初中数学函数(一次函数、反比例函数、二次函数专题)复习.doc

初中数学函数三大专题复习目录专题一 一次函数和反比例函数1一、一次函数及其基本性质11、正比例函数12、一次函数13、待定系数法求解函数的解析式14、一次函数与方程、不等式结合25、一次函数的基本应用问题3二、反比例函数及其基本性质61、反比例函数的基本形式62、反比例函数中比例系数的几何意义63、反比例函数的图像问题74、反比例函数的基本应用9专题二 二次函数11一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用111、二次函数的解析式及其求解112、二次函数的基本图像123、二次函数的增减性及其最值134、二次函数中三大参数的和函数图像的关系145、二次函数和不等式、方程的结合15二、二次函数的基本应用171、二次函数求解最值问题172、二次函数中的面积问题183、涵洞桥梁隧道问题214、二次函数和圆相结合22三、二次函数中的运动性问题231、动点问题232、折叠、旋转、平移问题27专题三 锐角三角函数以及解直角三角形301、锐角三角函数的基本定义及其计算302、锐角三角函数的基本应用31专题一 一次函数和反比例函数一、一次函数及其基本性质1、正比例函数形如的函数称为正比例函数，其中k称为函数的比例系数。（1）当k0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；（2）当k0,b0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y随x的增大而增大； （2）当k0,b0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y随x的增大而增大； （3）当k0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小； （4）当k0,b0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y随x的增大而减小。例题1：在一次函数y(m3)xm-1x3中，符合x0，则m的值为 。随堂练习：已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=_，该函数的解析式为_。例题2：已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是（）A、2 B、1 C、0 D、2随堂练习：1、直线y=x1的图像经过象限是（ ）A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限2、一次函数y=6x1的图象不经过（ ）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限例题3：已知一次函数的图像如图所示，则、的取值范围是（ ）A、0，2 B、0，2 C、0，2 D、0，2随堂练习：已知关于x的一次函数的图象如图所示，则可化简为 。例题4：已知一次函数y=kx+b的图像经过二四象限，如果函数上有点，如果满足，那么 。3、待定系数法求解函数的解析式（1）一次函数的形式可以化成一个二元一次方程，函数图像上的点满足函数的解析式，亦即满足二元一次方程。（2）两点确定一条直线，因此要确定一次函数的图像，我们必须寻找一次函数图像上的两个点，列方程组，解方程，最终求出参数。例题5：已知：一次函数的图象经过M(0，2)，(1，3)两点。（1）求k、b的值；（2）若一次函数的图象与x轴的交点为A（a，0），求a的值。随堂练习：1、直线一定经过点（ ）。A、(1，0) B、(1，k) C、(0，k) D、(0，1)2、若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2mn的值是（）A、2 B、-2 C、1 D、-13、一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）A、（0，4） B、（4，0） C、（2，0） D、（0，2）4、已知一次函数图象过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为，求此一次函数的解析式。4、一次函数与方程、不等式结合（1）一次函数中的比较大小问题，主要考察（2）一次函数的交点问题：求解两个一次函数的交点，只需通过将两个一次函数联立，之后通过解答一个二元一次方程组即可。例题1：已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式的解集为（ ）A、x -1 C、x1 D、x1时,y的取值范围是( )A、y=1 B、1y4例题2：在同一平面直角坐标系中，若一次函数图象交于点，则点的坐标（ ）yxl1L2PO-23A、（-1，4）B、（-1，2） C、（2，-1） D、（2，1）随堂练习：如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组的解是（ ）A、 B、 C、 D、例题3：如图，直线y=kx+b经过A（3,1）和B（6,0）两点，则不等式0kx+b的解集为_。随堂练习：如图，已知函数y3xb和yax3的图象交于点P(2，5)，则根据图象可得不等式3xbax3的解集是 。5、一次函数的基本应用问题例题1：如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线AB一D CA的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为x，AP长为y,则y关于x的函数图象大致是( )随堂练习：如图3，直角梯形AOCD的边OC在轴上，O为坐标原点，CD垂直于轴，D（5,4），AD=2.若动点同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度。设运动秒时，的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（）例题2：某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）甲游客以一定的速度沿线路“ADCEA”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A处时，共用去3h甲步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图2所示 （第2题）图208Os/(km)t/(h1DCBE080413图1（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；（2）求C，E两点间的路程；（3）乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候， 等候时间不超过10分钟如果乙的步行速度为3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由。随堂练习：煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划。某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A、B两厂，通过了解获得A、B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：厂别运费（元/）路程（）需求量（）A0.45200不超过600B150不超过800（1）写出总运费（元）与运往厂的煤炭量（）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含的代数式表示）例题3：如图，直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C。（1）求k的值；（2）求ABC的面积。随堂练习：如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，b)(b0) P是直线AB上的一个动点，作PCx轴，垂足为C记点P关于y轴的对称点为P（点P不在y轴上），连结PP，PA，PC设点P的横坐标为a（1）当b3时，求直线AB的解析式； 若点P的坐标是(-1，m)，求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与PC的交点为D 当PD：DC=1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使PCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由。.二、反比例函数及其基本性质1、反比例函数的基本形式一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成 2、反比例函数中比例系数的几何意义（1）过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。（2）正比例函数y=k1x（k10）与反比例函数y=（k0）的图像交于A、B两点，过A点作ACx轴，垂足是C，三角形ABC的面积设为S，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。（3）正比例函数y=k1x（k10）与反比例函数y=（k0）的图像交于A、B两点，过A点作ACx轴，过B点作BCy轴，两线的交点是C，三角形ABC的面积设为S，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。例题1：点P是x轴正半轴上的一个动点，过P作x轴的垂线交双曲线于点Q，连续OQ，当点P沿x轴正方向运动时，RtQOP的面积（ ）A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、无法确定例题2：如图，双曲线与O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 。 随堂练习：1、如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上。若点A的坐标为（2，2），则k的值为A、1B、3C、4D、1或32、如图所示，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 。3、如图,直线和双曲线交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设AOC面积是S1、BOD面积是S2、POE面积是S3、则（ ）A、S1S2S3 B、 S1S2S3 C、S1=S2S3 D、S1=S2S3xyOABCD3、反比例函数的图像问题（1）反比例函数的图像取决于比例系数。（2）利用反比例函数的图像与一次函数、一元一次不等式结合例题1：函数与在同一坐标系中的图象可能是（如图所示）随堂练习：一次函数与反比例函数的图像在同一平面直角坐标系中是（ ）例题2：如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小. 随堂练习：如图，直线y=2x6与反比例函数的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B（1）求k的值及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由例题3：已知一次函数y1=x1和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1y2时，x的取值范围是( )A、x2 B、1x0 C、x2，1x0 D、x2，x0随堂练习：1、如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若k2x，则x的取值范围是A、-1x0 B、-1x1 C、x-1或0x1 D、-1x0或x12、点A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=的图象上，若x1x20x3,则y1,y2,y3的大小关系是（ ）.A、 y3y1y2 B、y1y2y3C、y3y2y1 D、y2y10时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a0时，开口向上；当a0时x的取值范围。例题4：关于x的二次函数y=x22mx+m2和一次函数y=mx+n（m0），在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）随堂练习：1、二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（ ）A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限2、函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（ ）A、 B、 C、 D、3、二次函数的增减性及其最值（1）开口向上的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；在对称轴处取到最小值，越靠近对称轴，函数值越小。（2）开口向下的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；在对称轴处取到最大值，越靠近对称轴，函数值越大。例题1：二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A、 B、 C、 D、不能确定例题2：设A是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）A、 B、 C、 D、随堂练习：已知二次函数yx 27x，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0x1x2x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( )A、y1y2y3 B、 y1y2y3 C、y2y3y1 D、 y2y3y14、二次函数中三大参数的和函数图像的关系（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。（2）和共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线的对称轴是直线,故：时，对称轴为轴；(即、同号)时，对称轴在轴左侧；(即、异号)时,对称轴在轴右侧。（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：，抛物线经过原点； ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立；如抛物线的对称轴在轴右侧，则 。例题1：已知二次函数（）的图象如图4所示，有下列四个结论：，其中正确的个数有（ ）A、1个B、2个C、3个D、4个例题2：已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；abc0；8a+c0；9a+3b+c0。其中，正确结论的个数是( )。A、1 B、2 C、3 D、4随堂练习：1、已知二次函数(其中，)，关于这个二次函数的图象有如下说法：图象的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧。以上说法正确的有( ) A、0个B、1个 C、2个 D、3个2、已知二次函数的图象如图所示对称轴为。下列结论中，正确的是（ ）A、abc0 B、a+b=0 C、2b+c0 D、4a十c2b3、已知二次函数的图象如图所示，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b中，其值大于0的个数为( )A、2 B、3 C、4D、55、二次函数和不等式、方程的结合（1）二次函数的零点的个数以及求解：通过判断的正负可以得到二次函数零点的个数，注意，前提是需要注意一个函数是否为二次函数，需要判断二次项次数是否为零，其中。（2）二次函数和不等式的结合：在x轴上方，则函数大于零；在x轴下方，则函数小于零；在直线上方，说明；在直线下方，则说明。例题1：如图，已知抛物线y1=2x22，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2.若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2。例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1y2，此时M=0。下列判断： 当x0时，y1y2； 当x0时，x值越大，M值越小；使得M大于2的x值不存在； 使得M=1的x值是 或 .其中正确的是 ( )A、 B、 C、 D、xyOy2y1 例题2：二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（ ）A、-3 B、3 C、-5 D、9 例题3：设二次函数，当时，总有；当时，总有。那么的取值范围是A、 B、 C、 D、随堂练习：1、如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是A、 B、 C、D、2、如图所示是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线x1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式的解集是 。3、对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A、1 B、2 C、0 D、不能确定二、二次函数的基本应用1、二次函数求解最值问题例题1：某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为， 1 x 11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？随堂练习：1、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线。由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？2、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？2、二次函数中的面积问题例题1：某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m)（1）求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？随堂练习：如图所示，在一个直角MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）A、m B、6 m C、15 m D、m例题2：如图，O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是 。例题3：如图，直线分别与轴、轴交于两点，直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向左运动过点作轴的垂线，分别交直线于两点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分（阴影部分）的面积为（平方单位）点的运动时间为（秒）（1）求点的坐标；（2）当时，求与之间的函数关系式；（3）求（2）中的最大值；（4）当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围yxDNMQBCOPEA随堂练习：1、如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x秒，PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求PBQ的面积的最大值.2、如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为_3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标； （2）在抛物线上求点P，使SPOA=2SAOB；4、如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为（1）请直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积。OABCDEyx备用图3、涵洞桥梁隧道问题例题1：如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？随堂练习：1、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED16米，AE8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系，（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系。h=（0t40）且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？2、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如左图所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m。（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如右图所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计)）？请说明你的理由。4、二次函数和圆相结合例题1：如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点。抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长；（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由。OxyNCDEFBMA随堂练习：如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为设的外接圆的圆心为点。（1）求与轴的另一个交点D的坐标；（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值。三、二次函数中的运动性问题1、动点问题注意动的点以及其所构成的位置关系。一般而言会有两个到三个点运动。此时需要我们注意这几个点之间的关系以及各个点之间的运动的不同。例题1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。随堂练习：如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D。（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m。用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系。例题2：已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D（1）求点D的坐标；（2）抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由随堂练习：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN/x轴，交PB于点N 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN。在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式。 例题3：如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段时，求tanCED的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标随堂练习：如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上一动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l解析式。例题4：已知抛物线yax2bxc(a0)经过点B(12，0)和C(0，6)，对称轴为x2（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且ADAC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由。ABCOPQDyx随堂练习：如图， 已知抛物线（a0）与轴交于点A(1，0)和点B (3，0)，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标。例题5：如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为（1）求经过A、B、C三点抛物线的解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似吗？请说明理由。G随堂练习：如图，抛物线的顶点坐标为，并且与y轴交于点C，与x轴交于两点A，B。（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD, 求ACD的面积；（3）点E位直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。2、折叠、旋转、平移问题例题1：已知：如图，抛物线与轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿轴向上翻折，顶点P落在点P（1，3）处。（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P作轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）。请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，结果可保留根号）。随堂练习：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象所示，若ax2+bx+c=k（k0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A、 k-3 C、 k3例题2：正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，抛物线过三点（1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；（3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由。OyxBEADCF随堂练习：1、定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点。（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则的值等于_；四边形为（ ）A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；（3）如图3，若：，经过变换后，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值。2、如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（，0），点B在抛物线上（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）抛物线的关系式为 ；（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求DBC的面积；（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90，到达的位置请判断点、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由专题三 锐角三角函数以及解直角三角形1、锐角三角函数的基本定义及其计算（1）适用范围：直角三角形（2）基本形式：在直角三角形ABC中，其中角C为直角，那么有（3）两个基本计算公式：，（4）特殊的角的三角函数：30456090正弦（sin）1余弦（cos）0正切（tan ）1不存在例题1：如图，已知在RtABC中， C90，BC1，AC=2，则tanA的值为A、2 B、 C、 D、随堂练习：1、在RtABC中，C=90，把A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA=则下列关系式中不成立的是（ ）A、tanAcotA=1 B、sinA=tanAcosA C、cosA=cotAsinA D、tan2A+cot2A=12、如图，在ABC中，C=90，AB13，BC5，则sinA的值是（ ） A、B、C、D、3、如图,在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D。若AC=,BC=2,则sinACD的值为( )A、 B、 C、 D、例题2：如图，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在A上，BE是A上的一条弦，则tanOBE= 随堂练习：如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点,则OBC 的余弦值为( )。 A、 B、 C、 D、2、锐角三角函数的基本应用（1）视角问题：注意分清仰角、俯角的问题（2）方位问题：确定方位的话尽量画出基本的方位坐标图（3）建筑问题和影长问题：坡脚指的是正切值。例题1：如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45、木瓜B的仰角为30.求C处到树干DO的距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：）随堂练习：1、如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B处测得D点的仰角为，在A处测得D点的仰角为。已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m。请你通过计算用含、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。2、如图，在塔AB前得平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30，从C点向塔底B走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45，则塔AB的高为（ ）A、米 B、米 C、米 D、米例题2：新闻链接，据【侨报网讯】外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退。2013年5月18日，某国3艘5条刚刚完成黄岩岛护渔任务的“310”船人船未歇立即往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名渔民免受财产损失和人身伤害某国发现目前最先进的船正疾速驰救，立即掉头离去。解决问题如图，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“310”船西南方向，“310”船位于陆地指挥中心南偏东60方向，AB= 海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时。根以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要