高考数学 专题辅导与训练 1.4《不等式》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1不等式的性质 例1 1 下列命题中不正确的是 a a b a 2 x b 2 x b cac c a b c d cd 0 d a b 0 2 若角 满足 则的取值范围用区间表示分别是 解题指导 1 分析每个命题的条件与结论 合理使用不等式的性质进行推理证明或举反例来说明 2 先由已知求出的取值范围 再由不等式的性质得出结论 规范解答 1 选c a正确 因为2 x 0 a b 由不等式的性质知2 x a 2 x b b正确 因为c0 cc 得ab ac c不正确 若a b 0 c0时显然有d正确 由a b 0 可得 0 即 2 从而两式相加即得 即又 又 0 0 即 0 答案 0 变式备选 1 若本例 2 的已知条件不变 则2 的取值范围是什么 解析 2 根据不等式的性质得 2 又 2 若将例 2 中的已知条件改为 则的取值范围变为什么 解析 即又 即故的取值范围均为 不等式性质的应用问题 1 不等式的性质包括 单向性 和 双向性 两个方面 单向性主要用于证明不等式 双向性是解不等式的基础 也可用于证明不等式 2 对于不等式的性质 要弄清每一个性质的条件和结论 注意条件的加强或减弱 条件与结论之间的相互关系 3 判断不等式是否成立时 常利用不等式的基本性质 函数的单调性和特殊值等方法 4 比较数的大小通常用作差法和作商法 作差法 是比较大小的一个最基本的方法 依据是 a b 0 a b a b 0 a b a b1 a 0 b a 1 b a 0 b a 解题步骤为 作商 变形 判断 结论 其实质是把两个数的大小比较转化为一个数与1进行比较 5 由a f1 x y b c f2 x y d 求g x y mf1 x y nf2 x y 的取值范围 可利用待定系数法解决 对已知范围要整体代换 而不能求出变量x y的范围 否则将扩大范围 这类题也可通过线性规划来解决 使用不等式的性质时 一定要注意使它成立的前提条件 1 对于下列四个命题 若a b c d a c b d 若a b 0 c d 0 若ac bc 则a b 若a b 0 则其中正确命题的个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选b 由不等式的性质知 对 命题 全错 也可举反例 2 如果a 0 b且a b 0 那么以下不等式 a2 b2 a3 ab2 a2b b3 其中不成立的序号为 解析 a b 0 a b 又 a 0 b a 0 b 0 0 b 2 b2 故 均成立 a2 b2成立且a 0 ba b2 a2 bab2 a2b b3 故 不成立 成立 答案 热点考向2不等式的解法 例2 1 2011 江西高考 若f x x2 2x 4lnx 则f x 0的解集为 a 0 b 1 0 2 c 2 d 1 0 2 2011 辽宁高考 设函数f x 则满足f x 2的x的取值范围是 a 1 2 b 0 2 c 1 d 0 3 2011 黄石模拟 定义在r上的偶函数f x 在 0 上是增函数 且f 0 则不等式f 0的解集是 a 0 b 2 c 0 2 d 1 2 解题指导 1 首先求出f x 的导数 再解分式不等式 2 可分x 1和x 1两种情况分别求解 再把结果合并起来 3 根据已知函数的奇偶性和单调性 分类讨论 把不等式等价转化为简单的对数不等式 再利用对数函数性质求解 规范解答 1 选c 由条件得 f x 2x 2 令f x 0 即2x 2 0 整理得 0 解得 12 又因为f x 的定义域为 x x 0 所以x 2 故选c 2 选d 若x 1 则21 x 2 解得0 x 1 若x 1 则1 log2x 2 解得x 1 综上 x 0 故选d 3 选c 当0 x 1时 0 根据f x 是 0 上的增函数且f 0 原不等式化为f f 因此 0 x 0 x 当x 1时 0 根据f x 是偶函数且在 0 上是增函数 可得f x 在 0 上是减函数 又 x 2 x 2综上可得不等式的解集是 0 2 常见不等式的类型及解法 解各类不等式时要特别注意不等式的等价转化 使用分类讨论时应不重不漏 1 不等式 0的解集为 a 1 b 1 1 c 1 1 d 1 1 解析 选c 由 0 可得即得x 1 1 故应选c 2 2011 北京模拟 已知函数f x 则不等式f 1 x2 f 2x 的解集是 a x 1 x 1 b x x 1或x 1 c x 1 x 1 d x x 1 或x 1 解析 选d 1 x2 1 f 1 x2 1 x2 1 2 2 x4 2当2x 1即x 时 f 2x 2时 原不等式变为x4 2 2 此时x 0 x 当2x 1即x 时 f 2x 2x 1 2 2 原不等式变为x4 2 2x 1 2 2 即x4 2x 1 2 x2 2x 1 2x 1 则x2 2x 1 0 解得x 1 或x 1 x 1 或 1 x 综上可知 不等式的解集为x 1 或x 1 热点考向3均值不等式及其应用 例3 2011 吉安模拟 如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图 四周的实线为网衣 为避免混养 用筛网 图中虚线 把大网箱隔成大小一样的小网箱 1 若大网箱的面积为108平方米 每个小网箱的长x 宽y设计为多少米时 才能使围成的网箱中筛网的总长度最小 2 若大网箱的面积为160平方米 网衣的造价为112元 米 筛网的造价为96元 米 且大网箱的长与宽都不超过15米 则小网箱的长 宽为多少米时 可使总造价最低 解题指导 1 用x y表示出筛网总长度的函数关系式 根据均值不等式求最小值 2 用x y表示出总造价的函数表达式 注意到x y的限制条件 根据单调性求最小值 规范解答 1 设筛网总长度为s 依题意知4x 2y 108 即xy s 4x 6y 因为4x 6y 2 2x 3y 4 36 所以s 36 当且仅当2x 3y时 等号成立 解方程组得即每个小网箱的长与宽分别为4 5米与3米时 网箱中筛网的总长度最小 2 设总造价为w元 则由4x 2y 160 得xy 20 因为4x 15 2y 15 所以w 8x 4y 112 4x 6y 96 8x 4 112 4x 6 96 1280 x 求导 可得w x 在 上单调递减 所以当x 时 w最小 此时即当小网箱的长与宽分别为米与米时 可使总造价最低 均值不等式的应用问题 1 用均值不等式求最值时 常用到两个结论 可简述为 和定积最大 与 积定和最小 2 运用均值不等式求最值时 必须做到 一正 二定 三相等 一正 指公式中的各项均为正 二定 指含变数的两项的和或积为定值 三相等 指含变数的两项相等时 才能取到最值 并且这三个条件是缺一不可的 3 对于形如y x k 0 的函数求最值时 一般用均值不等式来解 若等号无法取到 则用函数的单调性进行求解 4 当所给式子不满足适用均值不等式的形式时 可通过 拆 拼 凑 等方式进行变形 使之符合应用不等式的条件形式 5 均值不等式的常见变形 a b 2 a 0 b 0 ab 2 a b r a2 b2 2 a b r 这些变形沟通了a b ab a2 b2三者的关系 根据目标函数和变形的方向 对这些变形要灵活选用 必须同时具备 一正 二定 三相等 才能使用均值不等式求最值 否则要用单调性求解 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张 每批都购入x张 x是正整数 且每批均需付运费4元 储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值 不含运费 成正比 若每批购入4张 则该月需用去运费和保管费共52元 1 求该月需用去的运费和保管费的总费用f x 2 现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费 能否恰当地安排每批进货的数量 使资金够用 写出你的结论 并说明理由 解析 1 设题中的比例系数为k 若每批购入x张 则共需分批 每批价值为20 x元 由题意可知f x 4 k 20 x 由x 4时 f x 52得k f x 4x 0 x 36 x n 2 由 1 知f x 4x 0 x 36 x n f x 2 48 元 当且仅当 4x即x 6时 上式等号成立 故只需每批购入6张书桌 可以使资金够用 热点考向4不等式的证明 例4 12分 2011 安徽高考 1 设x 1 y 1 证明x y 2 已知1 a b c 证明logab logbc logca logba logcb logac 解题指导 1 利用不等式的基本性质 用分析法 比较法综合证明 2 根据对数函数的性质和对数的换底公式等价转化为第 1 问已证出的结论 规范解答 1 由于x 1 y 1 所以要证明x y xy 只需证xy x y 1 y x xy 2 2分用上式中的右式减左式 得 y x xy 2 xy x y 1 xy 2 1 xy x y x y xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 4分因为x 1 y 1 所以 xy 1 x 1 y 1 0 从而所要证明的不等式成立 6分 2 设logab x logbc y 由对数的换底公式得logac xy 于是 所要证明的不等式即为x y xy 10分其中x logab 1 y logbc 1 故由 1 成立知logab logbc logca logba logcb logac成立 12分 证明不等式的常见方法 1 比较法是证明不等式的一种最基本 最重要的方法 分为作差法和作商法两种 其中用作差法证明不等式时 通常是进行因式分解 利用各因式的符号进行判断 或进行配方 利用非负数的性质进行判断 2 综合法证明不等式时 主要用均值不等式 函数的单调性以及不等式的性质 推导出结论 即 由因导果 3 分析法的思维是逆向思维 即从求证的不等式出发 寻求使这个不等式成立的充分条件 即 执果索因 4 放缩法是证明与数列有关的不等式的一种常见方法 常用的方法有 拆分或添加一些项 将分子或分母增大 减小 如 k n k 1 k n k 1 k n k 1 k n k 1 等 放缩要适当 放缩得过大或过小都会得到不恰当的结论 5 通过利用导数求最值的方法证明不等式已成为高考的新的增长点 6 数学归纳法 在证明与正整数有关的不等式时 可用数学归纳法来解决 证明时要注意数学归纳法证题的规范与要求 特别是在证明n k 1不等式成立时一定要用上归纳假设 否则就不是数学归纳法 证明不等式的关键是根据所给不等式的特点确定正确的证明方法 1 已知x y都是正实数 求证 x3 y3 x2y xy2 2 已知a b c都是正实数 求证 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a b c 证明 1 方法一 x3 y3 x2y xy2 x2 x y y2 y x x y x2 y2 x y 2 x y 又 x 0 y 0 x y 2 0 x y 0 x y 2 x y 0 x3 y3 x2y xy2 方法二 x2 y2 2xy 又 x y都是正实数 x y 0 x2 y2 x y 2xy x y 展开得x3 y3 x2y xy2 2x2y 2xy2 移项 整理得x3 y3 x2y xy2 2 a 0 b 0 c 0 由 1 知 a3 b3 a2b ab2 b3 c3 b2c bc2 c3 a3 c2a ca2 将上述三式相加得 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 3 a3 b3 c3 a3 a2b ca2 b3 ab2 b2c c3 bc2 c2a a2 a b c b2 a b c c2 a b c a b c a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a b c 数学建模思想 解答不等式的应用问题不等式应用的主要问题类型 1 运用不等式研究函数问题 单调性 最值等 2 运用不等式研究方程解的问题 3 利用函数性质及方程理论研究不等式问题 诸如方程的根的分布问题 解集之间的关系 函数的定义域及值域问题 解析几何中有关范围问题 直线与圆锥曲线位置关系的讨论 三角 数列 立体几何中的最值问题等都与不等式的知识相关联 综合性强 求解时应注意的问题 1 审题 分为读懂和加深理解两个层次 把 问题情景 译为数学语言 理清问题的主要关系 2 建模 把问题的主要关系近似化 形式化 抽象成数学问题 即建立数学模型 3 解模 把数学问题化为常规问题 选择合适的数学方法求解 4 检验 对结果进行验证或评估 最后将结果应用于现实 作出解释或预测 典例 12分 2011 湖北高考 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为0 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求最大值 精确到1辆 小时 解题指导 1 由车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 可得0 x 20时 v x 60 又20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 设v x ax b 利用x 200时v 0及x 20时v 60可求出a b 据此可求v x 表达式 2 f x 是关于x的分段函数 求出每段的最大值 再比较可得f x 的最大值 规范解答 1 由题意 当