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1 第五章相似矩阵与二次型 第二节相似矩阵 2 一 相似矩阵的定义 定义1 设A B都是n阶方阵 若存在可逆阵 使得 则称B是A的相似矩阵 又由于 则也称A是B的相似矩阵 对A作运算 称为对A作进行相似变换 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 或者称A与B相似 或者称B与A相似 3 二 相似矩阵的性质 证明 定理1 若n阶矩阵A与B相似 则A与B的特征多项式相同 从而A与B的特征值亦相同 证毕 4 推论 也是方阵A的n个特征值 证明 也是方阵A的n个特征值 证毕 5 利用对角矩阵计算矩阵多项式 6 利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式 7 证明 三 方阵的对角化 定义3 对于方阵A 则称方阵A可对角化 定理2 n阶方阵A与对角阵相似 即A能对角化 A有n个线性无关的特征向量 n阶方阵A与对角阵相似 即A能对角化 可逆P 可逆P 可逆P 8 可逆P 可逆P 是方阵A特征值 由于P可逆 推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似 说明 如果的特征方程有重根 此时不一定有个线性无关的特征向量 从而矩阵不一定能对角化 但如果能找到个线性无关的特征向量 还是能对角化 证毕 9 解 1 当 时 对应方程组 的基础解系为 2 当 时 对应方程组 的基础解系为 10 所以可对角化 注 即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应 11 第五章相似矩阵与二次型 第三节对称矩阵的相似矩阵 12 定理1对称矩阵的特征值为实数 证明 说明 本节所提到的对称矩阵 除非特别说明 均指实对称矩阵 一 对称矩阵的性质 和 13 设 则 又 至少 或者 为实数 14 证明 A为对称阵 15 证明 它们的重数依次为 根据定理1 对称矩阵的特征值为实数 和定理3 如上 可得 设的互不相等的特征值为 16 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交 这样的特征向量共可得个 故这个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵 则 17 根据上述结论 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵 其具体步骤为 2 1 二 利用正交矩阵将对称矩阵对角化 18 解 例对下列各实对称矩阵 分别求出正交矩阵 使为对角阵 1 第一步求的特征值 19 解之得基础解系 解之得基础解系 20 解之得基础解系 第三步将特征向量正交化 第四步将特征向量单位化 21 22 23 24 于是得正交阵 25 练习题 解 因为0 2是对称矩阵A的两个不同的特征值
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