高等数学公式(费了好大的劲)

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 12211c o s1 2s in ududxxtguuuxuux ， axxaaact gxxxtgxxxxct gxxtgxaxxln1)(lo gln)(cs c)(cs csec)(seccs c)(sec)(22222211)(11)(11)(ar cco s11)(ar cs inxarcct gxxarct gxxxxx CaxxaxdxCshxchx dxCchxshx dxCaadxaCxct gx dxxCxdxtgxxCct gxx dxxdxCtgxx dxxdxxx)ln (lncs ccs cs ecs eccs cs ins eccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxar c tgaxadxCc tgxxx d xCtgxxx d xCxc tgx d xCxtgx d xa r c s inln21ln211c s clnc s cs e clns e cs inlnc osln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnx dxx dxInnnna r c s in22ln22)ln (221c oss in222222222222222222222020一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： 诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90- cos sin ctg tg 90+ cos -sin -ctg -tg 180- sin -cos -tg -ctg 180+ -sin -cos tg ctg 270- -cos -sin ctg tg 270+ -cos sin -ctg -tg 360- -sin cos -tg -ctg 360+ sin cos tg ctg 和差角公式： 和差化积公式： 2s in2s in2coscos2cos2cos2coscos2s in2cos2s ins in2cos2s in2s ins inc tgc tgc tgc tgc tgtgtgtgtgtg1)(1)(s ins inc osc os)c os (s inc osc oss in)s in (xxa rth xxxa rc h xxxa rsh xeeeechxsh xth xeechxeesh xxxxxxxxx11ln21)1ln (1ln (:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦. .5 90 4 57 18 2 81 8 28 4.2)11(lim1s inlim0exxxxxx倍角公式： 半角公式： c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s12c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s122c o s12c o s2c o s12s i nc t gtg 正弦定理： RCcBbAa 2s ins ins in 余弦定理： Cabbac c o s2222 反三角函数性质： a r c c t g xa r c t g xxx 2a r c c o s2a r c s in 高阶导数公式 莱布尼兹（ Leibniz）公式： )()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率： 23333133cos3cos43coss in4s in33s intgtgtgtg222222122212s inc oss in211c os22c osc oss in22s intgtgtgc t gc t gc t g.1;0.)1(l i mMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算： bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式： babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,c os)(.s i n,c os,c osPrPr)(Pr,c osPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用： ),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度： 上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(g r a ds i nc os),(g r a d),(g r a d),(),(s i nc os),(),(多元函数的极值及其求法： 不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx重积分及其应用： DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzx oydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdx dyyzxzAyxfzr dr drrfdx dyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()s i n,c os(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddr drrFdx dyd zzyxfddr drdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzr dr dzrFdx dyd zzyxfzzryrxzyxr )()()(1,1,1s i n),(s i n),(),(s i ns i nc oss i ns i nc oss i n),s i n,c os(),(,),(),(,s i nc os22222220 0),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分： )()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()c osc os()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00 yxdyyxQdxyxPyxuyxuQ d yP dxyPxQyPxQGyxQyxPGy dxx dydx dyADyPxQxQyPQ d yP dxdx dyyPxQQ d yP dxdx dyyPxQLdsQPQ d yP dxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxD LD LD LL LL曲面积分： dsRQPR d x dyQ dz dxP dy dzdz dxzxzyxQdz dxzyxQdy d zzyzyxPdy d zzyxPdx d yyxzyxRdx d yzyxRdx d yzyxRdz dxzyxQdy d zzyxPdx d yyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)c osc osc os(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式： dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPR d x d yQ d z d xP d y d zdvzRyQxPnnd i v)c o sc o sc o s(. . .,0d i v,d i v)c o sc o sc o s()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系： dstAR d zQ dyP dxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdx d ydz dxdy d zR d zQ dyP dxdx d yyPxQdz dxxRzPdy d zzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjir otc osc osc os)()()(常数项级数： 是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(321111 12 级数审敛法： 散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0l i m)0,( nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛： 时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数： 0010)3(l i m)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数： nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00l i m)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数： )()!12()1(!5!3s i n)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532 xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式： 2s in2c oss inc osixixixixixeexeexxixe 或 三角级数： 。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,c os,s i n2c os,2s i n,c os,s i n,1c oss i n)s i nc os(2)s i n ()(001010 nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数： 是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnx dxxfabnxbxfnx dxxfbannx dxxfbnnx dxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnnc os2)(2,1,0c os)(20s i n)(3,2,1ns i n)(201241312116413121124614121851311)3,2,1(s i n)(1)2,1,0(c os)(12)s i nc os(2)(00022222222222222210周期为 l2 的周期函数的傅立叶级数： llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2,1(s in)(1)2,1,0(c os)(12)s inc os(2)(10其中，周期微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyu