概率论的基本概念.doc

第一章 概率论的基本概念概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。主要内容：基本名词、事件间的关系及其运算、概率及其性质、等可能概型及其计算、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、划分、独立性。（1）基本名词 随机试验，特点：l 可以在相同的条件下重复地进行l 每次试验的可能结果不止一个，并且事先能明确试验的所有可能的结果；l 进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现。 样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合记为S。样本空间的元素是由试验的目的所确定的。 随机事件或事件：基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件。（2）事件间的关系及运算交换律：结合律： 分配律： 德摩根律：（3）概率及其性质频率，事件发生的频繁程度；概率，表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数。重要性质：性质i 性质ii 若A1，A2，An是两两互不相容的事件，则有性质iii 若，则有 性质iv P（A）1性质V（逆事件的概率） 性质vi（加法公式） （4）等可能概型特点：l 样本空间只包含有限个元素。l 每个基本事件发生的可能性相同。计算公式：计算方法：l 乘法原理l 加法原理l 排列（管次序：有放回的选取nr、不放回选取n（n-1）（n-2）（n-r+1）=）l 组合（不管次序、不可重复：；有重复）。古典概率只需计算样本空间所含的基本事件总数和事件A所包含的基本事件数。这种计算大多涉及排列组合。古典概率的局限性：全部试验结果为有限个，且是等可能性的。（5）条件概率 P（B|A）=乘法定理： P（AB）= P（B | A）P（A）P（ABC）= P（C | AB）P（B | A）P（A） P（A1A2An）=P（An | A1A2An-1）P（An-1 | A1A2An-2）P（A2 | A1）P（A1）（6）全概率公式设B1，B2，Bn为S的一个划分，则P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn)（7）贝叶斯公式 P（Bi | A）=，i=1,2,n（8）划分特别当n=2，并将B1记为B，此时B2就是，全概率公式和贝叶斯公式分别为：P(A)=P(B | A)=.（9）相互独立 P（AB）=P（A）P（B）定理一 若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。反之亦然。定理二 A、B相互独立，则下列各对事件也相互独立。，如果满足等式：则称事件A，B，C相互独立。一般，设A1, A2，An是n（n2）个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，An相互独立。第二章 随机变量及其分布要掌握随机变量的统计规律，必须且只需知道：l X取的所有可能值；l X取每一个可能值的概率。主要内容：随机变量、离散型随机变量及其分布律（01）分布、伯努利试验、二项分布、泊松分布）、随机变量的分布函数、连续型随机变量、概率密度（均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布）、随机变量的函数的分布。（1） 随机变量l 为了研究随机现象的统计规律性，将随机试验的结果数量化。l 随机试验的结果大部分是可以数量化的。l 定义：设随机试验样本空间为S=e，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量。（2） 离散型随机变量及其分布律定义：若X可能的取值是有限个或可列多个。分布律的定义：PX=xk=Pk，k=1,2,满足如下两个条件： Pk0，k=1,2； （01）分布:PX=k=pk(1-p)1-k，k=0,1 (0P1)伯努利试验：试验E只有两个可能的结果：A及。n重伯努利试验：将E独立重复地进行n次。二项分布： PX=k=Pkqn-k， k=0,1,2,n记为Xb(n,p)。泊松分布：PX=k=记为X。（3） 随机变量的分布函数定义：F（x）= PXxl 若已知X的分布函数，就可知道X落在任一区间（x1,x2）上的概率。l 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。l 分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间（，x）上的概率。离散型随机变量X的分布函数为（4）连续型随机变量及其概率密度分布函数：F(x)= 概率密度： f (x)。概率密度f (x)具有以下性质： f (x)0. P x10（或恒有g(x)0），则Y=g (X)是连续型随机变量，其概率密度为： fY(y)= 0， 其它，=min (g是g (x) 的反函数。第三章 多维随机变量及其分布主要内容：二维随机变量（离散型和连续型）及其“分布函数”、联合分布律、边缘分布（离散型和连续型）、条件分布（离散型：条件分布律，连续型：条件概率密度、条件分布函数）、随机变量的独立性、两个随机变量的函数的分布。（1） 二维随机变量定义： S=e，设X=X（e）和Y=Y（e）是定义在S上的随机变量，向量（X,Y）叫做二维随机向量或二维随机变量。（X,Y）的性质不仅与X及Y有关，还与它们之间的相互关系有关。单独研究X或Y的性质是不够的，需将（X,Y）作为一个整体来进行研究。 “分布函数”：离散型：分布律或联合分布律：PX=xi,Y=yj=Pij,i,j=1,2,、联合分布函数：连续型随机变量： 设G是xOy平面上的区域，点（X,Y）落在G内的概率为：（2）边缘分布边缘分布函数： 离散型随机变量：X的边缘分布律为Y的边缘分布律为：记 连续型随机变量：边缘概率密度 ，（3）条件分布 离散型随机变量:在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律 为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律 连续性随机变量：在Y=y的条件下，X的条件概率密度 在Y=y的条件下，X的条件分布函数 类似地，定义 （4）随机变量的独立性X和Y是相互独立的：对于所有x,y有 连续型随机变量： 离散型随机变量： 二维正态随机变量（X,Y），X和Y相互独立的充要条件是参数。（5）两个随机变量的函数的分布l Z=X+Y Z的概率密度为： 当X和Y相互独立时，有： 设XN，且X,Y相互独立。则Z=X+Y仍然服从正态分布，且有Z。若XiN（i=1,2,n），且它们相互独立，则它们的和Z=X1+X2+Xn仍然服从正态分布，且有可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。l M=max(X,Y) 定义：设X，Y是两个相互独立的随机变量，称M=max (X,Y)为最大值变量，N=min (X,Y)为最小值变量，统称为极值变量。 l N=min(X,Y) 设X1,X2, X n是n个相互独立的随机变量， 的分布函数分别为： 当X1,X2, X n相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有： 第四章 随机变量的数字特征主要内容：数学期望、方差、切比雪夫不等式、协方差及相关系数、矩的概念、协方差矩阵。（1） 数学期望离散型：连续型：、 随机变量的函数的数学期望： 离散型： 连续型： 两个或两个以上随机变量的函数： 数学期望的简单性质：E(aX+b)=aE(X)+b，E（X+Y）=E（X）+E(Y)如X，Y是相互独立的，有：E（XY）=E（X）E（Y）（2）方差离散型：连续型：计算公式：性质：D(aX+b)=a2D(X) D(b)=0, D(aX)=a2D(X)X,Y相互独立： 正态随机变量：若且相互独立，则它们的线性组合：仍然服从正态分布： （3）切比雪夫不等式（4）协方差及相关系数协方差：计算公式：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)相关系数： 定义：当=0时，称X和Y不相关。l 当X和Y相互独立时, Cov(X,Y)=0，则=0，即X,Y不