第一部分 2 固体弹性力学的基本理论.ppt

1 本章包括 应力分析应变分析应力与应变关系 弹性参数弹性弹性波的波动方程 Navier方程 纵波传播方程 横波传播方程 2固体弹性力学的基本理论 2 地震波可视为弹性波 弹性波在弹性介质中传播时 波经过的介质产生两种类型的变化 内部应力的重新分布 几何形态的改变 这些变化的大小及类型既与波自身的特性有关 又与地下地质体的弹性特性有关 因此 引入与介质弹性特性有关的固体弹性力学的基本理论是必要的 2固体弹性力学的基本理论 3 固体弹性力学理论研究的是外力和它引起的物体形变和体变之间的关系 如 液体在外力的作用下 只会引起大小变化 体变 不会产生形变 应力和应变则是描述外力和形变关系的最佳量 2固体弹性力学的基本理论 4 2 1应力分析 外力 体力和面力面力 通过物体接触面传递的力 也称作表面力 如水的压力体力 作用于物体内部所有质点的力 如重力 吸引力内力 应力应力 是在面力或体力作用下 物体内部假想面上单位面积上的一对大小相等 方向相反的力 是作用在该面上的力的大小的度量 2固体弹性力学的基本理论 5 2 1应力分析 2 1 1应力的概念弹性体受外力 震源 作用后会发生弹性形变 一方面这些外力在物体内部传递 另一方面在物体内部也会产生一种反抗形变的内力 以和外力想抗衡 最后达到平衡 这种抗衡的内力成为内应力 简称应力 应力定义为单位面积上所受的内力 应力并不是一个力 因为它的量纲不是力而是单位面积上的力 6 应力的方向与作用力的方向一致应力的大小 P 作用力 A 面积 或dP dA 当应力分布不均匀时 对应力概念其它方式的理解力的强度类似的表达 压强 密度 2 1应力分析 7 2 1应力分析 8 2 1 2应力的分解 当截面与应力方向不垂直时 作用在该斜截面上的合应力可分解为垂直于作用面的正应力和平行于作用面的剪应力特别注意 应力与作用面密切相关 A n A0 2 1应力分析 9 正应力 正应力亦称作直应力 以 或 n表示 正应力可以是压应力 也可以是张应力 正应力符号规定 压应力为正张应力为负与材料力学中的规定相反 10 剪应力 剪应力亦称作切应力 以 或 s表示 可分解为x和y方向的两个互相垂直的切应力分量 xn和 yn 剪应力符号规定 使物体沿逆时针方向旋转的剪应力为正使物体沿顺时针方向旋转的剪应力为负与材料力学中的规定相反 11 2 1 2应力的分解 2 1应力分析 12 过任一点O将存在无穷多个平面 每一个面都存在三个应力分量 无穷多个面则会有无穷多个应力分量 可以证明只有9个应力分量是独立的 其他的分量都可以通过这9个分量转换获得 13 主应力 弹性力学证明 平衡力系中 可以找到三个互相垂直的面 其上只有正应力 而没有剪应力 这种面称作主平面 或主应力面 其上的正应力称作主应力 最大主应力是空间一点上量值最大的正应力 一点的应力状态可以用三个主应力的大小和方向表示 依次为 xx yy zz 主应力的方向称作主应力轴方向或主方向 14 应力状态 三轴应力状态 三个主应力都不等于0当 xx yy zz时 为均压 称作静水压力或流体静压力 这种状态只引起物体体积变化 不改变其形状剪切应力 作用在 a b c 平面内的应力分量 有6个剪切力分量 xy yx zx xz yz zy 剪切应力还形成了力偶 力偶得大小为 力x力臂当物体处于无转动的静平衡状态时则有 ij ji上式为剪切应力成对定理 15 2 2应变分析 变形 物体内部质点在力的作用下的位移 使初始形状 方位 位置发生改变平移崎变 狭义变形 旋转体变应变 是变形程度 大小 的度量 2 2 1形变与应变 16 应变的概念 应变 当弹性体受到应力作用后 将发生体积和形状的变化 即应变 体积形变 指物体只发生体积变化而无形状变化的应变 它是受正应力作用的结果 形状形变 物体只发生形状的变化 它是剪切应力作用的结果 理论力学是研究物体的整体运动 弹性力学不仅要考虑物体的整体运动 而且要研究物体内部各质点的相对运动 相对运动是产生应变的必要条件 17 2 2 2应变度量线应变 e 18 2 2 2应变度量剪应变 tg 变形后偏离直角的量右行 顺时针 剪切为正 19 2 2 3均匀变形和非均匀变形根据物体内部应变状态是否变化划分为均匀变形和非均匀变形1 均匀变形 变形物体内各点应变特征相同 表现为 变形前直线仍为直线变形前平行线仍平行单位圆 椭圆可以用一点的变形代表整体变形特征 20 2 非均匀变形 各点应变特征不相同 表现为 变形前的直线变为非直线平行线变为非平行线圆变为非椭圆 C为不连续变形 非渐变的应变状态 21 2 非均匀变形 用物体内部变形单元体 应变椭圆 表示非均匀变形 褶皱 22 2 2 4应变分析一个点在所有方向上的无穷小伸长度就构成了该点的应变状态 研究应变时 必须假设形变是很小的 即满足以下假设条件 第一 假设位移为 则位移梯度值应满足第二 假设位移分量与物体在相同方向上的长度相比是很小的 23 设N为M邻近点 其向径为 受力后N点位移到 它的位移向量记为 N点对M点的相对位移是当两点十分靠近时 可用微分近似地代表该相对位移 1 M点附近的形变 M为物体内任意一点 在初始状态时其向径为 受力后位移到 称为M点的位移向量 记为 24 其分量形式是 如果记为则上式可写为式中矩阵 A 为位移梯度N点位移到N 由上图可知 1 1 25 2 M点的应变分析因为MN dr 则其长度为形变后 它相当于点经过位移到点 则它的长度为的相对伸长e可表达为 26 其中 式中是的方向余弦 记为 并令 27 1 5 28 通过计算化简 则得到M点在任意方向上的伸长度为为应变张量 它是由9个分量组成 也是一个对称张量 可由 1 5 式求出 29 3 应变分量的物理含义 1 正应变 取设取时 则 表示y和z方向无伸长度 只存在x轴方向上得伸长度 由式可求得同理可求得沿y和z轴上单位长度得伸长值 1 7 30 2 切应变 变形体不仅在三个坐标方向上有相对伸长 或压缩 而且还会产生旋转 即夹角也会发生变化 见下图 假设两个正交线元素MN和MP 受力后 相对位移分别是du1和du2 假设 dx MN dr1 dy MP dr2 MN MP的相对位移du1和du2对可由 1 1 式求出 31 注意 MN位移后不仅有x轴方向上的相对伸长 而且产生了旋转 即夹角变化 使y和z轴上也产生了形变 即使x轴方向上的伸长影响到y轴方向的压缩为和z轴方向为 MN平行于x轴 故dy dz 0 则du1的分量可表示为 同理MP的相对位移du2 MP平行于y轴 dx dz 0 则du2的两个分量可表示为 32 从上面的分析可知 1 受力变形后 互为垂直 变为不垂直 角度变化为 2 形变在x y z轴上都有相对伸长或压缩 3 假设形变很小时 则 也很小 可以近似看作 33 令 同理可推出 三维空间中 1 11 在三维空间中 分别代表任意两个坐标轴方向的剪切形变 为得一半 称为切应变 34 4 体应变 或体胀率 体胁变 假设初始体积为体积形变后的体积为则有定义体应变 体胀率 为 1 12 1 13 35 将 1 12 式和 1 13 式代入 由于 略去高次项 式中为哈密顿算子 36 因此 体应变可表示为上式说明了位移矢量的散度 即的三个分量在方向上的变化率 有正负之分 正代表了弹性体的膨胀 负则代表了压缩 变形体的位移可归纳为三种状态 平移 转动和纯形变 1 14 37 2 3应力和应变的关系 2 3 1应力和应变的关系方程前面分析了某一点处的应力和应变状态 但还未涉及到弹性体本身的特性 应变是应力产生的 应力和应变之间应该有一定的关系 找出这个关系 就可以反映出弹性体本身的物理特性 这个关系就是物态方程 它是从实验总结出来的规律 这个规律就是广义虎克定律 广义虎克定律说明 当固体在弹性极限内时 应力和应变成正比 即在弹性极限内 固体中任何一点的6个应力分量都与所对应的6个应变分量成线性函数 38 其数学表达式为 1 15 式中系数是弹性系数 它反映了介质的物理特性 1 15 式中共有36个未知的弹性系数 39 1927年勒夫证明 当弹性是应变的单值函数 线性函数 时 弹性系数 因此36个弹性系数可减少到21个 线性在地震上是具有非常重要的意义 弯曲的波前可近似地表示为平面波的线性叠加 反射波可近似地表示为各层反射的线性叠加 褶积模型 地震数据处理的许多方法 都用到了线性叠加原理 40 当固体是各向同性弹性介质时 勒夫进一步证明弹性系数可以减少到两个 拉梅系数和 即 则 1 15 式可变为 1 17 式 41 可把上式写成矩阵形式 42 将体应变代入上式中则得 1 18 式 该式式广义虎克定律得拉梅形式 1 18 43 2 3应力和应变的关系 2 3 2弹性系数 模量 分析当应力在弹性极限范围内 应力与应变成正比 其比例系数就是弹性系数 拉梅系数和 当固体是各向同性介质时 弹性系数可以减少到2个 它们就是拉梅系数 杨氏模量E 反映弹性体的抗压 拉 能力 E越大抗压能力越强 泊松比 反映弹性体横向拉伸 或压缩 对纵向拉伸 或压缩 的影响 泊松比越大 纵向压缩越小 负号表示纵 横向应变增量的方向是相反 1 19 1 20 44 45 剪切模量 阻止弹性体产生切应变的弹性系数 在切应力相同的条件下 越大则切应变越小压缩模量 体变系数 K 反映介质的耐压特性 K越大则体形变越小 1 21 1 22 1 23 46 对一个稳定的物体 上述的弹性系数都是正值 由 1 23 式可知当时 表示物体是不可压缩的 流体的为0 5 大多数岩石的为0 25 47 2 4弹性波传播方程 一 弹性波动方程的建立弹性动力学研究的是弹性体内质点的相对运动状态 因此 位移向量不仅是空间的函数 而且也是时间的函数 其内任一单元的运动状态应符合牛顿第二定律 弹性体运动微分方程 可将应力 应变和运动微分方程归纳为三组基本方程 1 应力 应变的关系方程 反映了物体受力后的弹性状态 也称物态方程 即 1 18 式 2 应变和位移的关系方程 反映了弹性体在空间的几何关系 即 1 9 式3 运动微分方程 反映了弹性体受外力作用后的运动状态 48 2 4弹性波传播方程 式中为单位质量介质所受体力F的三个分量 将上述三式化简 消去应力 应变分量 经整理后得出以位移分量表示的弹性力学方程 1 25 1 24 49 2 4弹性波传播方程 上式的矢量表达式为 式中是拉普拉斯算子 是体变系数 上式称为Navier方程 它代表了在均匀 各向同性介质中 用位移表示的弹性波传播方程 1 26 50 2 4弹性波传播方程 二 纵波 横波方程的分离1 纵波方程 只有体变 无形变 为无旋场 即弹性介质中到处都有对 1 26 取散度 且有整理得到 1 27 51 2 纵波方程 为无源场 即弹性介质中到处都有对 1 26 取旋度 由场论可知整理得到由亥姆霍兹的涡旋运动定理可知 任一个向量场 如果在定义域中有散度和旋度 则该向量场可以用一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋度场之和来表示 因此有 分别表示位移场的标量位和矢量位 统称位移位 则分别表示力场的标量位和矢量位 统称为力位 1 28 1 29 52 将上式分别代入 1 27 1 28 得上式是在外力作用下用位函数表示的弹性波动方程 也称达朗贝尔方程 为纵波传播速度 为横波传播速度 这个方程将震源特征和波的特征联系在一起进行研究 称为 波的激发问题 考虑到在地震勘探中外力作用的时间很短 经过一段时间后力位函数可视为零 若只研究弹性介质对波的特性 即为 波的传播问题 因此上述方程可以改写为齐次方程 1 30 1