2015中考数学冲刺-第22课时-锐角三角函数和解直角三角形.ppt

数学 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 最新广东省初中毕业生数学学科学业考试大纲 锐角三角形函数与解直角三角形 探索并认识锐角三角函数 sinA cosA tanA 知道30 45 60 角的三角函数值 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值 由已知三角函数值求它对应的锐角 能用锐角三角函数解直角三角形 能用相关知识解决一些实际问题 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 知识考点 对应精练考点分类一锐角三角函数的定义 锐角三角函数的定义 若在Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 则sinA cosA tanA 1 在 ABC中 C 90 AB 1 5 BC 1 2 则sinB的值为 A B C D 3 如图22 1 在6 3的矩形网格中 每个小正方形的边长都是1 若 ABC的三个顶点在图中相应的格点上 则tan ABC的值为 A B C D 2 在 ABC中 A B C所对的边分别是a b b 已知a b c 8 15 7 则cosA的值为 A B C D 条件不足 A C D 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 考点分类二特殊角的三角函数值 4 在Rt ABC中 C 90 AB 2BC 则sinB的值为 A B C D 1 5 tan245 sin45 cos45 的值等于 A 1B C D C C 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 考点分类三解直角三角形的定义 解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素 求出所有未知元素的过程 叫做解直角三角形 直角三角形中 除直角外 一共有5个元素即3条边和2个锐角 直角三角形的边角关系 在Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 1 三边之间的关系 c2 a2 b2 2 两个锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 sinA cosA tanA sinB cosB tanB 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 6 2014 济宁 如图22 2 在 ABC中 A 30 B 45 AC 2 则AB的长为 解 过C作CD AB于D ADC BDC 90 B 45 BCD B 45 CD BD A 30 AC 2 CD BD CD 由勾股定理得 AB AD BD 3 7 2014 甘孜州 如图22 3 在 ABC中 ABC 90 A 30 D是边AB上一点 BDC 45 AD 4 求BC的长 结果保留根号 解 B 90 BDC 45 BCD为等腰直角三角形 BD BC 在Rt ABC中 tanA tan30 即 解得 BC 2 1 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 考点分类四解直角三角形的应用实际应用及相关概念 日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题 因此 直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用 仰角 俯角 如图 在测量时 视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 坡度 坡比 坡角 如图 坡面的高度h和水平宽度的比叫坡度 或坡比 即 坡面与水平面的夹角 叫坡角 方向角 指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90 的水平角 叫做方向角 如图 表示北偏东60 方向的一个角 注意 东北方向指北偏东45 方向 东南方向指南偏东45 方向 西北方向指北偏西45 方向 西南方向指南偏西45 方向 我们一般画图的方位为上北下南 左西右东 方位角 从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 8 2014 德州 如图22 4是拦水坝的横断面 斜坡AB的水平宽度为12米 斜面坡度为1 2 则斜坡AB的长为 A 米B 米C 米D 24米 9 2014 苏州 如图22 5 港口A在观测站O的正东方向 OA 4km 某船从港口A出发 沿北偏东15 方向航行一段距离后到达B处 此时从观测站O处测得该船位于北偏东60 的方向 则该船航行的距离 即AB的长 为 A 4kmB kmC kmD km 提示 如图 过点A作AD OB于D 在Rt AOD中 ADO 90 AOD 30 OA 4 AD OA 2 在Rt ABD中 ADB 90 B CAB AOB 75 30 45 BD AD 2 AB AD 2 即该船航行的距离 即AB的长 为2km B C 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 10 2014 深圳 如图22 6 小明去爬山 在山脚看山顶角度为30 小明在坡比为5 12的山坡上走1300米 此时小明看山顶的角度为60 求山高 A 600 250米B 600 250米C 350 350米D 500米 提示 BE AE 5 12 BE AE AB 5 12 13 AB 1300米 AE 1200米 BE 500米 设EC x米 DBF 60 DF x米 又 DAC 30 AC CD 即 1200 x 500 x 解得x 600 250 DF x 600 750 CD DF CF 600 250 米 答 山高CD为 600 250 米 B 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 真题演练 层层推进基础题 1 2014 湖州 如图22 7 已知Rt ABC中 C 90 AC 4 tanA 则BC的长是 提示 tanA AC 4 BC 2 3 2014 包头 计算sin245 cos30 tan60 其结果是 A 2B 1C D A A B 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 4 2014 衡阳 坡度 如图22 8 一河坝的横断面为等腰梯形ABCD 坝顶宽10米 坝高12米 斜坡AB的坡度i 1 1 5 则坝底AD的长度为 A 26米B 28米C 30米D 46米 提示 坝高12米 斜坡AB的坡度i 1 1 5 AE 1 5BE 18米 BC 10米 AD 2AE BC 2 18 10 46米 D 5 2014 绵阳 如图22 9 一艘海轮位于灯塔P的北偏东30 方向 距离灯塔80海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东45 方向上的B处 这时 海轮所在的B处与灯塔P的距离为 A 海里B 海里C 80海里D 海里 提示 过点P作PC AB于点C 由题意可得出 A 30 B 45 AP 80海里 故CP AP 40 海里 则PB 海里 A 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 提高题 6 2014 百色 如图22 10 从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼 探测器显示 看到教学楼底部点C处的俯角为45 看到楼顶部点D处的仰角为60 已知两栋楼之间的水平距离为6米 则教学楼的高CD是 A 米B 米C 米D 12米 提示 在Rt ACB中 CAB 45 AB DC AB 6m BC 6m 在Rt ABD中 tan BAD BD AB tan BAD 6m DC CB BD 6 6 m 7 2014 重庆 如图22 11 ABC中 AD BC 垂足是D 若BC 14 AD 12 tan BAD 求sinC的值 A 第22课时锐角三角函数和解直角三角形 拔高题 8 2014 云南 如图22 12 小明在M处用高1米 DM 1米 的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30 再向旗杆方向前进10米到F处 又测得旗杆顶端B的仰角为60 请求出旗杆AB的高度 取 1 73 结果保留整数 解 BDE 30 BCE 60 CBD 60 BDE 30 BDE BC CD 10米 在Rt BCE中 sin60 即 BE 5 AB BE AE 5 1 10米 答 旗杆AB的高度大约是10米 第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业 一 选择题 1 已知Rt ABC中 C 90 BC 3 AC 4 则sinA的值为 提示 在Rt ABC中 BC 3 AC 4 利用勾股定理可求得斜边AB 5 所以 2 点M sin60 cos60 关于x轴对称的点的坐标是 提示 sin60 cos60 再把纵坐标变成相反数 3 如图22 1 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB 垂足为D 若AC BC 2 则sin ACD的值为 提示 根据勾股定理可得 AB 由题意 可知 ACD A 90 B A 90 ACD B sin ACD sin B C B A 第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业 4 河堤横断面如图22 2所示 堤高BC 5米 迎水坡AB的坡比1 坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比 则AC的长是 A 5米B 10米C 15米D 10米 5 小明想测量一棵树的高度 他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上 如图22 3 此时测得地面上的影长为8米 坡面上的影长为4米 已知斜坡的坡角为30 同一时刻 一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米 则树的高度为 A 米B 12米C 米D 10米 提示 延长AC交BF延长线于E点 则 CFE 30 作CE BD于E 在Rt CFE中 CFE 30 CF 4 CE 2 EF 4cos30 2 在Rt CED中 CE 2 同一时刻 一根长为1米 垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米 DE 4 BD BF EF ED 12 2 DCE DAB 且CE DE 1 2 在Rt ABD中 A A 第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业 二 填空题 6 如图22 4 在山坡AB上种树 已知 C 90 A 28 AC 6米 则相邻两树的坡面距离AB 米 精确到0 1米 7 都匀市某新修 商业大厦 的一处自动扶梯如图22 5 已知扶梯的长l为10米 该自动扶梯到达的高度h为6米 自动扶梯与地面所成的角为 则tan 的值等于 6 8 提示 在由自动扶梯构成的直角三角形中 已知了坡面l和铅直高度h的长 可用勾股定理求出坡面的水平宽度 进而求出 的正切值 如图 在Rt ABC中 AC l 10米 BC h 6米 根据勾股定理 得 AB 米 tan 第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业 8 如图22 6 为了测量电线杆AB的高度 小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处 若测角仪CD的高度为1 5m 在C处测得电线杆顶端A的仰角为36 则电线杆AB的高度约为m 精确到0 1m 参考数据 sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 提示 由DB 9m CD 1 5m 根据矩形的判定和性质 得CE 9m BE 1 5m 在Rt ACE中 AE CE tan ACE 9tan360 9 0 73 6 57 AB AE BE 6 57 1 5 8 07 8 1 m 9 某时刻海上点P处有一客轮 测得灯塔A位于客轮P的北偏东30 方向 且相距20海里 客轮以60海里 小时的速度沿北偏听偏西60 方向航行小时到达B处 那么tan ABP 提示 灯塔A位于客轮P的北偏东30 方向 且相距20海里 PA 20 客轮以60海里 小时的速度沿北偏西60 方向航行小时到达B处 APB 90 BP 60 40 tan ABP 8 1 第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业 10 如图22 7 某公园入口处原有三级台阶 每级台阶高为18cm 深为30cm 为方便残疾人士 拟将台阶改为斜坡 设台阶的起点为A 斜坡的起始点为C 现设计斜坡BC的坡度 则AC的长度是cm 提示 过点B作BD AC于D 根据题意得 AD 2 30 60 cm BD 18 3 54 cm 斜坡BC的坡度i 1 5 BD CD 1 5 CD 5BD 5 54 270 cm AC CD AD 270 60 210 cm AC的长度是210cm 210 第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业 三 解答题 11 2014 宁夏 在 ABC中 AD是BC边上的高 C 45 sinB AD 1 求BC的长 解 在Rt ABD中 又 AD 1 AB 3 BD2 AB2 AD2 在Rt ADC中 C 45 CD AD 1 BC BD DC 2 1 第22课时锐角三角函数和解直角三角形课时作业 12 2014 宁波 如图22 9 从A地到B地的公路需经过C地 图中AC 10千米 CAB 25 CBA 37 因城市规划的需要 将在A B两地之间修建一条笔直的公路 1 求改直的公路AB的长 2 问公路改直后比原来缩短了多少千米 sin25 0 42 cos25 0 91 sin37 0 60 tan37 0 75 解 1 作CH AB于H 在Rt ACH中 CH AC sin CAB AC sin25 10 0 42 4 2 千米 AH AC cos CAB AC cos25 10 0 91 9 1 千米 在Rt BCH中 BH CH tan CBA 4 2 tan37 4 2 0 75 5 6 千米 AB AH BH 9 1 5 6 14 7 千米 故改直的公路AB的长14 7千米 2 在Rt BCH中 BC CH sin CBA 4 2 sin37 4 2 0 6 7 千米 则AC BC AB 10 7 14 7 2 3 千米 答