高考数学第一轮总复习 9.10棱锥精品导学课件.ppt

第九章直线 平面 简单几何体 棱锥 第讲 10 1 如果一个多面体的一个面是 其余各面是有一个公共顶点的 那么这个多面体叫做棱锥 在棱锥中有 叫做棱锥的侧面 余下的那个多边形叫做棱锥的 两个相邻侧面的 叫做棱锥的侧棱 各侧面的 叫做棱锥的顶点 由顶点到底面所在平面的 叫做棱锥的高 底面是 并且顶点在底面的射影是 的棱锥 叫做正棱锥 多边形 三角形 公共顶点 的各三角形 底面 公共边 公共顶点 垂线段 正多边形 底面中心 2 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么所得的截面与底面 截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥的高的 3 正棱锥各侧棱 各侧面都是全等的 各等腰三角形底边上的高 它叫做正棱锥的斜高 4 正棱锥的高 斜高和斜高在底面内的射影组成一个 正棱锥的高 侧棱 侧棱在底面内的射影也组成一个 相似 平方比 相等 等腰三角形 相等 直角三角形 直角三角形 5 设棱锥的底面积为s 高为h 则其体积v 6 由若干个 围成的空间图形叫做多面体 围成多面体的各个多边形叫做多面体的 两个面的 叫做多面体的棱 棱和棱的 叫做多面体的顶点 连结 的两个顶点的线段叫做多面体的对角线 平面多边形 面 公共边 公共点 不在同一面上 8 每个面都是有相同边数的 每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体 叫做 表面经过连续变形可变为 的多面体 叫做简单多面体 7 把一个多面体的任一个面伸展成平面 如果其余的面都位于这个平面的 这样的多面体叫做凸多面体 同一侧 正多边形 正多面体 球面 1 正六棱锥p abcdef中 g为pb的中点 则三棱锥d gac与三棱锥p gac体积之比为 a 1 1b 1 2c 2 1d 3 2解 由于g是pb的中点 故p gac的体积等于b gac的体积 如图 在底面正六边形abcdef中 bh abtan30 ab 而bd ab 故dh 2bh 于是vd gac 2vb gac 2vp gac c 2 若正三棱锥底面边长为4 体积为1 则侧面和底面所成二面角的大小为 a arctanb arctan2c arctan3d arctan解 如图 取bc的中点d 连结sd ad 则sd bc ad bc 所以 sda为侧面与底面所成二面角的平面角 设为 a 在平面sad中 作so ad 与ad交于o 则so为棱锥的高h 又ao 2do 所以 由vs abc ab bc sin60 h 1 得h 所以tan 所以 arctan 3 过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面 它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比 自上而下 为 解 由锥体平行于底面的截面性质知 自上而下三锥体的侧面积之比为s侧1 s侧2 s侧3 1 4 9 所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1 3 5 1 3 5 3 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 e f g h分别是棱cc1 c1d1 d1d dc的中点 n是bc的中点 点m在四边形efgh的边及其内部运动 则m只需满足条件时 就有mn ac 解 本题答案不唯一 当点m在线段fh上时均有mn ac 点m与f重合 1 正三棱锥p abc的底面边长为a d为侧棱pa上一点 且ad 2pd 若pa 平面bcd 求这个三棱锥的高 解 设pd x 则ad 2x pa pb pc 3x 因为pa 平面bcd 所以pa bd 所以ab2 ad2 pb2 pd2 题型1棱锥中有关量的计算 即a2 4x2 9x2 x2 得作po 底面abc 垂足为o 则o为 abc的中心 连结oc 则在rt poc中 故三棱锥p abc的高为 点评 与棱锥有关量的计算问题 一般先作出棱锥的高 根据需要可设所求量的大小为参数 然后利用方程思想 找到参数的方程 再求解方程以得出所求 这是方程思想在解题中的具体应用 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 解法1 连结a1c1 b1d1交于o1 过o1作o1h b1d于h 因为ef a1c1 所以a1c1 平面b1edf 所以c1到平面b1edf的距离就是a1c1到平面b1edf的距离 因为平面b1d1d 平面b1edf 所以o1h 平面b1edf 即o1h为棱锥的高 因为 b1o1h b1dd1 所以 解法2 连结ef 设b1到平面c1ef的距离为h1 d到平面c1ef的距离为h2 则 所以解法3 2 设正三棱锥p abc的底边长为a 侧棱长为2a e f分别为pb pc上的动点 求 aef的周长的最小值 解 将三棱锥侧面沿pa展开到同一平面上 如图 则ae ef fa aa 取bc的中点d 连结pd 题型2棱锥表面展开图的应用 则pd bc 设 cpd 则sin 设pd交aa 于h 则h为aa 的中点 且ph aa 所以ah pasin3 所以aa 故 aef的周长的最小值为 点评 求与多面体有关的表面距离的最小值问题 常常将其展开成平面图 然后在其平面展开图上求其最值 如图 课桌上放着一个正三棱锥s abc sa 1 asb 30 蚂蚁从点a沿三棱锥的侧面爬行 必须经过三棱锥的三个侧面 再回到a 它按怎样的路线爬行 才使其行迹最短 解 沿sa剪开得展开图如右 在 sae中 则 所以 利用尺规作图可以找到e和f 从而确定蚂蚁的最佳行迹aefa 3 如图所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aec1f所截而得到的 其中ab 4 bc 2 cc1 3 be 1 求点c到平面aec1f的距离 解 延长c1e cb相交于g 连结ag 则平面aec1f 平面abcd ag 过点c作cm ag 垂足 题型3多面体背景中的线面关系问题 为m 连结c1m 因为c1c 平面abcd 所以c1c ag 于是ag 平面c1cm 所以平面aec1f 平面c1cm 过点c作ch c1m 则ch 平面aec1f 所以ch的长即为点c到平面aec1f的距离 由得又bc 2 所以bg 1 从而 由 abg cmg 得所以故点c到平面aec1f的距离是 点评 不规则多面体一般是先分割 或是补形 成棱锥和棱柱的组合体 然后运用棱锥或棱柱的性质解决所求问题 右图是一个直三棱柱 以 a1b1c1为底面 被一平面所截得到的几何体 截面为abc 已知a1b1 b1c1 1 a1b1c1 90 aa1 4 bb1 2 cc1 3 1 设点o是ab的中点 证明 oc 平面a1b1c1 2 求二面角b ac a1的大小 3 求此几何体的体积 解 1 证明 作od aa1交a1b1于d 连结c1d 则od bb1 cc1 因为o是ab的中点 所以则四边形odc1c是平行四边形 因此有oc c1d 又c1d 平面c1b1a1且oc 平面c1b1a1 所以oc 平面a1b1c1 2 如图 过b作截面ba2c2 平面a1b1c1 分别交aa1 cc1于a2 c2 作bh a2c2于h 连结ch 因为cc1 平面ba2c2 所以cc1 bh 则bh 平面a1c1ca 又因为ab bc ac 所以ab2 bc2 ac2 所以bc ac 根据三垂线定理知 ch ac 所以 bch就是所求二面角b ac a1的平面角 因为bh 所以 故 bch 30 所以所求二面角b ac a1的大小为30 3 因为bh 所以故所求几何体的体积为 1 对于三棱锥 它的每一个面都可作为棱锥的底面 每一个顶点都可作棱锥的顶点 而体积总保持不变 因此 计算三棱锥的体积时 要注意顶点和底面的选择 根据三棱锥的体积不变性 可得到处理问题的一种重要方法 等体积法 2 棱锥的侧棱均相等 则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心 棱锥的各侧面与底面所成的二面角均相等 则顶点在底面上的射影为底面多边形的内心 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直 则顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心 3 正棱锥的侧面和底面所成的二面角相等 侧棱与底面所成的角都相等 相邻的两侧面所成的二