高考数学 (24).ppt

第六十二讲数系的扩充与复数的引入 走进高考第一关基础关 教材回归 1 复数的有关概念 1 形如 的数叫做复数 其中 和 都是实数 其中 叫做复数z的实部 叫做复数z的虚部 对于复数a bi a b R当且仅当 时 它是实数 当 时 叫做虚数 当 时 叫做纯虚数 a bi a b a b b 0 b 0 a 0且b 0 2 复数的相等即如果a b c d都是实数 那么a bi c di 且 a bi 0 a c b d a 0且b 0 注意 1 如果两个复数都是实数 则可以比较大小 否则 不能比较大小 2 复数相等的条件是把虚数问题转化为实数问题的重要依据 是虚数问题实数化这一重要数学思想方法的体现 2 复平面的概念建立 来表示复数的平面 叫做复平面 x轴叫做 y轴叫做 实轴上的点都表示 除 外 虚轴上的点都表示 各象限内的点都表示 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 的 复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是 的 直角坐标系 实轴 虚轴 实数 原点 纯虚数 虚数 一一对应 一一对应 3 共轭复数概念当两个复数的实部 虚部 时 这两个复数叫做互为共轭复数 复数z的共轭复数用z TX 表示 即z a bi 则z TX a b R 相等 互为相反数 a bi 注意 1 实数a的共轭复数仍是a本身 即z z z R 2 z a bi与z a bi a b R 互为共轭复数 则z z 2a z z 2bi z z z z z 2 z 2 4 复数的加法与减法 1 复数的加减法运算法则 a bi c di 2 复数加法的运算定律复数的加法满足 即对任何z1 z2 z3 C 有z1 z2 z1 z2 z3 a c b d i 交换律 结合律 z2 z1 z1 z2 z3 3 复数加 减法的几何意义 复数加法的几何意义若复数z1 z2对应的向量不共线 则复数z1 z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义复数z1 z2是连结向量的终点 并指向被减数向量所对应的复数 5 复数的乘法与除法设z1 a bi z2 c di 1 复数的乘法运算法则z1z2 a bi c di 交换律z1 z2 结合律 z1 z2 z3 分配律z1 z2 z3 ac bd bc ad i z1z2 z1z3 z1 z2 z3 z2 z1 2 复数的除法运算法则 a bi c di c di 0 注意 特殊复数及其运算 1 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i n N 2 记 考点陪练 1 i i3 i5 i33的值是 A iB iC 1D 1 解析 原式 答案 A 2 复数z a2 2a a2 a 2 i对应点在虚轴上 则 A a 2且a 1B a 2且a 1C a 2或a 0D a 0 解析 根据条件得a2 2a 0且a2 a 2 0 解得a 0 答案 D 3 设复数z 3i 2 则1 z A 1 3iB 1 3iC 3 3iD 3 3i 解析 由z 3i 2 得z 3i 2 则1 z 1 3i 2 1 3i 答案 A 4 设 则 A 4 4iB 4 4iC 4 4iD 4 4i 解析 答案 C 5 若复数 a R i为虚数单位 是纯虚数 则复数 1 z 3的虚部为 A 18B 13C 18D 13 解读高考第二关热点关一 复数的概念解题准备 处理有关复数基本概念的问题 关键是掌握复数的相关概念 找准复数的实部与虚部 即实部和虚部必须是实数 从定义出发解决问题 本题考查复数集的分类及复数的几何意义 用标准的代数形式 因为容易确定其实部与虚部 若不然 则应先化为代数形式后再依据概念求解 典例1已知复数z m2 1 i m 3 i 6i 则当m为何实数时 复数z是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 5 对应点在第三象限 分析 复数z a bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值 评析 利用复数的有关概念求解 使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法 也是化归思想的重要表现 探究1 求适合等式 2x 1 i y y 3 i的值 其中x R y是纯虚数 解 x R y是纯虚数 可设x a y bi a b R且b 0 代入等式得 2a 1 i bi bi 3 i 即2a 1 i b b 3 i 2a 1 b 1 b 3 解得ab 4 x 类型二 复数的相等 解题准备 1 两个复数z1 a bi a b R z2 c di c d R 当且仅当a c且b d时 z1 z2 特别地 当且仅当a b 0时 a bi 0 即两复数相等 其实部与实部 虚部与虚部分别相等 2 两个实数可以比较大小 但是两个复数 如果不全是实数 它们之间就不能比较大小 只能说相等或不相等 3 复数相等的重要条件提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径 典例2设存在复数z同时满足下列条件 1 复数z在复平面内对应的点位于第二象限 2 zz 2iz 8 ai a R 试求a的取值范围 解 设z x yi x y R 则 x yi 由 1 知x0 又z 2iz 8 ai a R 故 x yi x yi 2i x yi 8 ai 即 x 2 y 2 2y 2xi 8 ai x 2 y 2 2y 82x a 即4 y 1 2 36 a 2 y 0 4 y 1 2 0 36 a 2 0 即a 2 36 6 a 6 又2x a 而x 0 a 0 故 6 a 0 a的取值范围为 6 0 评析 1 复数相等当且仅当复数的实部与虚部分别相等 利用这一性质可以解决以下问题 解复数方程 方程有解时系数的值 求轨迹方程 2 复数问题实数化是复数问题的最基本也是最重要的思想方法 其转化的依据就是复数相等的充要条件 基本思路是 设出复数的代数形式z x yi x y R 由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组 从而可以确定两个独立的基本量 探究2 已知集合M a 3 b2 1 i 8 集合N 3i a2 1 b 2 i 同时满足M N M M N 求整数a b 解 依题意得 a 3 b2 1 i 3i 或8 a2 1 b 2 i 由 得a 3 b 2 经检验 a 3 b 2不合题意 舍去 a 3 b 2 由 得a 3 b 2 又a 3 b 2不合题意 a 3 b 2 综合 得a 3 b 2 或a 3 b 2 评析 由M N M M N 可判断集合M和N中恰好有一个相同的元素 从而列出复数方程求解 1 此题中复数之间的等量关系并未直接给出 而是通过集合之间的关系间接给出 因此复习时应注意知识之间的相互联系 应注意加强思维的广阔性和严谨性的训练 2 a bi c di a c b d 这是解复数方程的基本依据 类型三 复数代数形式的运算 解题准备 1 复数代数运算的实质是转化为实数运算 在转化时常用的知识有复数相等 复数的加 减 乘 除运算法则 模的性质 共轭复数的性质 2 一些常用的结论 典例3计算 分析 熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和 1 i 2 2ii等运算结果 能使运算更加简捷 评析 复数除法一般是将分母实数化 即分子分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简 评析 复数的四则运算类似于多项式的四则运算 此时含有虚数单位i的看作一类同类项 不含i的看作另一类同类项 分别合并即可 但要注意把i的幂写成最简单的形式 化简的依据是i的周期性 即i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i n R 复数的代数形式运算 基本思路是直接用法则运算 但有时如果能用上特殊复数i或 的一些性质以及一些常见的结论 如 1 i 2 2i 1 i 2 2ib ai i a bi 可更有效地简化运算 提高计算速度 笑对高考第三关成熟关名师纠错误区一 分类不当 考虑不全致误典例1已知AD是 ABC的BC边上的高 若AD2 BD CD 则 ABC的形状是 剖析 我们知道 在直角三角形中 斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项 反之 因三角形的一边上的高可能在三角形外 因此 原定理的逆命题是不成立的 即题中 ABC不一定是直角三角形 评析 在几何图形中 分类讨论的数学思想是一种重要的思想方法 例如本题的三角形之高可能在三角形内或三角形外 又如直角三角形的直角顶点是哪一点 等腰三角形的腰是哪两边 相似三角形的对应顶点是什么 诸如此类 必须分类讨论 变式1 在 ABC中 已知CM是 ACB的平分线 AMC的外接圆交BC于点N 若 求证 BN 2AM 误区二 不可逆定理逆用致误典例2如图所示 两上不不等的圆交于P Q两点 AB与CD为它们的两条外公切线 求证 AC PQ BD 剖析 原命题成立 其逆命题不一定成立 平行线分线段成比例的逆命题不成立 如延长QP与AB交于E 延长PQ与CD交于F 由切割线定理 得EA2 EP EQ EB2 EA EB 同理FC FD AC EF BD 平行线分线段成比例定理的逆定理 即AC PQ BD 这样的证明是错误的 评析 在四种命题的关系中存在下述结论 原命题为真 它的逆命题不一定为真 原命题为真 它的否命题不一定为真 原命题为真 它的逆否命题一定为真 因此 在所有证明题中 必须正确理解定理的内涵与外延 对于它的逆命题 不能随心所欲地使用 应先判断它的真假性 再利用 当然 因为互为逆否命题同真同假 所以一个定理的逆否命题可以直接使用 变式2 如图所示 四边形ABCD内接于 O AB AD 过A点的切线交CB的延长线于E点 求证 AB2 BE CD 解题策略几何证明中思想方法 1 分类思想方法所谓分类思想方法 就是依据一定的标准 按照既不重复也不遗漏的原则 将所要研究的对象划分为若干类别 然后通过对每一类别的研究去达到对事物整体研究的目的 譬如 按角的关系分类 可以将三角形分为钝角三角形 直角三角形和锐角三角形 每种类型的三角形有自身的一些特性 如果不作分类讨论 那么就很难找出这些特性 另一方面 对一些问题的讨论 必须通过分类才能穷尽各个方面 使得到的结论具有一般性 要结合圆周角定理 四点共圆判定定理和弦切角定理的证明 认为对分类思想方法加以体会 2 运动变化思想在本讲中 我们充分展示了运动变化思想 具体体现为图形的运动变化 几何中的许多问题源于相同的模型 尽管图形中某些要素的位置关系有差异 但其本质是相同的 要结合相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理之间的关系领悟运动变化思想在数学探究中的作用 3 猜想与证明数学中的许多定理都是先对一定的典型事例进行观察 实验 类比和归纳后 发现一定的规律性 并提出一个猜想 然后再对猜想的严格证明得来的 猜想和证明既是数学研究的常用方法 同时又是训练思维的两种重要工具 快速解题典例 检验法 基础题 易 如右图 在 ABC中 AD是高 ABC的外接圆直径AE交BC边于点G 有下列四个结论 AD2 BD CD BE2 EG AE AE AD AB AC AG EG BG CG 其中正确结论的个数是 课时作业六十二数系的扩充与复数的引入 一 选择题 1 基础题 易 复数z1 3 i z2 1 i 则z z1 z2在复平面内的对应点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解析 z z1 z2 3 i 1 i 4 2i 对应点 4 2 是第四象限内的点 答案 D 2 基础题 易 已知0 a 2 复数z a i i是虚数单位 则 z 的取值范围是 答案 B 3 基础题 易 设z的共轭复数等于 A iB iC 1D i 答案 D 4 基础题 易 已知复数z 1 i 则 A 2B 2C 2iD 2i 答案 A 5 基础题 易 设a b R 且b 0 若复数 a bi 3是实数 则 A b2 3a2B a2 3b2C b2 9a2D a2 9b2 答案 A 解析 展开括号 a bi 3 a3 3ab2 3a2b b3 i是实数 则3a2 b2 6 创新题 中 若给出下列命题 uv 1 u 3 v 3 2 v u2 其中不正确的命题有 A 0个B 1个C 2个D 3个 答案 B 二 填空题7 基础题 易 设复数z1 2 i z2 1 3i 则复数的虚部等于 1 8 运算题 中 设x y为实数 且则x y 4 9 2010 泰安市高三期末考试题 能力题 中 已知复数z1 m 2i z2 3 4i 若为实数 则实数m 三 解答题10 能力题 中 已知复数z 1 i 求实数a b 使得az 2b a 2z 2 分析 充分利用共轭复数的性质 复数相等的充要条件即可解出 在求解过程中 整体代入可获得简捷明快 别具一格的解法 11 2009 南京 基础题 易 已知z 1 2i 1 设 z3 2z2 z 1 求 2 如果求实数a b的值 解 将z 1 2i代入进行运算即可 1 解法一 1 2i 3 2 1 2i 2 1 2i 1 1 2i 2 1 2i 2 1 4i 4i2 2 2i 3 4i 1 2i 4 10i 11 2i 4 10i 15 8i 解法二 1 2i 3 2 1 2i 2 1 2i 1 13 3 12 2i 3 1 2i 2 2i 3 2 3 4i 2 2i 15 8i 评析 1 复数代数形式的四则运算是新教材高考中 尽管难度