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【三维设计】2013届高考数学一轮复习 数学思想活用 巧得分系列四 转化与划归思想在导数研究函数中的应用 新人教版典例(2012山西四校联考)已知函数f(x)x3ax2a2xm(a0)(1)若a1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；(2)若对任意的a3,6，不等式f(x)1在2,2上恒成立，求实数m的取值范围解(1)当a1时f(x)x3x2xm.函数f(x)有三个互不相同的零点，x3x2xm0即mx3x2x有三个互不相等的实数根令g(x)x3x2x，则g(x)3x22x1(3x1)(x1)，g(x)在(，1)和上均为减函数，在上为增函数，g(x)极小值g(1)1，g(x)极大值g，m的取值范围是.(2)f(x)3x22axa23(xa)，且a0，当x时，f(x)0；当ax时，f(x)0.函数f(x)的单调递增区间为(，a)和，单调递减区间为.当a3,6时，1,2，a3.又x2,2，f(x)maxmaxf(2)，f(2)，又f(2)f(2)164a20，f(x)maxf(2)84a2a2m.又f(x)1在2,2上恒成立，f(x)max1即84a2a2m1，即当a3,6时，m94a2a2恒成立94a2a2在3,6上的最小值为87，m的取值范围是(，87题后悟道所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题解答本题利用了转化与化归思想，第(1)问中把函数的零点问题转化为g(x)x3x2x与ym图象的交点；第(2)问中把问题转化为求f(x)在2,2的最大值，利用最大值小于等于1，进一步转化为m94a2a2在a3,6恒成立，从而可求m的范围针对训练设函数f(x)x3x2x，g(x)2x24xc.当x3,4时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围解：设f(x)g(x)，则有x3x2x2x24xc，所以cx3x23x.设f(x)x3x23x，则f(x)x22x3，令f(x)0，解得x11，x23.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x3(3，1)1(1,3)3(3,4)4f(x)00f(x)9极大值极小值由表可知f(x)在3，1，3,4上是增函数，在1,3上是减函数当x1时，f(x)取得极大值f(1)；当x3时，f(x)取得极小值f(3)9，而f(3)
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