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【大学数学】重新理解系列之三：抽象代数我学过一学期的抽象代数，但感觉啥都没学到，对那些定义、定理没啥理解，完全就是考验记忆能力，但是下面的几篇文章居然勾起了哥学习抽象代数的欲望，对现代数学三大支柱一直的抽象代数感兴趣的同学可以慢慢看看，其实学习一门数学课时先读读这方面的科普文章，对整体把握和学习效果有非常大的提升。文章列表：1. 初学者应该如何学习抽象代数2. 漫谈抽象代数（非常好）3. 抽象代数不抽象4. 抽象代数的人间烟火5. 抽象代数学习方法6. 近世代数概论前言7. 近世代数学习方法（之后的几篇文章还没来得及看）8. 群论问题与物理问题（和众多牛人的讨论总结）9. 近世代数基础课件（感觉很不错）10. 近世代数发展简史11. 近世代数的应用12. 抽象代数学习报告初学者应该如何学习抽象代数曾经看到一些抽象代数（近世代数）的初学者有这样的疑问：我们为什么要研究像群这样的抽象结构呢？有人解释说这是刻画对称性，也有人解释说是现代数学的一种语言，有点道理却又语焉不详。【为什么学抽象代数？多么实际而迫切的问题，但学了也没能回答这个问题。既然抽象代数研究的是结构，那么就对应数学物理工程医学中的实际的结构，如化学中物质结构、网络结构等等，我觉得都是可以用上去的，这都是一下想到的，没有详细去考证。】为什么要研究群呢？提出这类问题的人困惑的并不是群的本质，而是需要一个合理的过渡，我觉得从具体的代数到抽象代数之间的过渡可以类比于从算术到普通代数的过渡。记得我第一次遇到代数时感到很奇怪，为什么一眼就能看出答案的问题，非要设个未知量x来解方程。直到后来发现几个x可以抵消，我才算领会了方程的方便，再后来遇到二次的情形就非要列方程不可了。如果说方程中字母x代表某个数的话，那么群中的字母g又代表什么呢？它不仅代表处在某个地位上的数，更是代表一个特殊的位置，这样的位置是与整个群的结构相互联系的。比如在三阶循环群中，两个生成元尽管作为数是不同的，但它们在群的地位却是一致的。正如普通代数中忽略了数的已知与未知那样，抽象代数中忽略的则是具体数的差异，而集中考虑相应的位置与结构。【普通代数中忽略了数的已知与未知那样，抽象代数中忽略的则是具体数的差异，而集中考虑相应的位置与结构？不太懂。】有的人总是想借助直观来理解抽象，但这对抽象代数的入门却是一个妨碍。还有回忆学习普通代数的情形，如果在学习普通代数的时候固执于用数值检验未知数x，并不能让你真正领会x的精神，只有直接用x来进行运算，才能在此基础上领会高级的直观。抽象代数的学习也需要领会相应的高级直观，这里的直观重在代数的结构，因此初学者就应该特别注意那些关于结构的定理。第一个结构定理大概就是同态基本定理，由此可以更加深刻的理解商群。此后，一个非常自然的结构定理就是有限Abel结构定理，如果你能够依据此定理确定任意Abel群的结构，那么可以说你基本上已经算是入门了。此后，就可以考虑对付非Abel群的武器，最初级的武器共轭类，由此衍生出正规子群的概念，而更加深刻的武器则是Sylow定理。仅仅作为入门的话，能理解Sylow定理也应该算是足够了。【结构定理是抽象代数的核心。需要用高级的直观来理解抽象的东西，不过借助低级直观能帮助我们理解抽象的东西，从而建立高级直观。】群的上面还有环、域、模等代数结构，这里只是简单提一下它们之间的关系。如果说群是青少年的话（半群就是儿童了）；那么环与域就是中年人，除了加法之外还增加了一个乘法；而模与向量空间则是老年人，它把环或域作为系数，自身还保留有类似群的加法。这里我要提醒一下，Abei群其实有着双重身份，它作为群的同时又是一个整数环Z上的模，不妨就管他叫老顽童吧。如果像群变环那样，在模上面再引入一个乘法会怎么样呢？也不知为什么，得到的东西就干脆的称为代数。其实，只要能把注意把握结构，抽象代数的入门应该不是太困难，我甚至提议数学专业课是不是可以一开始就群论讲起，这可以促使学生尽早完成代数思维的转变。只要走过了这道门槛，后面还有更加丰富多彩的内容等着你们呢！【抽象代数的入门就是抓住本门课的核心思想：结构思想和抽象思维】漫谈抽象代数你若是没有认真看过代数，你就不能准确地估计数学到底有多么深刻；你若是没有认真看过代数，你也不能明白为什么抽象的理论也能为人类思维所把握代数中最不可理解的就是，代数竟然是可以理解的。【好一个排比！突出了抽象代数的抽象性（能抓住本质和深刻）】代数的深刻来自数学思想，而不是运算论运算，微分和积分都比它复杂得多，这就是物理大师Feynman选择矩阵而不是偏微分方程来给低年级本科生讲述量子力学的原因（参阅Feynman物理学讲义卷III，赵凯华的新概念量子物理也用的是这种讲法：因为矩阵和代数运算更接近高中数学，几乎每个读过物理奥赛书的同学都会用行列式求解电路的基尔霍夫方程组奥赛总是尽量回避微积分，必要的时候就用“小量分析”代替，并且取名为“微元法”、“近似法”，但就是不说这是微积分）。其实，运算的艰深算不得深刻，至多只能算繁琐（譬如电力系统和集成电路，分析和运算极其复杂，但用到的不过是普通物理和固体物理之类的低级知识，根本用不上相对论、量子力学、量子场论这类思想深刻的东西）。它没有几何那么直观（因此许多人不喜欢它，嫌它太抽象），确实（对于物理学家来说），但换个角度来看，这反倒是它的优点：一方面，在它的世界里，你不必担心自己的空间想象能力（和你的同行相比，你的逻辑推理能力恰好可以弥补空间想象能力的不足）；另一方面，就数学本身而言，人类总是不可避免要面对一些高维（甚至无限维）的客体，这时，不仅你想象不出来，其他人也想象不出来，这正是代数大显身手的地方。有人说，抽象有什么好，我想象不出来。其实你那是先给自己灌输了一个错误观念，即一个事物只有当它可以想象出来才是真实的，才能接受。为什么非要想象出来呢？只要依循着逻辑一步步严密地推理就足够了，因而这种担心完全是不必要的。所以，你可以把数学看得很神圣，但不要把它看得很神秘望而生畏会阻碍你的进步。【代数不研究具体运算，几何中看不中用，代数中用不中看，只需逻辑推演，无需太强的空间几何想象能力】代数的魅力就在于，深刻又易于思考，哪怕你对研究对象一无所知，也能依循着逻辑去思考它那么简单，简单到只需要逻辑（除此之外再也不需要别的了）就能把握真理（你必须相信，纯理论可以主宰世界）；但它的思想又那么深刻，深刻到所有几何都能统一用变换群来描述。现在觉得，几何与代数的特点很像普通物理与理论物理：前者注重说明现象，后者注重说明本质。譬如折射：前者注重折射现象（筷子放入水中后变弯了），后者注重折射定律（不管你变成什么形状了，反正都是nsin=nsin）。曾经我很迷恋几何（各种奇妙曲线和曲面），就像当初迷恋普通物理（各种奇妙现象）；现在我转向理论物理，更愿意从纯理性的角度去思考一些本质（透过现象看本质），对数学也因而更偏重代数。代数和理论物理的美是内敛的，就像那种内敛的人，长得很抽象，你不去接近她而只是从外部看看，就不会发现她的魅力所在。【代数的好处深刻又易于思考，抽象的好处是能抓住本质，透过现象看本质。】抽象有什么好？抽象可以使理论更加普适。什么欧式几何、仿射几何、射影几何、微分几何林林总总，眼花缭乱。它们之间就没有联系吗？有！不识几何真面目，只缘身在几何中必须从几何中跳出来，才能旁观者清。这个旁观者就是代数。1872年，德国数学家Klein在Erlangen大学的报告中指出，一种几何学可以用公理化方法来构建，也可以把变换群和几何学联系起来，给几何学以新的定义：给出集合S和它的一个变换群G，对于S中的两个集合A和B，如果在G中存在一个变换f使f(A)=B，则称A和B等价。可以根据等价关系给集合分类，凡是等价的子集属于同一类，不等价的子集属于不同的类。将这一代数理论翻译到几何中，相应的版本便是：集合S叫做空间，S的元素叫做点，S的子集A和B叫做图形，凡是等价的图形都属于同一类（图形等价类）。于是同一类里的一切图形所具有的几何性质必是变换群G下的不变量，因而可用变换群来研究几何学这就是著名的Erlangen纲领，它支配了自它以来半个世纪的所有几何学的研究。例如，在正交变换群下保持几何性质不变的便是欧式几何，在仿射变换群下保持不变的便是仿射几何，在射影变换群下保持不变的便是射影几何，在微分同胚群下保持不变的便是微分几何。【终于了解了点Erlangen纲领的思想，即变换群下的不变量，同一类中图形的共同几何性质，就可以根据不变量对图形进行分类，图形等价】上面说的是图形等价关系。代数的普遍性在于，它将各种各样的相关的、不相关的事物放在一起比较，然后从这些个性的事物中提炼出共性的东西来，比如等价关系。除了上面提到的图形等价关系，还有各种各样的等价关系（如同“群公理：只要满足能封闭、可结合、有恒元和逆元的集合就是群”一样，只要满足反身、对偶、传递这三条的关系就是等价关系这样简单的条件当然很容易满足，曲不高则和不寡，所以类似的例子不胜枚举），例如，同余等价关系。我们可以按余数给整数分类，余数相同的归为一类，即同余类。代数对于普遍性的追求在于，发现同余类后并不就此止步，而是精益求精，进一步去提炼更具普遍性的概念。既然等价的图形和等价的余数都可以归为等价类，何不将等价类做成一个集合呢？由此，又发现了商集（即在一个集合中给定了一个等价关系之后相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说就是将每一个等价类中所有点“粘合”为一个点而得到的集合，如Mbius带和Klein瓶）、商空间（以同余类为元素构成的集合）、商群（以陪集为元素构成的集合）等概念。【等价类的思想贯穿于整个代数，由此引出各种概念】刚才说了等价关系。类似的例子还有很多，再比如说基矢。只要同类的一组元素互不相关，就能充当空间的一组基（将一个量展开为其他量的线性组合，此即泛函分析中的谱定理），哪怕它不是向量（因而生成的不是几何空间）也无所谓，比如它可以是一组函数（由此生成无限维空间，如量子力学中的Hilbert空间）。甚至，它可以是一个不确定（如无穷小量，要多小有多小但又不是零，到底多大只有上帝清楚）的微分元（比如dx、dy、dz，微分几何中用到的外微分形式就是用这些微分元为基矢张成的空间微分几何运算很复杂，但构成它的理论基础之一Grassmann代数并不是特别复杂）。可见，代数的理论是相当普适的。【微分几何=几何+代数+分析，谱定理就是向量在基上的分解定理】代数为什么能普适？因为它总是通过不断的抽象来提炼更加基本的概念。用哲学的话说，便是从具体到抽象，从特殊到一般（例如两个群，不论它们的元素多么地不同，只要运算性质相同，彼此就是同构的，并且可以因此认为是相同的代数对象而不加区别；不论膨胀、收缩、转动、反演都可以统一起来，那就是指数函数；不论弦振动、声音、流体、电磁波都可以统一起来，它们在数学中都是双曲型方程）。每一次抽象都是一次“扬弃”（留其精髓，去其平庸）的过程。比如将“距离”概念抽象化而提炼出“单比”概念，进一步将“单比”抽象化而提炼出“交比”概念，于是，从欧式几何中舍弃“距离不变”而保留更普遍的“单比不变”，得到仿射几何；从仿射几何中舍弃“单比不变”而保留更普遍的“交比”，得到一般的射影几何。从欧式空间（长度，夹角）到内积空间（模，不严格的夹角）再到赋范空间（范，完全抛弃夹角）也是如此，不断的改良（抽象、提炼），一改再改，但最终改到不能再改时，就完成了一个革命甚至连范数（最熟悉因而最不愿抛弃的度量或度规）也抛弃了，从不严格的距离发展到不确定的距离（邻域，就像前面提到的无穷小量一样不确定），得到了里程碑式的“拓扑空间”的概念有史以来最广泛最深刻的革命！【每种几何就对应某个量的不变性，在这有了精彩阐述。因为抽象所以普适，因为抽象所以一般，因为抽象所以能抓住本质】经由欧式空间的连续函数抽象出度量空间的连续映射，一直到抽象出拓扑空间中的同胚映射，在数学史上经历了很长时间才完成。无独有偶，物理学史也是如此。且不说从经典力学到相对论、量子力学（这个过程想必大家都听腻了），单说相对论本身也是如此。Einstein说：“为什么从狭义相对论发表到广义相对论建立又经历了7年那么长时间？主要原因是，要摆脱坐标必须有直接度量意义这个旧概念是不容易的”。看来，物理学家和数学家都遇到了摆脱“度量”概念的困难，在摆脱旧概念走向新理论这一点上物理学界和数学界是相通的（数学界走向了拓扑学，物理学界走向了广义相对论）。【了解抽象学科的各种概念是如何从具体慢慢抽象为一般的！抽象就是只关心一点不及其余，去掉不需要的限制】由于每一次“扬弃”都抛弃了一些非本质特征而提炼出更普适的精髓特征，因而每一次抽象都是在透过现象看本质，每一次提炼都是一次质的飞跃和升华，从而使由此得到的新理论更具普遍性与包容性。例如量子力学不仅能解释经典力学的各种现象，还能解释微观世界里特有的（不能被经典力学或经典电动力学解释的）现象，如AB效应。【抽象的美！】当然，尽管新理论更有包容性，但也不能完全取代旧理论。比如拓扑学就不能取代测度论。呵呵，数学界都从“everythere”退到“almost everywhere”，物理学界也不能幻想“theory of everything”吧。记得家树兄的susy物理学笔记中有这么一句经典台词：物理理论是一个无法用模型覆盖的理论流形。果然。【灵虚以思，还需切实以行。抽象的东西容易纸上谈兵。】另外，就理论本身而言，彼此也是相通的。例如，拓扑空间中的一些核心概念，像开集、闭集、内部、边界、聚点、覆盖等，在度量空间（测度论）中也要考虑。呵呵，在地愿为连理枝，毕竟，我们“根，紧握在地下”我们都是在集合论这片土地上生长起来的。所以，我们应该刚柔互济你有你的可测函数，像积、像角、也像距；我有我连通的空间，像有界的闭集（紧致），又像连续的一一（同胚映射）。在你面前我常常让着你，有时将自己各部分分开一段距离放你进去，这样，你就得到了精神支柱（有限可加的条件）而获得生命力（定义外测度）。当然，我的分离不完全为了你，还为了我外孙女规范场（既然能量动量都是我姐姐时空平移对称群生成的，那么把数学当成物理的母函数不过分吧）。我先把自己分开一个超级大口子，以至于每一个点的开邻域都没有交集（即得到Hausdorff空间），然后分娩出遍历物理学各个角落的流形（局部同胚于n维欧式空间）。等她长大后，就变成了纤维丛，从而生成规范场（所以我是规范场的外祖母）。你遇到困难（如自旋、AB效应等）常常求助于我，我总是乐于把我的致命武器“连通性”借给你。我是这么珍爱自己这件宝贝，以至于不愿意“遗传”给自己的儿子（子集）。不过有时也拒绝你，比如你想去类空间隔，我怕你去了之后变成虚数，就用另一件武器“紧致性”把超光速的希望变成地平线，就算看得见也永远走不到。尽管我能七十二变（同伦、同调），但有时也求助你。比如钻进无底洞Cantor三分集。这时你就用p进位表数法将（0,1）中的点表成二进位小数，就像“将（0,1）区间的点与（0，+）区间的点1-1对应起来”一样，将Cantor集合中的点和（0,1）区间也1-1对应起来。有时，我不小心钻进谢尔宾斯基海绵，这时你也无能为力，我就去找我弟分形几何。我期望“弟子不必不如师”的喜剧在我身上重演。目前我最发愁的就是我的徒子徒孙们（四种基本相互作用）总是吵架，希望有一天它们能统一。当然，前面已经说过，数学是物理的母函数，那么没学过我的武功的“民科”们就不要瞎掺合了。必须牢记牛魔王的遗训：如果说我看得更远，那是因为站在巨人的肩膀上。【这首诗太有趣了，而且内涵深刻，刻画了概念的演变过程。】期待物理学家们能像Klein用变换群统一几何学一样，也提出一个物理学的Erlangen纲领。可能这个纲领也是变换群，比如SU(3)SU(2)U(1)（当然也未必用直积，虽然直积能够构造更大的对称，如SU(5)等）；或者跟变换群无关，而是扭结之类的。参考文献：1熊金城，点集拓扑讲义，高等教育出版社2江泽坚，实变函数论，高等教育出版社3葛显良，应用泛函分析，浙江大学出版社 4A.W.约什，物理学中的群论基础，科学出版社5侯伯宇、侯伯元，物理学家用微分几何，科学出版社6梅向明，高等几何，高等教育出版社 7张贤科、许甫华，高等代数学，清华大学出版社 8陈纪修.等，数学分析（下），高等教育出版社9梅向明，黄敬之，微分几何，高等教育出版社致谢：感谢三位老师：数学系的金燕生老师（高等代数）、信息学院的邢光龙老师（群论）、物理系的吴一东老师（数学物理方法、量子力学）；感谢四位学长：文中部分思想引自尤亦庄学长的邮件；用数学研究物理的想法主要受牛家树、潘逸文和李靖阳学长熏陶；感谢数学系的朋友王新杰、赵春晖给了我走进抽象世界的勇气，尤其春晖，他初中和高中痴迷数学的经历一直激励着我。当然还有其他朋友需要感谢，不一一列举了。抽象代数不抽象说起代数，大家并不陌生。当年念中学时就见过，也不抽象，不就是用字母代替数字来做事情嘛！开始时,那些英文字母a,b,c和x,y,z,看起来有点别扭，可用习惯了，还挺亲切的呢。到了大学，学了高等代数和近世代数，才知道，天还很大，地也很阔。原来在中学里可以运算的东西，在很多对象上也能进行；【只要满足运算规则就行，不需要关心具体对象是什么，抓住本质】挺有趣的。在代数学中,常常是将这些共同的性质，抽象出来，作为公理和定律的。比如，2乘3等于3乘2，用字母来写就是ab=ba,在近世代数里叫它为“交换律”。满足交换律的代数对象，身边的就有不少；不过，还有好多其他的规律呢,挺好玩的。想要知道更多、更有趣的东西,那就得再学点抽象代数、等等。【任何抽象的东西都是有实际的数学、物理、工程背景的】抽象代数不抽象，这是为何？首先，“抽象”的意思并不是通常人们所理解的抽象，即“具体”的反义词。其实这里的抽象代表的是将研究对象的本质抽炼出来，加以高度概括，来描述其形象。举个例子来说吧，整数有很多性质，其中这整数的带余除法大家都知道：两个整数a和b，如果b不为零，一定有一个整数q和一个非负整数r使得a=qb+r,其中0r|b|.可当你学了实数域上的多项式后，你会发现，这个规则，对于多项式也是对的。于是，人们为了将这样一大类的研究对象来统一处理，就引入了“欧氏环”这个概念，并将上面的这一条作为它的公理。这样一来，你就可以象在整数环上一样，做欧氏环的除法、因子分解,等等。许多的定理和结论，你也不必分别对整数、多项式等来一一验证，只要能知道它是欧氏环，那么相应的结论都对，真是省力又省时。再如，你知道，怎样从整数来做分数，这个办法在抽象代数里，通过提取最核心的东西，可以在任意的交换环上来做，即也有“分数”这个概念。这两个简单的例子说明，抽象代数也是具体的，并非不可琢磨。相反，这“抽象”概括的能力却是人人应该具备的。【抽象代数的好处，给了几个例子。】可不是嘛!当你求职面试或做其它事务时,可能要面对一大堆的信息和资料,你无法全都记住它们。也许,你会用现代的掌上电子设备将所有信息保存下来,但你总不能当着老板的面,拿出微型电子笔记本,边看边谈话吧!所以,你就得抽象概括这些信息的要害,总结出几条。只要掌握住这几条,其它的就可以临场发挥了。从抽象代数的角度来看,就是说，你得抽象出“公理”，以此为基点，进行运作。这就是通常人们所说的，你得有会抓住主要问题的能力。【抓住本质也就是抓住那几条公理，其余都可以由此推导出来】如果你上研究生,读更深的抽象代数,你会发现,许多的概念都来自现实生活,一个典型的例子就是“路代数”,它极其形象地表示出了一类代数的“象”。关于这个例子的细节，大家可以查看有关表示论的普通书籍。而且抽象代数，它把许多问题都纳入一个大的框架，进行统筹安排、统一处理；不是一个问题，一个方案，而是一类问题一个方案。这种思维方式，也许，对于今后要做企业的高层管理者来说，更为需要，因为在有限的时间里，你是无法对每一个具体的事情都来设计一个方案的。【需要普适性，每件事弄一个太费时费力了，利用到生活中】但是，要学好抽象代数，你别以为就象读报看杂志一样，它毕竟是一门数学课程，你得花点力气！首先，要概念清楚，其次，要掌握一些典型的具体例子，第三，也是最重要的，就是要多思考，多联想，达到理解。更深的一步是，你得学着用它来做点事情。（在这里，解说一下，为什么要学习一些例子，一般说来，你是无法一下子完全理解所学的东西的。通过学习一个典型的例子，来帮助你了解、体会和理解所学的东西的含义和它的实质。这就象一个高层管理者“无法对每一个具体的事情都来设计一个方案”一样，而是通过处理一、两个个案来推动整个企业在这一方向上的发展。）【抽象代数学习方法：清楚概念，掌握具体例子、多思考联想联系到理解、应用。例子和理论是相辅相成的。】相信你自己，学习抽象代数没商量！抽象代数的人间烟火李尚志北京航空航天大学 数学与系统科学学院 北京, 100191摘 要抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。【抽象代数入门：懂定义、知例子、会计算、能解决问题】关键词：抽象代数，精彩案例某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。我问她哪门课程学得最好。答曰“抽象代数”。不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。让她举一个非交换群。举不出来。举一个有限域，举不出来。我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。【学习一个概念后需要记几个典型的例子】如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%-20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。现有的抽象代数教材，不是没有例子。这些例子本来就很精彩。三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。要讲清楚，课时也不够。只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。考试也不考用知识解决问题，只考背定义。抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。金庸的武侠小说射雕英雄传中的武功秘籍九阴真经中有一段用梵文写的话：“努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔。”只要认识字，小学生也可以化功夫死记硬背下来，但是根本不懂它的意思，更不可能照着去练习，难道就因为背熟了这些句子就成了武功高手吗？显然不是。同样，死记硬背抽象代数教材中的定义而根本不懂它的意思，举不出一个例子，不会用来解决任何一个问题，这样学习的抽象代数就是假冒的，通通都应当给零分！这些年来，我们在抽象代数课程建设中所做的全部努力，就是要破除这种“就是没有例子”的假抽象代数。我们取得的主要成绩，就是积累了一批既能体现数学本质、又为学生喜欢的案例。下面是其中的一部分案例。【抽象代数的应用】1. 幻方一变八-正方形的对称群我在抽象代数考试中考过这样的题：将如下的3阶幻方通过旋转和轴对称变出尽可能多的不同的幻方。【旋转和轴对称就构成了对称群，各种代数概念自然引入】294753618这不是考小学奥数。而是考正方形的对称群：旋转90o,180o,270o得到3个新的幻方，关于第2行、第2列、两条对角线做轴对称得到4个新的幻方，包括原来的幻方在内一共可以得到8个。为什么只能得到8个而不能得到更多? 通过旋转和轴对称只能将左上角的2变到4个不同的位置(正方形的4个角)。将2固定在每个角不动，只能通过轴对称得到2个不同的幻方，4组总共24=8 个。这实际上是说：将正方形变到与自己重合，有8个不同的动作。这8个动作组成的集合对乘法(复合)与求逆运算封闭，组成一个群。其中保持2不动的动作组成一个2阶子群，将2变到同一个位置的动作组成一个陪集。非交换群、子群与陪集、子群的元素个数2是整个群的元素个数8的因子。这些概念和知识都自然而然引入了。类似地，可以计算正方体的对称群或者旋转群的元素个数，或者任意正多边形和正多面体的对称群的元素个数。特别，正三角形的对称群由三个顶点的所有置换组成，就是元素最少的非交换群S3。20与1的算术-二元域（只关心奇偶性）许多人说有限域是抽象代数最后一节课讲的，最难，没学好情有可原，考试也不应当考。其实有限域最容易讲，最有趣，最有用，最有抽象代数味道，可以在抽象代数课第一节课第一分钟讲。我的抽象代数考试每次必考有限域。 小学生都懂得奇偶数的运算规律：偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+奇=偶; 偶整数=偶，奇奇=奇。将偶数用0表示，奇数用1表示，就得到：0+0=0, 0+1=1, 1+1=0; 0a=0 (a=0或1),11=1。按这样的运算公式，两个元素0,1组成的集合Z2就对加、减、乘、除封闭，Z2就是二元域，最简单的有限域。我的导师曾肯成教授出过一个题：求随机整数组成的n阶行列式为奇数和偶数的概率。貌似概率题，其实是代数题。将行列式中的偶数用0表示，奇数用1表示，行列式为奇数(也就是等于1)就是二元域上可逆矩阵，充分必要条件就是各行线性无关。归结为二元域上的线性代数题。另一个例子是：在二元域上解齐次线性方程组，得到纠错码的一个设计方案。二元域在信息与计算机科学中至关重要。会算1+1=0，就懂了一点真正的抽象代数。为什么两个整数a,b的和、差、积的奇偶性只与a,b的奇偶性有关而与奇数与偶数的不同取值无关？将a,b分别用它们除以2的余数r,s代表（r,s取值为0或1），写成a=r+偶，b=s+偶的形式，则ab=(r+偶)(s+偶)=(rs)+(偶偶)，ab=(r+偶)(s+偶)= rs+r偶+偶s+偶偶。不论其中的“偶”取什么偶数值，总有：偶偶=偶，偶整数=偶，就好象00=0, 0数=0一样。可以将算式中的“偶”看作0来运算，得到ab = (rs)+偶，ab = rs+偶。也就是说：将a,b 替换成与它们奇偶性相同的0或1进行运算，得到的和、差、积的奇偶性不变。这件事可以推广：a,b取值的整数集合Z替换成对合法的加法与乘法封闭的任意集合D，称为环; 偶数集合替换成D中具有类似于0的运算性质OO=O，DO=O的子集O，称为理想。D中两个元素a,b的差如果在O中，就将a,b“看成”同一类，得到的同余类组成的集合可以定义加、减、乘运算，这就是商环D/O。特别，当D=Z，O=nZ时，商环D/O 就是整数模n的同余类环Z n 。另一个重要例子：D是在某点c连续的全体全体实函数f(x)组成的环，记Dx=xc，O(Dx)与o(Dx)分别是当Dx0时的无穷小量和高阶无穷小量组成的集合，则O(Dx)与o(Dx)都是D的理想，同余式f(x)a (mod O(Dx)表示当 xc时f(x)的极限是a，而f(x)a+bDx (mod o(Dx) 表示b是f(x)在c的导数。3从凯撒密码谈起-整数的同余类。密码的重要性不容置疑，神秘性也令人向往。最早的一种简单密码是凯撒设计的，加密方案是将每个英文字母用它后面第3个字母代替。将26个字母依次用整数模26的各个同余类表示，凯撒密码的加密就可以用最简单的加法函数y = x+3 表示，解密函数为x = y3。更进一步，可以用Z26上的一次函数y=ax+b加密，其中a可逆，称为仿射密码。例如39 =1就说明9=3-1，加密函数y=3x+5的解密函数就是 x=9(y-5)。Z26中的乘法可逆元组成乘法群Z26*，由与26互素的整数所在的同余类组成。更进一步，可以将若干个字母对应的同余类组成列向量X，用矩阵运算Y=AX+B来加密，其中A的行列式在Z26*中。也可以将信息写成二元域Z2上的列向量，用Z2上的矩阵运算Y=AX+B加密。更一般地，讨论Zn的乘法群Zn*。特别，当n为素数p时，Zp中的p-1个非零元都可逆，组成乘法群Zp*。Zp是有限域，Zp*中的元素都可以写成一个元素的幂，Zp*是循环群。在另一种情形，n = pq是两个素数p,q的乘积，为了讨论Zn及其乘法群Zn*的构造，将每个整数a除以p,q各得到一个余数r,s，将a对应到“坐标”(r,s)，就建立了环同态 ZZpZq ，进而得到环同构 ZnZpZq，这就引出了中国剩余定理，环同态基本定理，环的直积。进而可以讨论Zn上的幂函数y=xm 是可逆变换的条件，得到RSA公钥密码。4复数的几何模型- 同构、同态与单位根群中学数学强行定义i2=1，不解释这种定义的合理性。其实，很容易给出i2 =1的一个几何解释：1乘向量是向后转180度; 用i表示向左转90度, 则i2就是向后转180度，就是1。这其实是将虚数单位i用“左转90度”的线性变求逆运算，是复数域C与它的几何版本(由线性变换组成)和矩阵版本(由矩阵组成)之间的环同构、域同构。【复数域C与它的几何版本(由线性变换组成)和矩阵版本(由矩阵组成)之间的环同构、域同构，这很精彩啊！】在这个同构下，复数cosa + i sina 对应的变换是旋转角a, 其 n次幂就是旋转na, 由此立即得到 (cosa + i sina ) n = cos na + i sin na (棣美弗公式)及其矩阵版本。由旋转角a到复数cosa+isina 的对应关系f具有性质f(a+b) = f(a)f(b)，将实数的加法对应到复数的乘法，这说明加法与乘法本质上是一回事（都满足结合律与交换律，加法的0对应于乘法的1，加法的负元对应于乘法的逆元），对加减法封闭的与对乘除法封闭的集合同样都称为群。以上对应关系f是实数加法群R到表示旋转的(模为1)的复数乘法群P的同态，同态核为2p的全体整倍数2pZ。将相差2p 的整倍数的角a对应于同一个复数f(a)。将相差2p 的整倍数的角a看成相等，组成一个同余类，得到同余类集合R/2pZ到P的1-1对应s 并且保持运算(将加法变到乘法)，s 是群同构R/2pZP。这就是群同态基本定理。既然群同态f将2p 的整数倍2kp 对应到1，求1的n次方根也就相当于将2kp 除以n，得到的方根为f(2kp/n) = cos(2kp/n)+isin(2kp/n)= wk ，让k取遍n个值0,1,2,n-1就得到n个不同的方根，称为n次单位根，它们都可以写成其中一个根 w = cos(2p/n)+isin(2p/n) 的整数次幂，其几何意义就是旋转2kp 的n分之一。对应关系 f ：k wk 是整数加群到单位根乘法群的同态，同态核由n的全体整数倍组成。让相差n的整倍数的整数组成一个同余类，得到同余类 Z n的加法群到单位根乘法群的同构，这是群同态基本定理又一个例子。5. x15-1在有理数范围内的因式分解x151在复数范围内分解为一次因子的乘积(x1)(xw)(xw n-1 )，每个一次因子xwk对应于一个15次单位根wk，每个wk 的在乘法群中的阶d都是15的因子，共有4个不同的值1,3,5,15。将15个根按阶的不同值分成4类，以阶是d的单位根为根的一次因子的乘积记为Fd(x)，称为分圆多项式，分别等于F1(x) = x1，F3(x) =(x31)/(x1)=x2+x+1，F5(x) = (x51)/(x1)= x4+x3+x2+x+1，F15(x)=(x15-1)/ F1(x) /F3(x)/ F5(x) = x8-x7+x5-x4+x3-x+1，都是有理整系数多项式。x151分解为这4个有理系数因式的乘积。6无限循环小数- p元域乘法群中的元素的阶分数化小数，得到的无限小数为什么一定循环？循环节的长度有何规律？这是小学算术中的问题。其中的奥妙却需要抽象代数来解释。怎样描述小数的循环性质？例如，无限循环小数a=0.090909以09为循环节，这可以描述为：将a的小数点往右移动两位得到的102a=9.0909与a的小数部分相同，差102aa=09为整数，并且就是循环节。一般地，要使既约分数m/n 化成的小数a是纯循环小数，只要存在正整数d使10da-a=(10d -1)m/n是整数，也就是10d =1在同余类环Zn中成立。当n与10互素时10是Zn中的可逆元，满足条件的最小正整数d就是10在Zn的乘法群中的阶，必然是f(n)的因子。当n为素数p时f(p)=p1，m/p的循环节长度是p1的因子。如果n与10不互素，则有足够大的正整数k使10km/n约分后得到的最简分数m1/n1数的分母与10互素，化成的无限小数10ka的小数部分是纯循环小数，a=m/n由这个循环小数的小数点往左移动k位之后得到，是混循环小数。以真分数m/7为例。10的1,2,6次幂被7除的余数依次为3,2,6,4,5,1，说明10在乘法群Z7*中的阶为6，由m/7 展开的小数的循环节为 (1061)m/7=142857m，是142857的m倍(m=1,2,6)。D=142857是1/7的小数展开式a=0.142857的循环节。对正整数k=1,2,5，将D=142857的前k位移到末尾得到的6位数Dk就是10kaqk =10k/7qk = rk / 7的循环节，等于D=142857的rk倍，其中qk,rk分别是10k被7除的商和余数。当k=1,2,5时rk依次为3,2,6,4,5，因此将142857的前k位移到末尾依次得到142857的3,2,6,4,5倍。一般地，当n与10互素时，将1/n的循环节D的前若干位移到末尾得到的整数都是D的整倍数。如果n是素数p，且10是乘法群Zp*的生成元，阶是p1，则1/p的循环节D的2,3,p1倍都可以由D的前若干位移到末尾得到。p=7就是如此。试验发现p=17,19时也是如此，1/17与1/19的循环节0588235294117647,052631578947368421也有类似性质。1/7的循环节142857还有另外的神奇性质：将它平均分成两段的和142+857=999，平均分成3段之和14+28+57=99，全都由9组成！不难证明，这个性质可以推广到别的1/p 。抽象代数学习方法近世代数又称为抽象代数，最突出的特点是抽象，也是学习中的主要难点。相对分析而言，近世代数对论证和推导的技巧性要求不高。因此，在整个学习过程中，主要是要适应抽象思考和表述，为此都要特别注意抽象的代数结构的具体例子，以及随时归纳总结学过具体数学对象(例如高等代数中学过的数域、线性空间、对偶空间等)的代数结构。【抽象代数学习方法】下列几点可以在学习和复习时留意。1透彻理解运算的概念和性质。运算的性质是代数的核心，所谓代数结构就是定义了运算的某种集合。运算的定义很简单但有些抽象，就是集合与自身的直积到该集合的映射。运算性质中，最重要的应该是结合律，如果结合律不成立，多次运算的结果取决于运算的顺序，这种数学结构很少有实际意义。因此，结合律往往是近世代数中所研究运算必备的性质。交换律是种特殊的性质，并非普遍成立，知道矩阵乘法和变换复合的对此应该不陌生；但在学矩阵乘法之前，所有数字的运算都满足交换律，因此有先入为主的误解。分配律描述2种运算直接关系。运算的属性还包括特殊元素的存在性，特殊元素指与参与运算后但不改变结果的元素(零元或单位元)，以及与特定元素运算后结果为前述元素的元素(负元或逆元)；注意到交换律不成立时，前述元素有左、右之分。2把握住同构和同态。近世代数只关注代数结构，因此代数结构相同的数学对象，即与运算关联的性质相同，在近世代数中就不必加以区分。代数结构相同的确切描述就是同构，2个集合间保持运算的双射。更弱些，只保持运算的映射称为同态。所谓保持运算，是指先运算再求映射下的像与先求映射的像再运算结果相同。有些情形，同态满射本身也是个有用的概念。因为开始时掌握的代数结构比较少，难以理解同构的重要性。但学了群论就会知道，任何有限群与某个置换群同构，原则上只需要研究具体的置换群就可以得到所有抽象的有限群的性质。3对具体数学结构如群、环和域，注重它们的子结构。子结构的核心要求是运算的封闭性和特殊元的存在性。与子结构相关的还有等价分类和扩张等。这样，就能理解群论中的陪集和商群、环论中的理想和商环、域论中的扩域等。当年我对数学的肤浅理解，认为深刻就是抽象。因此比较喜欢形式化的东西。对抽象代数非常感兴趣，看的书多，做的题目也多。教材是用张禾瑞的近世代数基础。篇幅比较小，内容也不多，习题少而且不难，认真的学生很容易都做1遍。上课的是位学问很好的老先生，学校仅有的少数副教授之1。传说是曾肯成的学生。不过，我这种非常感兴趣的学生都难以欣赏老先生的学问，对其他人可能更是白讲了。我自己主要参考的是吴品三的近似代数。作者与张禾瑞先生都是北京师范大学的。我感觉该教材青出于蓝。最大的优点是例题习题组织的好，特别是习题，量比较大，而且有难度梯度。我记得习题基本都做了。如果非说缺点，就是启发性方面差些，引入许多结构，让人只知其然不知其所以然。另1本我挺喜欢的书是武汉大学熊全淹先生的近似代数。与前面2本纯粹的教材有些不同，有些像专著，因为该书每章有参考文献。虽然这些文献我1篇也没有看，但感觉还是很好。该书习题不多，但有些有答案或提示，比前2本教材更教材。该书内容比前2本也多些，但比较深的内容我都没有仔细看。国外最接近教材的是Jacobson的3卷本的第1册，用的是文革前的汉译本。后来也有修订版的影印本，但没有特别仔细看。老译本在教学法方面与张禾瑞的书接近，内容当然要多些。说实话，我并不是很欣赏，只是觉得例子所涉及的数学背景知识似乎稍多些。新版本BasicAlgebra1在习题方面有很大改进，到底作者是Yale的教授。我觉得是很好的入门书，但可惜当时我已经有比做习题更有意思的事情了。还翻过VanderWaerden的名著代数学。我买的版本还没有列入“数学名著译丛”。我对书的优劣似乎有本能的感觉，看到这本书，就感觉是本伟大的书。但读过前面些内容，感觉自己的数学成熟性还差些火候。就暂时没有下功夫攻读。在这种研究生层次上的代数教材还翻过2本。1本是俄国群论专家库洛什的一般代数学讲义，另1本是吉林大学谢邦杰先生的抽象代数学。前者面比较广，似乎不是很难。谢先生的书对我而言过于艰深，第1章有些集合论的内容如选择公理就把我难住了。我最喜欢的代数书是Birkhoff和MacLane的近世代数概论，人民教育出版社有分成上下册的汉译本。该书不是严格意义上的近世代数，只讨论群、环、域等抽象结构。是用抽象观点写的代数学，还包括数、多项式、线性空间、矩阵、变换、行列式、标准型等，基本上相当于国内的高等代数和近世代数。习题很多，有1300多道。多数不是很难。我曾想把题目都解1遍，本子都准备好了，但还是没有做。很长时间，我都把该书当成某种枕中秘籍，有空就看看。似乎还看过盗版的影印英文版。近年也出了合法的影印本，我也买了本。这样本给过带来快乐的书，更不用说2位大师级的作者，应该有这样的礼遇。只是，该书明明只是【各种好的代数教材】第4版，国内版本悍然宣称是第5版。附：数学专业参考书整理推荐5：代数2近世代数：不光是数学系最重要的几门课，而且在计算机方面有很多应用，通常的离散数学第二部分就是近世代数内容，也叫抽象代数。1近世代数引论冯克勤2近世代数熊全淹3代数学莫宗坚4代数学引论聂灵沼5近世代数盛德成近世代数概论前言“我们始终力求表达各种常用的定义的构思背景。为此，我们尽可能用较多的熟悉的例子说明每个新术语。这在基础教材里特别重要，因为它可以说明一切抽象概念都来源于对具体情况的分析。【实际背景】“为了提高学生按照新概念独立思考的能力，每个课题里我们都编入广泛多样的习题。这些习题中，一些用来计算，一些用来进一步寻找新概念的例子，另一些给出附加的理论推导，后一种类型的习题对于学生熟悉正式证明的结构有重要的作用。习题的选择使授课教师可根据情况取舍，以适应大学本科生或一年级研究生不同程度的需要。【习题】“近世代数也能够重新解释古典代数的结果，使它们具有更大的统一性和一般性。因此，我们并不省略这些结果，而努力把它们系统地编入近世代数的范围内。【古典代数统一到现代代数】近世代数学习方法“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。一、通过例子来加深对基本理论的理解针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。二、通过变换角度来寻求问题的解法通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简