一次方程 因为x 不是整式 2 二元一次方程必须含有两个未知数 如y 3 0 3x 5y 2z 0都不是二元一次方程 3 二元一次方程中的 一次 是指含未知数的项的次数 而不是未知数的次数 如方程xy 2 0 虽然含有两个未知数 而且未知数的次数都是 1 但整个xy这一项是二次 所以它不是二元一次方程 4 适合一个二元一次方程的每一对未知数的值 都叫做二元一次方程的一个解 要注意二元一次方程的解是一组数 如x 3 y 2就是二元一次方程x y 5的一个解 写成这里要特别注意的是 x 3不是方程x y 5的一个解 y 2也不是方程x y 5的一个解 只有把它们组合在一起 才是二元一次方程x y 5的一个解 5 二元一次方程组里一共含有两个未知数 而不是每个方程一定要含有两个未知数 6 二元一次方程组至少要由两个一次方程组成 但不限于两个一次方程组成 不过我们目前只研究由二元一次方程组成的含有两个未知数的二元一次方程组 二元一次方程组的解有三种情况 1 有唯一解 2 有无数个解 3 无解 那么在什么情况下有唯一解 有无数个解 无解呢 4 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解 使二元一次方程组的两个方程左 右两边的值都相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程组的解 三 方程组的解法 根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法 基本思想或思路 消元 常用方法 代入法和加减法及图象法 用代入法解二元一次方程组的步骤 1 求表达式 从方程组中选一个系数比较简单的方程 将此方程中的一个未知数 如y 用含x的代数式表示 2 把这个含x的代数式代入另一个方程中 消去y 得到一个关于x的一元一次方程 3 解一元一次方程 求出x的值 4 再把求出的x的值代入变形后的方程 求出y的值 5 合写6 检验 用加减法解二元一次方程组的步骤 1 利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘以适当的数 变换两个方程的某一个未知数的系数 使其绝对值相等 2 把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减 消去一个未知数 得一元一次方程 3 解这个一元一次方程 求得一个未知数的值 4 把所求的这个未知的值代入方程组中较为简便的一个方程 求出另一个未知数 从而得到方程的解 5 合写6 检验 图象法解方程组的步骤 将方程组中各方程化为y kx b的形式 画出各个一次函数的图象 由交点坐标得出方程组的解 4 列方程解应用题的步骤 审题 设 列 解 检 答 解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样 即 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 三元一次方程组的解法 四 知识应用 二元一次方程2m 3n 11 A 任何一对有理数都是它的解 B 只有两组解 C 只有两组正整数解 D 有负整数解 C 一 选择题 1 在 x 3y 3x 5y z 2xy x 2y 1 x十 2 x 3y 0 6中是二元一次方程的个数是 A 5B 4C 3D 2 2 方程2x y 5与x 2y 0的公共解是 A B C D 3 已知方程组 那么x y的值是 A 1B 1C 0D 2 C B 2 填空题 1 已知2x 3y 0 用x表示y得 用y表示x得 2 已知方程mx ny 10有两个解分别是和 则m n 3 若一个二元一次方程的一个解为 则这个方程可以是 只要求写出一个 2x y 3 3 运用加减消元法解下列方程组 4 分别用代入法和加减法解方程组 1 2 3 4 6 解方程组 7 解方程组 8 解方程组 1 已知方程组 问a b各为何值时 方程组 1 有唯一解 2 有无穷多解 3 无解 典例 1 某车间每天能生产甲种零件120个 或者乙种零件100个 或者丙种零件200个 甲 乙 丙3种零件分别取3个 2个 1个 才能配一套 要在30天内生产最多的成套产品 问甲 乙 丙3种零件各应生产多少天 2 方程组中 x与y的和为12 求k的值 解得 K 14 解法1 解这个方程组 得 依题意 x y 12 所以 2k 6 4 k 12 解法2 根据题意 得 解这个方程组 得k 14 3 已知是方程组的解 求的值 4 若点P x y 3x y 与点Q 1 5 关于X轴对称 则x y 3 5 已知 2x 3y 5 3x 2Y 25 2 0 则x y 30 6 若两个多边形的边数之比是2 3 两个多边形的内角和是1980 求这两个多边形的边数 6和9 在一次函数中的应用1 确定一次函数的表达式2 两条直线相交 一条直线 方案设计 综合运用 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式 方式A以每分0 1元的价格按上网时间计费 方式B初收月租费20元外再以每分0 05元的价格按上网时间计费 如何选择收费方式能使上网者更合算 解法1 设上网时间为x分 若按方式A则收费y 0 1x元 若按方式B则收费y 0 05x 20元 在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象 解方程组 所以两图象交于 400 40 当0 x 400时 直线y 0 1x在直线y 0 05x 20的下方 0 1x 0 05x 20 选A种方式合算 当x 400时两者均可 当x 400时 直线y 0 1x在直线y 0 05x 20的上方 0 1x 0 05x 20 选B种方式合算 解法2 设上网时间为x分 方式A与方式B两种计费差额为y元 则y与x的函数关系式为 y 0 05x 20 0 1x 0 05x 200 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式 方式A以每分0 1元的价格按上网时间计费 方式B初收月租费20元外再以每分0 05元的价格按上网时间计费 如何选择收费方式能使上网者更合算 画出这个函数的图象 400 解方程 0 05x 200 0 得x 400 所以图象与x轴交点为 400 0 由图象可知 当0 x 400时 y 0 选A方式合算 当x 400时 y 0 两者均可 当x 400时 y 0 选B方式合算 1 为了学生的身体健康 学校的课桌 凳子都是按一定的关系科学设计的 小明对学校的一批课桌 凳子进行了观察研究 发现它们可以根据人的身高调节高度 于是他测量了一套课桌 凳子上相对应的四档高度 得到如下数据 1 试研究y与x可能满足的关系式 2 小明回家后 测量了家里的写字台和凳子 写字台的高度为77cm 凳子的高度为43 5cm 请你判断它们是否配套 2 小聪和小慧去某风景区游览 约好在 飞瀑 见面 上午7 00小聪乘电动汽车从 古刹 出发 沿景区公路去 飞瀑 车速为36km h 小慧也于上午7 00从 塔林 出发 骑电动自行车沿景区公路去 飞瀑 车速为26km h 1 当小聪追上小慧时 他们是否已经过了 草甸 2 当小聪到达 飞瀑 时 小慧离 飞瀑 还有多少km 10km 10km 25km 小聪 小慧 2 小聪和小慧去某风景区游览 约好在 飞瀑 见面 上午7 00小聪乘电动汽车从 古刹 出发 沿景区公路去 飞瀑 车速为36km h 小慧也于上午7 00从 塔林 出发 骑电动自行车沿景区公路去 飞瀑 车速为26km h 1 当小聪追上小慧时 他们是否已经过了 草甸 2 当小聪到达 飞瀑 时 小慧离 飞瀑 还有多少km 解 设经过t时 小聪与小慧离 古刹 的路程分别为S1 S2 由题意得 S1 36t S2 26t 10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上 观察图象 得 36 S1 36t S2 26t 10 两条直线S1 36t S2 26t 10的交点坐标为 1 36 这说明当小聪追上小慧时 S1 S2 36km 即离 古刹 36km 已超过35km 也就是说 他们已经过了 草甸 2 小聪和小慧去某风景区游览 约好在 飞瀑 见面 上午7 00小聪乘电动汽车从 古刹 出发 沿景区公路去 飞瀑 车速为36km h 小慧也于上午7 00从 塔林 出发 骑电动自行车沿景区公路去 飞瀑 车速为26km h 1 当小聪追上小慧时 他们是否已经过了 草甸 2 当小聪到达 飞瀑 时 小慧离 飞瀑 还有多少km S1 36t S2 26t 10 42 5 当小聪到达 飞瀑 时 即S1 45km 此时S2 42 5km 所以小慧离 飞瀑 还有45 42 5 2 5 km 思考 用解析法如何求得这两个问题的结果 3 已知两条直线y 2x 3和y 5 x 1 在同一坐标系内作出它们的图象 2 求出它们的交点A坐标 3 求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积 解 1 2 由解得所以交点坐标A为 A 3 直线y 2x 3与x轴的交点坐标为B 0 当直线y 5 x与x轴的交点坐标为C 5 0 则 E 4 如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中 路程随时间变化的图象 分别是正比例函数图象和一次函数图象 根据图象解答下列问题 1 请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式 不要求写出自变量的取值范围 2 轮船和快艇在途中行驶的速度分别是多少 3 问快艇出发多长时间赶上轮船 解 1 设表示轮船行驶过程的函数解析式为y kx k 0 由图象知 当x 8时 y 160 代入上式 得8k 160 可解得k 20 所以轮船行驶过程的函数解析式为y 20 x 设表示快艇行驶过程的函数解析式为y ax b a 0 由图象知 当x 2时 y 0 当x 6时 y 160 代入上式 得可解得所以快艇行驶过程的函数解析式为y 40 x 80 2 由图象可知 轮船在8小时内行驶了160千米 快艇在4小时内行驶了160千米 所以轮船的速度是 千米 时 快艇的速度是 千米 时 3 设轮船出发x小时快艇赶上轮船 20 x 40 x 80得x 4 x 2 2 答快艇出发了2小时赶上轮船 5 某水果店进了60千克西瓜 开始以每千克1 6元的价格出售了40千克后 再以半价把剩余的处理掉 设卖这些西瓜的总销售额为y 元 总销售量为x 千克 请列出y随x变化的函数关系式 并画出图象 提示 两段函数都是一次函数 其中第一段函数还是正比例函数 A城有化肥200吨 B城有化肥300吨 现要把化肥运往C D两农村 现已知C地需要240吨 D地需要260吨 如果从A城运往C D两地运费分别是20元 吨与25元 吨 从B城运往C D两地运费分别是15元 吨与24元吨 怎样调运花钱最少 X吨 200 X 吨 240 X 吨 300 240 X 吨 解 设 城往 村的化肥有x吨 则往 村的有 200 X 吨 城往 村的有 240 X 吨 剩余的 300 240 X 吨运往 村 若设总运费为y元 则y 20 x 25 200 X 15 240 X 24 60 x 整理得 y 4x 10040其中0 x 200 由于这个函数是个一次函数 且y随x的增大而增大 而x越小 y也越小 所以当x 0时 y最小 此时y 0 10040 10040 因此 应由 城调往 村 吨 调往 村 0 吨 再由 城调往 村 吨 调往 村 吨 书本 357 A地有机器 台 B地有机器 台 现要把化肥运往甲 乙两地 现已知甲地需要 台 乙地需要 台 如果从A地运往甲 乙两地运费分别是500元 台与400元 台 从B地运往甲 乙两地运费分别是300元 台与6 元 台 怎样调运花钱最少 X台 16 X 台 15 X 台 12 15 X 台 整理得 y 400 x 9100其中0 x 16 设A地运往甲地x台 运输总费用为y 则 y 500 x