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计算机数学基础 下 第5编数值分析 第11章函数插值与最小二乘拟合 本章主要内容 拉格朗日插值多项式均差牛顿插值法分段插值 样条函数数据拟合的最小二乘法重点 均差 牛顿插值法难点 样条函数 最小二乘法 函数是数学研究的基本工具 但在生产实践中我们并不知道所研究的函数是个什么样的表达式 只能通过试验观测得到一系列点的函数值怎样通过这些点的函数值构造函数的表达式呢 这是本章所要解决的问题 构造函数的方法有两种 一种是和观测结果完全吻合 另一种是和观测结果近似地吻合 前者称为函数插值 后者称为曲线拟合 用插值法求出的函数叫做插值函数 它并不要求是原来的函数本身 原来的函数叫做被插值函数插值函数与被插值函数只要在插值节点上的函数值相等 包含插值节点的区间叫插值区间 11 1拉格朗日插值多项式 11 1 1线性插值已知函数f x 在区间 xk xk 1 两端点的函数值最简单的方法就是用连接两端点的直线近似表示函数直线斜率 直线方程 由此看出 线性插值多项式P x 是两个关于x的的线性函数的线性组合 称为线性插值基函数 其系数分别是函数值插值基函数在节点处的函数值 例1已知 用线性插值函数求的近似值 解 函数为 两节点为 插值区间为 10 20 11 1 2二次插值如果在区间 xk 1 xk 1 中已知三节点的函数值 即已知我们就可以用一条抛物线近似逼近函数方法是 取三个基函数满足 它们都是二次函数它们满足右表的条件得到 二次插值多项式为 2001年7月试卷填空题8 过点的拉格朗日插值多项式为解 11 1 3n次插值如果在区间 a b 中有n 1个节点的函数值已知 可利用这n 1个节点构造插值函数取基函数得到 称为拉格朗日插值多项式 线性插值和二次插值就是n 1 2时的结果 2002年1月试卷计算题12 设函数值表为试求拉格朗日插值多项式 要求合并同类项 整理成一个多项式 解 11 1 4拉格朗日插值多项式的截断误差若在区间 a b 上用拉格朗日插值多项式来近似函数 其误差为称为插值多项式的余项 当n 1时线性插值的余项为 当n 2时抛物线插值的余项为 11 2牛顿插值 11 2 1均差如果已知函数在区间 a b 上的n 1个节点的函数值或表示为称为关于节点的一阶均差记作 一阶均差与的均差称为关于节点的二阶均差 记作n 1阶均差与的均差称为关于节点的n阶均差 记作 11 2 2均差的基本性质 性质1 n阶均差可以表示成为函数值的线性组合 当n 1时当n 2时 性质2 均差与插值节点的顺序无关 对称性 性质3 设是x的n次多项式 那么k阶均差是x的n k阶多项式 一阶均差是x的n 1阶多项式 二阶均差是x的n 2阶多项式 依此类推 2001年7月试卷选择题5 已知的均差那么均差 B 11 2 3均差表均差可以递推计算 均差的计算可以列表进行 均差计算表 例1已知数据为试计算解 计算列表如下 均差计算表 11 2 4牛顿插值多项式牛顿插值多项式用表示 由两个节点可得一次多项式 由三个节点可得二次多项式由n 1个节点可得n次多项式 例2用例1中的数据 求通过这4个节点的牛顿插值多项式 解 前面已经求出 例3给定f x 的函数值 作牛顿插值多项式 并计算f 0 596 解 根据函数值作均差表 因为五阶均差为0 所以牛顿插值多项式是4次的 用均差表中各列最上面的数据计算 用Excel计算的结果和课本略有出入 2002年1月试卷选择题3 已知在5个互异节点处的函数值 其一阶 二阶均差均不为0 三阶均差是1 那么用这5对数值作的插值多项式P x 是A 五次多项式B 四次多项式C 三次多项式D 二次多项式 C 牛顿插值多项式的误差用n次多项式来近似函数 其误差为若在 a b 上有n 1阶导数 则若在 a b 上只有n阶导数 则作业 P 77 P 84带 的练习题 11 3分段插值 11 3 1分段线性插值缩小插值区间可以减少函数近似值的误差 假设把给定的区间 a b 分割成已知函数在这些节点的函数值 在每一个子区间上作的线性插值函数 由这些小区间上的直线构成的折线 称为在区间 a b 上的分段线性插值函数 分段线性插值函数具有如下性质 1 在 a b 上连续 但在点不可导 2 3 在上是线性函数 可以通过构造基函数的方法生成 基函数在子区间或上是线性函数 且满足 的表达式 例1已知函数在区间 0 3 上取等距节点求分段插值函数 并计算的近似值 解 作函数值表 作基函数 2001年7月试卷选择题3 在区间 a b 上作函数的分段线性插值 设分点那么 分段线性插值的基函数 A 分段线性插值函数的误差估计其中h是区间的最大值 M是在 a b 上的最大值 11 3 2样条插值函数假设在 a b 上取n 1个节点在这些节点的函数值为 通过这n 1个节点的曲线在 a b 上有连续m 1阶导数 则在 a b 上的m次样条函数满足 1 在 a b 上有m 1阶连续导数 2 3 在每个子区间上 是m次多项式 例如 三次样条函数应满足 1 在 a b 上有二阶连续导数 2 3 在每个子区间上 是三次多项式 11 4数据拟合的最小二乘法 11 4 1最小二乘法假设在点上测得函数值 由于测量的点数较多 而且数据本身存在误差 用插值法构造函数得到的是高次插值多项式 且没有必要 这时 我们就可以采用数据拟合的办法 拟合的好坏取决于拟合误差的大小 拟合的最好就要求拟合误差最小 用拟合数据的拟合误差可用表示 使拟合误差最小的方法称为最小二乘法 11 4 2直线拟合选择直线来拟合数据称为直线拟合 假设直线为则拟合误差使拟合误差最小的应满足 这个方程组称为直线拟合的法方程组 解此方程组就可以确定 从而得到拟合直线 例1 已知10对数据如下 用最小二乘法求拟合直线 解 用Excel列表计算 法方程组为 所求拟合直线为 2001年7月试卷计算题12 设数据如下 试用直线拟合这组数据 计算过程保留4位小数解 法方程组为 所求直线为 11 4 3多项式拟合对给定的数据组 用一个m次的多项式拟合这组数据 则此多项式可假设为根据最小二乘原理令 法方程组为 共可以得到m 1道方程 每一个方程的左边有m 1项 请大家找一找 这m 1道方程的左右两边各有什么规律 怎样来帮助记忆 例如 二次拟合多项式为 法方程组为 三次拟合多项式为 法方程组为 例2试用最小二乘法求多项式P2 x 使与此数据拟合 解 用Excel列表计算 法方程组为 11 4 4指数拟合如果给定的数据组在直角坐