化大为小找规律.doc

2 化大为小找规律我们先来看一个大数目的计算问题：计算自然数中小于10000的所有奇数的和。本题实际上就是计算下式的结果：1+3+5+9995+9997+9999由于1至10000这10000个自然数中，奇数与偶数各占一半，所以上式中共有5000个加数。5000个数太多，逐个相加太麻烦。多的不会，想少的，观察下列特殊情况：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52从上面这组算式不难发现这样一条规律：从1开始连续n个奇数的和，恰好等于n2。这样，我们只要知道小于10000的奇数共有多少个，就可以直接写出得数了。我们知道，从1开始的连续偶数个自然数中，奇数、偶数各占一半，所以，小于10000的自然数中，奇数共有5000个。因此1+3+5+7+9995+9997+9999=50002=25000000在解决上面这个问题时，我们体会到：对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。这就是解数学题常用的一种方法，叫做归纳，我们也可以叫做“化大为小找规律”。【分析与解】 我们可以先来计算 1199、 111999、11119999，看看它们的积各是多少，它们积里各有多少个数字是偶数。1199=1089（有2个数字是偶数。）111999=110889（有3个数字是偶数。）11119999=11108889（有4个数字是偶数。）是偶数。通过计算，可知是偶数。从上面4个算式的结果中，我们可以找到一个规律：几个1乘以相同个数的9，它的乘积，中间有1个0；在0的前面是若干个1，个数比被乘数1的个数少1；在0的后面是若干个8，个数与积中1的个数同样多；积的最末位是9。积里的偶数（包含1个0和若干个8）的个数和被乘数1或乘数9的个数同样多。根据这一规律，我们可以推想：这个积里有1个0及19个8，有20个数字是偶数。【例2】数一数，图 2-1中共有多少个正方形？【分析与解】 我们把图2-1先放在一边，来看图2-2和图2-3、图2-4中的正方形分别有多少个。在图2-2中，边长为1的正方形有4个，边长为2的正方形有1个，一共是：1+4=5（个）在图2-3中，边长为1的正方形有9个，边长为2的正方形有4个，边长为3的正方形有1个，一共是：1+4+9=14（个）在图2-4中，边长为1、2、3、4的正方形分别有16个、9个、4个、1个，一共是：1+4+9+16=30（个）现在，我们发现了规律：当正方形中相邻两个边被分为n等份，以每个等分点为端点，作与它相邻的另一条边的平行线。由这些平行线所组成的正方形（包括原来那个最大的正方形）的总个数是：12+22+32+n2根据这条规律，可算出图2-1中正方形总个数是：1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385（个）【例3】 计算【分析与解】 上面的加法算式中共有99个加数，而且这些分数的分母越来越大，通分显然不是好办法。还是用“化大为小”的方法试试吧。写到这里，规律已经出现了：如果算式中的加数共有n个，那么，计算结果（一个分数）的分子就是n，分母就是n+1。由此，可直接写出本题的答案不过，要提醒同学们注意的是：当你找到了规律之后，不要急于马上就去套用，还得先检验一下，看这个规律是不是“灵”。如果不灵，那就要多举几个例子，并对已经总结的结论加以修正。【例4】 将自然数1，2，3，4，像图2-5那样按顺序排列起来。在最上面一行中，从左到右第100个数是_；在最左边一列中，从上到下第100个数是_。【分析与解】 先仔细观察最上面一行靠最左边的几个数，看它们的排列有什么规律。第1列是a1=1=1第2列是a2=3=1+2第3列是a3=6=1+2+3第4列是a4=10=1+2+3+4现在可以发现规律了。第100列是a100=1+2+3+4+5+99+100=（1+100）1002=50505050就是最上面一行中从左到右的第100个数。再来看最左边一列数从上到下的排列规律。第2行是b2=2=1+1=a1+1第3行是b3=4=3+1=a2+1第4行是b4=7=6+1=a3+1第5行是b5=11=10+1=a4+1现在，可以得出最左边一列的各个数与最上面一行数之间有一种对应关系，那就是：bn=an-1+1知道an-1是多少，也就知道bn是多少。要求最左边一列的第100个数b100，应先算出a99。a99=a100-100=5050-100=4950所以，b100=a99+1=4950+1=4951【例5】 有甲乙两个水杯，甲杯有水1千克，乙杯是空的。第一次将甲样来回倒下去，一直倒了1995次之后，甲杯里的水还剩（ ）千克。【分析与解】 我们先不考虑倒1995次后甲杯中有多少水，还是先看前几次的情况（列出一个表更容易看出规律）。续上表规律出现了：第奇数次倒过之后，甲杯中的水与乙杯相等。1995是个奇数，所以倒了第1995次后，甲杯中的水仍为500克。再举一个大家很熟悉的例子。【例6】10条直线最多可把一个长方形分成多少块？【分析与解】 先不考虑10条直线，而是先看1条、2条、3条直线能把一个长方形分成几块？如图2-6，一条直线最多可把长方形分成两块。也就是a1=2；再添一条直线，即2条直线（如图2-7）可把长方形分成几块呢？要注意“最多”二字，它要求这条添上去的直线必须同前一条直线相交，而不能平行。这样，两条直线最多可把长方形分成2+2=4（块）也就是a2=4=2+2。在图2-7再添一条直线，这条直线既不能经过已有的两条直线的交点，也不能与其中一条平行（如图2-8），它使图2-7中的3块再一分为二（增加了3块）。这样，三条直线最多可把长方形分成4+3=7（块）也就是：a3=7=4+3现在，我们发现这样的规律：an=an-1+n因此，a10=a9+10=a8+9+10=a7+8+9+10=a1+（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=2+54=56（块）这就是说，10条直线可把长方形分为56块。【思考题】1.求13+23+33+43+103的值。提示：写出下列各式13+23=1+8=9=（1+2）213+23+33=9+27=36=（1+2+3）213+23+33+43=36+64=100=（1+2+3+4）2从这组等式中发现：13+23+33+n3=（1+2+3+n）2。2.有一个1000位的数，它的各位数字都是2，这个数除以6的余数是几？提示：从最简单的情况算起：（1位数）26=02（2位数）226=34（3位数）2226=37（4位数）22226=3702（5位数）222226=37034（6位数）2222226=37037算到这里，规律已经很明显了当位数是3的倍数时，余数为0；当位数是3的倍数多1时，余数为2；当位数是3的倍数多2时，余数为4。3.求图2-9