河北省清河县清河中学高一数学《26 二次函数》课件.ppt

基础知识一 二次函数的解析式1 一般式 f x a 0 2 顶点式 f x a 0 k h 为顶点坐标 3 零点式 f x a 0 x1 x2为两实根 求二次函数的解析式一般都是采用 ax2 bx c a x k 2 h a x x1 x x2 待定系数法 二 二次函数在闭区间上的最大值和最小值对二次函数f x a x k 2 h a 0 在区间 m n 上的最值问题 有以下结论 1 若k m n 则ymin f k ymax max f m f n 2 若k m n 当kn时 ymin ymax 当a 0时 可仿此讨论 h f m f m f n f n 三 二次函数与二次方程根的分布1 二次函数f x 当 0时 图象与x轴有两个交点m1 x1 0 m2 x2 0 则 m1m2 b2 4ac x1 x2 2 实系数二次方程ax2 bx c 0 a 0 两根为x1 x2 则 1 方程有两个不等正根 2 有两不等负根 3 一正根一负根 x1x2 0 4 x10 5 k0 6 x10 f k 0 7 x1 x2 k1 k2 且a 0 易错知识一 求二次函数解析式时 因设法不恰当致使计算量过大 1 已知二次函数的图象经过点 1 6 1 2 和 2 3 则这个二次函数的解析式为 答案 y x2 2x 52 若二次函数的图象经过点 0 1 对称轴为x 2 最小值为 1 则它的解析式为 答案 y x2 2x 13 已知抛物线与x轴交于a 1 0 b 1 0 并经过点m 0 1 则它的解析式为 答案 y x2 1 二 对二次函数的性质理解不透彻 4 函数f x x2 2ax 3在区间 1 2 上是单调函数 则a的取值范围是 答案 1 2 5 若函数f x k 2 x2 k 1 x 2是偶函数 则f x 的单调递增区间是 答案 0 6 若函数y x2 a 2 x 3 x a b 的图象关于直线x 1对称 则b 答案 6 三 对于含参数的函数求最值或值域因考虑不全失误 7 已知函数f x ax2 2a 1 x 3 a 0 在区间 2 上的最大值为1 则实数a的值为 答案 或 四 对于一元二次方程根的分布问题因考虑不全失误 8 关于x的方程x2 2 a x 5 a 0的一个根大于0而小于2 另一个根大于4而小于6 则a的取值范围是 答案 a 5 回归教材1 函数y x2 bx c x 0 是单调函数的充要条件是 a b 0b b 0c b 0d b 0答案 a 2 函数y x2 4x 2在区间 1 4 上的最小值是 a 7b 4c 2d 2解析 y x2 4x 4 2 4 x 2 2 2 在x 4时 函数有最小值 2 应选c 答案 c 3 教材p436题即2008 高考安徽卷 a 0是方程ax2 2x 1 0至少有一个负数根的 a 必要不充分条件b 充分不必要条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析 当a 0时 x1 x2 0 方程ax2 2x 1 0有一个负根 当a 0时 方程ax2 2x 1 0的根为x a 0是方程ax2 2x 1 0有一个负数根的充分不必要条件 故选b 答案 b 4 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 确定下列各式的正负 b ac a b c 答案 0 0 0 5 二次函数y f x 满足f 0 f 2 x1 x2是方程f x 0的两个实根 则x1 x2 答案 2 例1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数的解析式 解析 方法一 利用二次函数一般式 设f x ax2 bx c a 0 由题意得解之得 二次函数为y 4x2 4x 7 方法二 利用二次函数顶点式 设f x a x m 2 n f 2 f 1 抛物线对称轴为 m 又根据题意 函数有最大值为n 8 y f x a2 8 f 2 1 a2 8 1 解之得a 4 f x 4 x 2 8 4x2 4x 7 方法三 利用双根式 零点式 由已知f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值8 即 8 解之得a 4或a 0 舍 所求函数解析式为f x 4x2 4x 7 总结评述 本题采用二次函数式的三种形式 以上三种解法求得 法一最好想 法二注重观察得f 2 f 1 从而得f x 的对称轴方程 法三采用构造法 由f 2 f 1 1 构造了方程f x 1 0 采用双根式表达f x 1 从而得f x 设二次函数f x 满足f 2 x f 2 x 且f x 0的两个实根的平方和为10 f x 的图象过点 0 3 求f x 的解析式 思路点拨 由f 2 x f 2 x 可得函数f x 的图象关于x 2对称 故可设函数f x a x 2 2 k a 0 解析 f 2 x f 2 x f x 的图象关于直线x 2对称 于是 设f x a x 2 2 k a 0 则由f 0 3 可得k 3 4a f x a x 2 2 3 4a ax2 4ax 3 ax2 4ax 3 0的两实根的平方和为10 10 x x x1 x2 2 2x1x2 16 a 1 f x x2 4x 3 方法技巧 本题可设f x ax2 bx c a 0 然后利用条件求出a b c 从而求得二次函数解析式 不过利用隐含条件 即函数f x 图象的对称轴为x 2 设f x a x 2 2 k a 0 来解决更为简捷 温馨提示 本题易忽视条件f 2 x f 2 x 的挖掘利用 而致使计算量明显加大 例2 2009 湖北黄冈 已知y 2x2 2ax 3在区间 1 1 上的最小值为f a 试求f a 的解析式 并指出函数y f a 的单调性 命题意图 本题主要考查一元二次函数在闭区间上的最值和函数的单调性 分析 讨论对称轴与区间的位置关系 则g x min f a 当a 0时 f a 为增函数 当a 0时 f a 为减函数 2009 江苏启东市期中练习 函数y x2 2x在 4 3 上的最大值为 解析 y x2 2x x 1 2 1 函数在 4 3 上的最大值为15 答案 15总结评述 本题主要考查二次函数在给定区间内的最值 结合二次函数图象 较易解决 2009 安徽皖南八校第二次联考 已知函数y x2 ax 1在区间 0 3 上有最小值 2 则实数a的值为 a 2b c 2d 4答案 c 解析 当 0 即a 0时 函数在区间 0 3 上为增函数 故f x min f 0 1不符合题意 舍去 当 3 即a 6时 函数在区间 0 3 上为减函数 故f x min f 3 2 a 与a 6不符 舍去 当0 3 即 6 a 0时 f x min f 2 a 2符合题意 故a 2 例3 2006 浙江 16 设f x 3ax2 2bx c 若a b c 0 f 0 0 f 1 0 求证 1 a 0且 2 1 2 方程f x 0在 0 1 内有两个实根 命题意图 考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识 分析 第 1 小题从条件出发直接推证 第 2 小题若结合二次函数的图象 证明变得更加简捷 解答 1 f 0 0 f 1 0 c 0 3a 2b c 0 a b c 0 消去b得a c 0 再由条件a b c 0 消去c得a b0 2 1 解法二 f 0 0 f 1 0 而f a b c a0 方程f x 0有两个实根 设方程的两根为x1 x2 由韦达定理得 故两根为正 又 x1 1 x2 1 2 0 x1 1 x2 1 0 故两根均小于1 命题得证 总结评述 高考对二次函数的考查是常考常新 解决时要特别注意三个 二次 的联系 特别是充分利用二次函数的图象 常使问题的解决显得直观明了 设二次函数f x ax2 bx c a 0 a b c r 且f 1 a 2c b 1 判断a b的符号 2 证明 f x 0至少有一个实根在区间 0 2 内 解析 1 f 1 3a 2b 2c 0 又a 2c b 3a 2b 2c 3b 2b b 6b 综合 得a 0且b 0 2 证明 由 得b a c 又f 0 c f 2 4a 2b c a c a 当c 0时 a 0 f 1 0 且f 2 a c 0 f x 0在 1 2 内至少有一个实数根 b 当c 0时 a 0 f 0 c 0 且f 1 0 f x 0在区间 0 1 内至少有一个实根 综合 a b 可得f x 0在 0 2 内至少有一个实数根 反思归纳 本题利用根与系数的关系和二次函数的图象特征将方程的根转化为不等式和函数处理 1 求二次函数的单调区间时要经过配方法 要熟练准确利用配方法 2 对于函数y ax2 bx c要认为它是二次函数 就必须认定a 0 当题目条件中未说