向量方法赏析.doc

向 量 方 法 赏 析扬州大学附属中学 何继刚向量又称为矢量，最初被应用于物理学很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量一、向量及其符号的由来大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的合力可用著名的平行四边形法则来得到“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿（Newton,1642-1727）.1806年，瑞士人阿尔冈（RArgand，17681822）以表示一个有向线段或向量1827年，莫比乌斯（，17901868）以表示起点为，终点为的向量，这种用法被数学家广泛接受. 另外，哈密尔顿（WRHamilton，18051865）、吉布斯（JWGibbs，18391903）等人则以小写希腊字母表示向量1912年，兰格文用表示向量，以后，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行。向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的1797年，丹麦数学家威塞尔（C. Wessel，17451818）利用坐标平面上的点表示复数，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量在高等数学中还有更广泛的向量概念例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象这样，就可以使线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系 二、向量运算的赏析学习本章时，要采用类比学习法，要注意向量与数量的区别，准确掌握向量代数的运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等. 向量的运算（运算律）与几何图形的性质有紧密联系向量的运算（运算律）可以用图形简明地表示，而图形的一些性质又可以反映到向量的运算（运算律）上来比如平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，向量加法及其交换律可以表示平行四边形中的对边平行以及三角形全等这说明，以向量为工具，可以把几何图形、几何变换、向量运算及运算律统一起来，其关系如下表所示：几何图形几何变换向量运算向量运算律DCBEADCAB平行四边形平移加法交换律：结合律：相似三角形相似数乘向量分配律：ACBBB直角三角形垂直数量积交换律：分配律：建立向量运算(运算律)与几何图形之间的关系后，对图形的研究实现了运算化，从而实现了综合几何到向量几何的转折向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起用向量方法解决几何问题的基本过程是：首先把一个几何量代数化，然后运用几何空间特有的平移、全等、相似与勾股定理等基本性质引进向量的加(减)法、数乘向量与数量积这三种向量运算，把几何的直观性与向量的运算(运算律)有机地结合起来，使得直观的几何关系代数化，抽象的运算及运算律直观化，这样就使数与形有机地结合起来，运算和运算律是向量的灵魂，是连接数与形的纽带，它建立了运算（运算律）与几何图形之间的对应关系，使我们能够通过运算来研究几何.例1 如图所示，在中，点分别在边上，且交 点于，求的值.解：设同理又三点及三点共线， 又 解得赏析 本题应用向量共线定理，将三点共线问题转化为两向量共线问题。选择两个向量为基本向量，根据平面向量基本定理，用这两个基本向量把其它向量都表示出来，转化为向量的线性运算，进而应用待定系数法求出.例2 已知点（1）为何值时，轴上？轴上？在第二象限？（2）四边形能有否成为平行四边形？若能，请求出相应的；若不能，请说明理由.解：（1）设，由，得，即若在轴上，则若在轴上，则若在第二象限，则（2）若四边形能构成平行四边形，则这是不可能的. 故不能成为平行四边形.赏析 向量共线（或平行）定理的坐标表示为： 利用定理可以证明向量共线、点共线. 若已知向量或点共线可用来求字母参数的值或取值范围.本题根据向量关系，用表示点坐标，根据点位置，由坐标对的限制列出不等关系. 用向量共线条件转化为代数运算是解决本题的关键.例3 已知非零向量，且垂直，垂直，求的夹角.解：由条件得 由(1)-(2)得(3)将(3)代入(2)，得是的夹角）， 即的夹角为赏析 设 利用这个向量垂直的充要条件，可以判定直线垂直. 反过来，已知两直线垂直，可以求待定系数. 本题利用两个垂直关系，得出之间的关系，然后利用向量的夹角公式求解.三、向量思想方法赏析向量的坐标表示，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系了起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了向量法、坐标法和一系列数学思想方法. 1、数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想.运用数形结合思想可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题.例4 设平面向量、的和 如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中,则（ ）（A） （B）（C） （D）解法1 ， 故把，分别按顺时针旋转30后与重合，故，应选D.解法2 令 则，由题意知, 从而排除B,C，同理排除A，故选(D).赏析 本题通过画图,利用数形结合的方法来解决，解题过程中用到了向量加法的几何意义及向量的模和夹角等基本概念.解法2巧在取，使问题简单化.2、转化思想将复杂的向量问题转化为两个不共线向量的运算问题；将物理问题转化为数学问题；将最值、不等式等代数问题转化为向量问题，都是转化思想的具体体现.例5 在中，为的中点，为的重心，为的外心，证明证明：依题意建立如图所示平面直角坐标系，设由中点坐标公式得，则易知的外心在轴上，坐标可设为由及两点间距离公式得 即又由重心坐标公式得 则 即赏析 本题考虑应用向量法，将证明转化为证明建立平面直角坐标系后，将的计算进一步坐标化。3、函数与方程思想向量相等、平行、垂直、数量积的定义及性质的应用都体现了函数与方程思想. 运用该思想可解决求向量或点的坐标、求参数的值、用已知向量表示未知向量等问题.例6 已知 且 求证：（1）对平面内任一向量 都可以表示成的形式；（2）若，则证明 （1）设 即上述关于的方程有唯一解（2）由（1）的结论，知 即则赏析 本题是利用待定系数法，用方程组求解的典型范例，事实上，由可以证明不共线，可以作为一组基底，由平面向量基本定理即可给出证明。4、分类讨论思想分类讨论思想主要体现在由图形中不确定的位置关系引起的分类和由参数变化引起的分类，以及由数学概念、定理、公式或运算性质、法则引起的分类.例7 以原点和点为两个顶点作等腰直角三角形，试求点的坐标和解：设点的坐标为 则（1）当顶点为等腰直角三角形的直角顶点时， 且 化简得解得点的坐标为或或（2）当顶点为等腰直角三角形的直角顶点时， 且 解得点的坐标为或或（3）当顶点为等腰直角三角形的直角顶点时，且 解得点的坐标为或或赏析 应用向量垂直的充要条件，需要确定直角边，因此，分别以为直角顶点，求点的坐标.四、向量应用的赏析教材十分注重理论和实际的结合，更加注重应用. 如从速度、位移、力、加速度等引进向量的概念，从力做功引入向量的数量积。关于向量应用的实例课本上比比皆是，涉及到力、速度的分解与合成，各种测量问题等.把物理量之间的关系抽象为数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究来解释日常生活中相关的物理现象，充分体现了数学应用的内涵和它的深刻性，教学实践表明，这些素材对培养同学们的应用能力和探索能力是十分有益的.1、在几何中的应用例8 求证的三条高相交于一点.证法1 设的边高分别为，它们交于点，连接（如下图）HFEDBCA设则 （1） （2）（1）-（2）得 即三角形三条高交于一点. 证法2 设不共线, 又 即由(2)-(1)得又 三角形三条高交于一点.赏析 选择为基向量，设边上的高交于点，应用证明边上的高过同一点，其思路很巧妙。2、在三角中的应用例9 如图，在中，的长分别为 试推导余弦定理. 解： 同理赏析 利用向量加法的几何意义和向量的数量积推导余弦定理是向量法在三角中应用的典型范例.3、在解析几何中的应用例10 已知是的三个顶点. 试写出的重心，外心，垂心的坐标，并证明三点共线.（2002年全国试题）解：重心为 设点的坐标为 故点的坐标为 设外心的坐标为,由 得所以点的坐标为从而可得出 三点共线.赏析 向量方法是解有关数形结合问题的重要工具.将坐标与向量结合起来，在共线向量定理的引领下,明确目标,证明存在一个实数使从而使困难在思路上获得突破.4、在不等式中的应用例11 设、为不相等的实数 求证：证明：构建向量，、为不相等的实数，因此，向量不共线.而， 根据，且向量不共线, 可得：赏析 本例运用公式“”的一部分，通过适当构造向量，使得原本抽象的不等关系，变得一目了然. 5、在物理中的应用例12 在加速行驶的火车上固定一个斜面，斜面倾角为，如图所示，有一个物体置于斜面上. 如果火车加速度小于某一值,物体就会下落，设物体的质量为，物体和斜面间的摩擦系数为，求解：如图所示，设物体重心为，以过与斜面平行的直线为轴，与斜面垂直的直线为轴建立直角坐标系.设物体所受的重力为，斜面对物体的支持力为，摩擦为为，合力为, 则将沿轴分解，根据平衡方程，得 由(1)(2)消去得：解得（的方向与物体运动方向一致）. 赏析 本题利用向量知识解决力的合成、匀加速运动的问题. 把物理问题转化成数学中向量问题进行运算.五、几点建议1、要重视常见问题处理的基本方法和规律的学习（1）数形结合思想. 数离形时少直观，形离数时欠入微. 引入向量的坐标表示后，使向量完全代数化，将向量运算转化为代数运算，实现数与形的紧密结合.向量具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，它可以把几何问题转化为代数问题解决.向量加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍.（2）向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算；二是依据坐标来计算. 具体应用时可根据已知条件的特征来选择. 值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关. 向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可能推广到向量数量积的运算. 如：而用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0. 向量的数量积公式不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.（3）联想与化归. 平面向量的数量积公式，使向量与数量互相转化. （4）待定系数法. 我们可以利用平面向量基本定理、向量共线定理建立方程，沟通已知向量与未知向量或未知变量间的关系，来求未知向量或未知变量. 这就是应用方程思想的待定系数法.2、要注意处理好新旧思维方式的矛盾引入向量后，运算对象扩充了，不仅仅是数的运算了，向量运算是建立在新的运算法则上，向量的运算与实数的运算不尽相同，向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用，它有一套自己的运算法则.学习与应用中要注意向量运算法则的特点，不能完全照搬数的运算法则. 在学习中要注意新旧知识之间的矛盾冲突，及时加以辨别、总结，应用归纳类比的方法正确理解向量的实质. 例如向量的加法与向量模的加法的区别，向量的数量积与数乘向量的区别，在坐标表示中两个向量共线与垂直的充要条件的区别等等.3、要注意数学思想方法的学习 向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程