绝对值、相反数、倒数的性质及应用.doc

绝对值、相反数、倒数的性质及应用一、【知识大串联】1相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义，规定零的相反数是零；2互为相反数指的是一对数，甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数，乙也是甲的相反数；3相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。4多重符号化简的依据就是相反数的意义，化简的结果是由“”号的个数来决定的，简称：奇负偶正。5什么是一个数的绝对值呢？从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。6一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。7两个负数，绝对值大的反而小。8绝对值的性质：（1）若a为有理数，则a0.（2）绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等。（3）若a=a，则a0.（4）若a+b+c+d+m=0，则a=0b=0,c=0,d=0,m=0, 即a=0,b=0,c=0,d=0,m=0.（5）最小的绝对值为0，但无最大的绝对值。9相反数的性质： 若a、b互为相反数，则a+b=0.10 倒数的性质：若a、b互为倒数，则ab=1.【精练】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd+1= .解：因为a、b互为相反数，c、d互为倒数所以a+b=0，cd=1 所以 a+b+cd+1=0+1+1=2二、【典例分析】1利用概念例1.5的相反数是（ ) A. 5 B. 5 C. D. 解析:根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，易知本题选A例2.绝对值为4的实数是 A. 4 B. 4 C. 4 D. 2解析:求绝对值等于4的数用绝对值几何定义比较直观，绝对值等于4的整数即在数轴上到原点距离等于4的整数点表示的数，故本题选A2 用性质特征3 例3.2的绝对值是（ ） A2 B2 C2 D解析:由绝对值的特征：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 所以2的绝对值是2例4.若a与2 互为相反数， 则|a+2|等于（ ) A. 0 B. 2 C.2 D. 4解析:由相反数的特征若a、b两数互为相反数，则ab0，反之也成立.可知a+2=0， 再由绝对值的特征可得本题选A例5若a、b、c都是负数，且x-a+y-b+z-c=0，则xyz是（ ）A 负数 B 非负数 C 正数 D非正数解：由绝对值性质，得：x-a=0,y-b=0,z-c=0 所以x=a,y=b,z=c 因为a0,b0,c0 所以xyz=abc0 即xyz为负数，故选A。例6已知a的绝对值是它自身；b的相反数是它自身；c的倒数是它自身，则结果不唯一的是（ ）。A ab B ac C bc D abc 解：已知a的绝对值是它自身，则a为非负数；b的相反数是它自身，则b=0；c的倒 数是它自身，则c= 1， ab=0,bc=0,abc=0, 都是唯一的，故选B。例7若a-3-3+a=0，则a的取值范围是（ ） A a 3 B a 3 C a3 D a3解：因为a-3-3+a=0 所以a-3=3-a 因为a-3与3-a互为相反数 所以a-30,即a3,故选A.3解决实际问题例8 质检员抽查某种零件的长度，超过规定长度的记为正数，不足规定长度的记为负数.检查结果如下：第一个为0.13毫米，第二个为0.2毫米，第三个为0.1毫米，第四个为0.15毫米，则长度最小的零件是第几个？哪一个零件与规定长度的误差最小？解析: |0.2|0.15|0.13|0.1| 长度最小的是第二个，与规定长度的误差最小的是第三个.三、【考题警示】1整体代换例9. 若|a2|2a，求a的取值范围。解析:根据已知条件等式的结构特征，我们把a2看作一个整体，那么原式变形为|a2|（a2)，又由绝对值概念知a20，故a的取值范围是a2。2数形结合例10.（全国初中数竞学赛试题)设x是实数，y|x1|+|x+1|。下列四个结论：A 、 y没有最小值；B、只有一个x使y取到最小值；C、有有限多个x（不只一个)使y取到最小值； D 、有无穷多个x使y取到最小值。其中正确的是 。解析:我们知道，|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离。类似地可知，|xa|的几何意义是表示数轴上点x到点a的距离。一些有关绝对值的竞赛题，利用上述绝对值的几何意义，借助数形结合，常常会得到妙解。 原问题可转化为求x取那些值时，数轴上点x到点1与点1的距离之和为最小。从数轴上可知，区间1，1上的任一点x到点1与点1的距离之和均为2；区间1，1 之外的点x 到点1与点1的距离之和均大于2。所以函数y|x1|+|x+1|当1x1时，取得最小值2。故选（D)。3分类例11.已知|x|3，|y|2，且xy0，