数列求和222222 Microsoft Word 文档.doc

数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n项和.解：由 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） 1练习设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 练习： 求之和.练习：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例2 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设. （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 练习已知数列，求前n项和。练习： 求数列前n项的和.三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例3 求的值解：设. 将式右边反序得 . （反序） 又因为 +得 （反序相加）89 S44.5练习1：求的和: 练习2：已知求四、裂项法求和裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 常用技巧有：； ； 例4 求数列的前n项和.解：设 则 例5 求证：解：设 原等式成立 练习： 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.练习;.求和 五、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例6 求数列的前n项和：，解：设 当a1时， 当时，练习： 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和. 练习：求数列，的前项和练习：求前n项和六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例7 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 0练习： 在各项均为正数的等比数列中，若的值.练习：S=1-3+5-7+9-+(-1)(2n-1)=_练习：求七、分组数列求和例8求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前n项和练习：求数列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19，前n项和八、其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等例9已知数列。思路分析：，通过分组，对n分奇偶讨论求和。解：，若若例10已知数列的通项，求其前项和解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， ，所以，高考在线1在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公