2019_2020学年高中数学第三章立体几何中的向量方法（第2课时）空间向量与空间角练习新人教A版.docx

第2课时 空间向量与空间角 学生用书P143(单独成册)A基础达标1若异面直线l1，l2的方向向量分别是a(0，2，1)，b(2，0，4)，则异面直线l1，l2所成角的余弦值为()ABC D答案：B2(2019衡水检测)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A. BC. D解析：选C.如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz.由于ABBCAA1，不妨取AB2，则B(0，0，0)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2)所以(0，1，1)，(2，0，2)，所以cos，所以异面直线EF和BC1的夹角为，故选C.3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. BC. D解析：选D.如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，所以(2，0，1)连接AC，易证AC平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a(2，2，0)所以所求角的正弦值为|cosa，|.4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面AC，若EA1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是() A120 B45C150 D60解析：选B.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，则有可取n(1，0，1)又平面EAD的一个法向量为(1，0，0)，所以cosn，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45.5如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A. BC. D解析：选D.如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.因为底面ABCD为菱形，所以OBOC，O为AC的中点，又F是PC的中点，所以OFAP，所以OF平面ABCD，所以OB，OC，OF两两垂直以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD，所以O(0，0，0)，B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，0)，(0，0)，易知为平面BDF的一个法向量，由(，0)，(，0，)，可得平面BCF的一个法向量为n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.故二面角CBFD的正切值为.6(2019扬州检测)如图，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD90，且PAAD，E，F分别是线段PA，CD的中点，若异面直线EF与BD所成的角为，则cos _解析：设正方形ABCD的边长为2，由题意得AB，AD，AP两两垂直以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，2，0)，则(2，2，0)，(1，2，1)，所以cos.答案：7如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为_解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC1，则A，B，C，D，所以，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则所以取x1，则y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.答案：8已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_解析：由题意得(1，2，0)，(1，0，3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由知令x2，得y1，z，则平面ABC的一个法向量为n(2，1，)平面xOy的一个法向量为(0，0，3)由此易求出所求锐二面角的余弦值为.答案：9.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1，BCA90，点F1是A1C1的中点，BCCA2，CC11. (1)求异面直线AF1与CB1所成角的余弦值；(2)求直线AF1与平面BCC1B1所成的角解：(1)如图所示，分别以射线CA，CB，CC1为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，由BCCA2，CC11，得A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，1)，A1(2，0，1)，B1(0，2，1)因为F1为A1C1的中点，所以F1(1，0，1)所以(0，2，1)，(1，0，1)所以cos，即异面直线AF1与CB1所成角的余弦值为.(2)因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，AC平面ABC，所以BB1AC，因为BCA90，所以BCAC，因为BCBB1B，BC，BB1平面BCC1B1，所以AC平面BCC1B1，所以(2，0，0)是平面BCC1B1的一个法向量设直线AF1与平面BCC1B1所成的角为，则sin |cos，|，所以，所以直线AF1与平面BCC1B1所成的角为.10.如图，PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的余弦值解：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，(0，0，1)，(，1，0)，(，0，0)，(0，1，1)设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则解得令x1，则m(1，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则解得令y1，则n(0，1，1)，所以cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.B能力提升11如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE平面BCDE，ABAE，DBDE，BAEBDE90.(1)求异面直线AB与DE所成角的大小；(2)求二面角BAEC的平面角的余弦值解：(1)设O是BE的中点， 连接AO、DO，由ABAE，DBDE，得AOBE，DOBE，因为平面ABE平面BCDE，AO平面ABE，平面ABE平面BCDEBE，AOBE，所以AO平面BCDE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，不妨设OAa，则A(0，0，a)，B(0，a，0)，C(a，2a，0)，D(a，0，0)，E(0，a，0)，所以(0，a，a)，(a，a，0)因此cos，所以异面直线AB与DE所成的角为60.(2)设平面ACE的法向量为n1(x，y，z)因为(0，a，a)，(a，3a，0)，所以取y1，得x3，z1，所以n1(3，1，1)又易知平面ABE的一个法向量为n2(1，0，0)，因此cosn1，n2，设二面角BAEC的平面角为，由图形知是锐角，则cos ，因此二面角BAEC的平面角的余弦值为.12.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长解：如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2)(1)证明：易得(0，1，2)，(2，0，0)，则0，所以PCAD.(2)易得(0，1，2)，(2，1，0)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)由得令z1，可得n(1，2，1)又(2，0，0)是平面PAC的一个法向量，所以cos，n，从而sin，n.所以二面角APCD的正弦值为.(3)易得(2，1，0)设AEh，h0，2，则E(0，0，h)，所以.所以cos，解得h，即AE.13(选做题)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解：依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，E(1，1，2)，F(0，0，2)，G(1，0，0)(1)证明：依题意，(2，0，0)，(1，1，2)设n1(x，y，z)为平面ADF的法向量，则即不妨设z1，可得n1(0，2，1)又(0，1，2)，可得n10，又直线EG平面ADF，所以EG平面