山东省高中数学《2.4等比数列》第1课时课件 新人教A版必修5.ppt

课标要求 1 理解等比数列定义 会用定义判断等比数列 2 掌握等比数列的通项公式 3 掌握等比中项的定义并能解决相应问题 核心扫描 1 等比数列的判定 重点 2 等比数列的通项公式及应用 重点 难点 3 等比中项及应用 第1课时等比数列的概念及通项公式 2 4等比数列 等比数列的概念如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的比等于 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 通常用字母q表示 q 0 自学导引 1 常数列一定是等比数列吗 提示 不一定 当常数列为非零常数列时 此数列为等比数列 否则不是 2 同一常数 公比 等比中项等比数列的通项公式已知等比数列 an 的首项为a1 公比为q q 0 则数列 an 的通项公式为an 2 等比中项 3 a1qn 1 推导等比数列的通项公式有哪些方法 提示 等比数列的通项公式的推导有下列三种方法 归纳法 由等比数列的定义可以得到a2 a1q a3 a2q a1q2 a4 a3q a1q3 a5 a4q a1q4 归纳得an a1qn 1 迭代法 因为 an 是等比数列 所以an an 1q an 2q q an 2q2 an 3q q2 an 3q3 a1qn 1 所以an a1qn 1 等比数列定义的理解 1 由于等比数列的每一项都可能作分母 故每一项均不能为零 因此q也不可能为零 3 如果一个数列不是从第2项起 而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数 那么这个数列不是等比数列 名师点睛 1 等比中项的理解 1 当a b同号时 a b的等比中项有两个 当a b异号时 没有等比中项 2 在一个等比数列中 从第2项起 每一项 有穷数列的末项除外 都是它的前一项与后一项的等比中项 3 a g b成等比数列 等价于 g2 ab a b均不为0 可以用它来判断或证明三数是否成等比数列 等比数列的通项公式 1 已知首项a1和公比q 可以确定一个等比数列 2 在公式an a1qn 1中有an a1 q n四个量 已知其中任意三个量 可以求得第四个量 2 3 题型一等比数列通项公式的应用 在等比数列 an 中 1 a4 2 a7 8 求an 2 a2 a5 18 a3 a6 9 an 1 求n 思路探索 解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组 求出a1和q 再表示其他量 例1 由a1q a1q4 18 知a1 32 由an a1qn 1 1 知n 6 a1和q是等比数列的基本量 只要求出这两个基本量 其他量便可迎刃而解 此类问题求解的通法是根据条件 建立关于a1和q的方程组 求出a1和q 在等比数列 an 中 已知a5 a1 15 a4 a2 6 求an 变式1 等比数列 an 的前三项的和为168 a2 a5 42 求a5 a7的等比中项 思路探索 本题主要考查等比数列的基本运算和等比中项的求法 题型二等比中项的应用 例2 已知b是a与c的等比中项 求证 ab bc是a2 b2与b2 c2的等比中项 证明 b是a和c的等比中项 b2 ac 且a b c均不为零 ab bc 2 a2b2 2ab2c b2c2 a3c 2a2c2 ac3 又 a2 b2 b2 c2 a2b2 a2c2 b4 b2c2 a3c a2c2 a2c2 ac3 a3c 2a2c2 ac3 ab bc 2 a2 b2 b2 c2 又 a2 b2 0 b2 c2 0 ab bc是a2 b2与b2 c2的等比中项 变式2 已知数列 an 满足a1 1 an 1 2an 1 1 证明 数列 an 1 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 审题指导 1 变形递推公式 按等比数列的定义证明 2 求出 an 1 的通项公式 即可求出an 规范解答 1 证明法一因为an 1 2an 1 所以an 1 1 2 an 1 由a1 1 知a1 1 0 从而an 1 0 所以数列 an 1 是等比数列 6分 题型三等比数列的判定 例3 数列 an 1 是等比数列 6分 2 解由 1 知 an 1 是以a1 1 2为首项 2为公比的等比数列 所以an 1 2 2n 1 2n 即an 2n 1 12分 判断一个数列是否是等比数列的常用方法是 1 定义法 2 等比中项法an 12 anan 2 n n 且an 0 an 为等比数列 3 通项公式法an a1qn 1 a1 0且q 0 an 为等比数列 已知数列 an 的前n项和sn 2an 1 求证 an 是等比数列 并求出通项公式 证明 sn 2an 1 sn 1 2an 1 1 an 1 sn 1 sn 2an 1 1 2an 1 2an 1 2an an 1 2an 又 s1 2a1 1 a1 a1 1 0 又由an 1 2an知an 0 an 1 2n 1 2n 1 变式3 通过观察图形特征 帮助学生发现图形所表示数的规律和特点 一方面 培养学生发现图形特征和规律的能力 另一方面 在单纯发现数列的规律比较困难的情况下 可以借助图形帮助解决 反之 在观察图形特征比较困难的情况下 也可以考虑从观察数列特点入手进行解决 图 1 是一个边长为1的正三角形 将每边三等分 以中间一段为边向外作正三角形 并擦去中间一段 得图 2 如此继续下去 得图 3 试求第n个图形的边长和周长 方法技巧数形结合思想在等比数列中的应用 示例 思路分析 关键是找到周长与n的关系 即找到由周长所构成的数列的通项公式 解设第n个图形的边长为an 要计算第n个图形的周长 只需计算第n个图形的边数 第1个图形的边数为3 因为从第