二维双曲型方程的隐格式解法.doc

本科毕业论文（设计） 题 目 二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法 院（系） 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 周玲玲 学 号 10022156 指导教师 陈淼超 职称 讲师 论文字数 9500 完成日期: 2014年6月8日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名： 日期： 巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。本人签名： 日期： 导师签名： 日期： 巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）二维双曲型方程的交替方向隐格式解法摘要在解决偏微分方程中二维双曲线型方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式（ADI）格式可以避免此问题。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。第一部分介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法的基本概念，引入本文的研究对象二维波动方程： ，第二部分介绍上述方程的二维双曲线型方程的交替方向隐格式及这种格式的存在性、收敛性与稳定性。第三部分通过算例检验二维双曲线型方程的交替方向隐格式的可行性。关键词：二维双曲型方程；交替方向隐格式；存在性；收敛性；稳定性Alternating direction implicitmethod for 2-Dhyperbolic equationAbstractInsolving partialdifferential equationsto solve the two-dimensionalhyperbolicequationin theinitial boundary value problem,the stability of thedisplayformatis conditional,and the stability conditionsof multidimensionalmorestrict,in order to get thegood stability of thescheme,implicitattention.Byusingimplicit scheme for solvingthe two-dimensionalproblem of linearequationswhose coefficient matrixis abroad band,thussolving thenot veryconvenient,using the alternating direction implicit(ADI)schemecanavoid this problem.In this paper,the basic concepts and basicmethod,at the same timealgorithmwith an example.The first part is the introduction oftwo dimensionalhyperbolicequationof alternatingdirection implicitmethodbasic concept-two-dimensional wave equation,the object of studyis introduced in this paper:,The second part introduces theexistence and stabilityoftwo dimensionalhyperbolicequations,the convergenceof the above equationalternating direction implicit schemeandthis format.Feasibility ofalternating direction implicit schemethird part through theexamples to testtwo-dimensionalhyperbolicequation. Keywords:hyperbolicequation, alternating direction implicit scheme, existence, convergence, stabilityI目 录摘要IAbstractII1.前言12.差分格式的建立22.1差分格式的求解42.1.1算例63.差分格式解的先验估计式84.差分格式解的存在性、收敛性和稳定性94.1存在性94.2收敛性104.3稳定性12参考文献13致谢14附页15 巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）1.前言微分方程有着广泛的自然科学与工程技术的背景，例如热传导问题，流体力学问题，波动问题都可以用微分方程来刻画。然而，实际的运用中，大部分偏微分方程的解很难以解析形式表示出来，人们将研究的重心逐渐的向偏微分方程的数值解方向转移，众多科研家在研究偏微分方程的数值解方面做出了巨大的贡献， 。 变分法，有限差分法与有限元方法是目前运用最为广泛的偏微分方程的数值解法。其中，有限差分法以其 的特点被广大研究者所认可和研究。然而，利用有限差分法在求解偏微分方程的时也会有诸多的不足之处，比如不同步长情况下的稳定性与精度相差很多，因此，经过几代科学家的不懈努力，众多稳定性好，精度高的差分格式被提出，比如 。在差分格式中，解决偏微分方程中二维双曲线方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式（ADI）格式可以避免此问题。本文将从基本概念和基本方法入手，通过简单的二维波动方程，介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法及其简单的实际应用，起到初步介绍偏微分方程数值解法的目的。 12.差分格式的建立作为模型，考虑二维波动方程的初边值问题 （5.16-1） (5.16-2), (5.16-3)其中在结点处考虑方程（5.16-1）.由泰勒展开式可得= (5.17-1) (5.17-2)= (5.17-3) , (5.17-4)其中 .且存在常数使得 （5.18-1） （5.18-2） (5.18-3) (5.18-4) (5.18-5)对定解问题（5.16-1）(5.16-3)建立如下差分格式= (5.19-1) (5.19-2)= (5.19-3) , (5.19-4)(5.19-4)等价于 差分格式(5.19-1) (5.19-4)的结点图式见图5.5.图5.5. 差分格式(5.19-1) (5.19-4)的结点图2.1差分格式的求解注意到=可将(5.19-1) (5.19-4)写为或=+， （5.20）令，则有+， （5.21-1）=. （5.21-2）当第层、第层的值已知时，由（5.21-1）求出过渡层上的值：对任意固定的，取边界条件， ， （5.22-1）求解 +， ， （5.22-2）得到.当已求出时，由 （5.21-2）求出第层上的值：对固定的，取边界条件 ， （5.23-1）求解=. ， （5.23-2）得到，.最后由 得到. （5.22-1）和（5.22-2）是关于方向的隐格式，（5.23-1）和 （5.23-2）是关于方向的隐格式.它们均是三对角线性方程组，可用追赶法求解.我们把 （5.21-1）和（5.21-2）称为交替方向隐格式.2.1.1算例用交替方向隐格式（5.22-1）和（5.22-2）计算定解问题， ， ， ， ， ， ， ，该定解问题的精确解为.表3.2给出了取时计算得到的部分数值结果.表3.3给出了取不同步长时数值解的最大误差从表3.3可以看出，当空间步长和时间步长同时缩小到原来的1/2时，最大误差约缩小为原来的1/4.图3.5和图3.6分别给出了t=1时精确解得曲面图和取步长所得数值解的曲面图；图3.7给出了t=1时取不同步长所得数值解的误差曲面图.(图与编程见附页)表3.2算例3,1部分结点处数值解，精确解和误差的绝对值(x,y,t)数值解精确解|精确解-数值解|(0.25,0.25,0.25)1.0000061.0000005.753e-6(0.75,0.25,0.25)1.2840331.2840257.343e-6(0.25,0.75,0.25)1.2840331.2840257.343e-6(0.75,0.75,0.25)1.6487311.6487219.737e-6(0.25,0.25,0.50) 0.7788050.7788014.162e-6(0.75,0.25,0.50)1.0000041.0000003.961e-6(0.25,0.75,0.50)1.0000041.0000003.961e-6(0.75,0.75,0.50)1.2840291.2840253.515e-6(0.25,0.25,0.75) 0.6065343 0.60653073.677e-6(0.75,0.25,0.75)0.77880360.77880082.794e-6(0.25,0.75,0.75)0.77880360.77880082.794e-6(0.75,0.75,0.75)1.00000201.00000001.898e-6(0.25,0.25,1.00)0.47236140.47236665.194e-6(0.75,0.25,1.00)0.60652590.60653074.780e-6(0.25,0.75,1.00)0.60652590.60653074.780e-6(0.75,0.75,1.00)0.77879660.77880084.166e-6 表3.3 算例3.1取不同步长时数值解的最大误差1/101/101.274e-31/201/203.540e-43.5991/401/409.519e-53.7191/801/802.493e-53.8181/1601/1606.414e-63.8873.差分格式解的先验估计式定理3.1 设为差分方程组= （5.24-1）， ， （5.24-2）， ， （5.24-3）， （5.24-4）的解，则对任意步长，有，其中.证明 用乘以（5.24-1）的两边，并对求和，得到 +=， （5.24-5）注意到=，=，=， ，由5.25得， 或， 当时，有， 由Gronwall不等式，可得， 定理完毕.4.差分格式解的存在性、收敛性和稳定性4.1存在性定理5.2.2差分格式 (5.19-1)(5.19-4)是唯一可解的.证明 差分格式(5.19-1)(5.19-4)是线性的.考虑其齐次方程组= ， ， ， ， ， 由定理5.2.1，有.，易知 .因而差分方程组是(5.19-1)(5.19-4)唯一可解的.4.2收敛性定理5.2.3设为定解问题(5.16-1)(5.16-3)的解，为差分格式(5.19-1)(5.19-4)的解.记， ，则对任意的步长比有,其中由(5.18-1)(5.18-5)定义.证明 将(5.17-1)(5.17-4)的分别与(5.19-1)(5.19-4)相减，可得误差方程 ， ， ， ， ， 由定理5.2.1有 应用(5.18-1)(5.18-5)可得,定理证毕.4.3稳定性定理5.2.4差分格式(5.19-1)(5.19-4)对任意的步长s在下述意义下对初值和右端函数是稳定的：设为差分方程组= ， ， ， ， ， 的解，则有，证明直接应用定理5.2.1.参考文献1陆金甫，关治.偏微分方程数值解法M北京：清华大学出版社.2004 2LeVeque R JNumerical Methods for Conservation Law sBasel： Birkhauser Velag ，19903徐长发，李红偏微分方程数值解法M. 武汉: 华中科技大学出版社.20004李荣华. 偏微分方程数值解法M. 北京: 高等教育出版社.2010.5 孙志忠，李雪玲. 反应扩散方程的紧交替方向的差分方法. 计算数学, 2005, 27(2):209224.6RAAdamsSobolev SpacesMNew York：Academic Press，(1975)7 张志跃. 一类非线性发展方程的交替分段显隐并行数值方法. 计算力学学报, 2002,19(2):154158.8 Deng D, Zhang Z. A new high-order algorithm for a class of nonlinear evolution equation. J. Phys.A: Math. Theor., 2008, 41:015202.9JCXu and JZouSome nonoverlapping domain decomposition methodsJSIAM- Rev，40(4)，(1998)，857-91410WZDaiCompact ADI method for solving parabolicDifferential equationsJNumerMethods for PDE，18(2002)，129-142致谢 在我的论文设计过程中，陈淼超老师从选题指导、论文框架到细节修改，都给予了我细致的指导，提出了很多宝贵的意见与建议，老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。同时也感谢和我同组的组员，在设备上和技术上都给了我很大的帮助。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！这篇论文是在老师的精心指导和同组的伙伴们以及学校图书馆的工作人员的大力支持下才完成的感谢所有授我以业的老师，没有这些年知识的积淀，我没有这么大的动力和信心完成这篇论文。感恩之余，诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正，由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！谨以此致谢最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅的各位老师表示衷心的感谢。附页算例2.1.1的编程：取，则，满足稳定性条件另取，则，亦满足稳定性条件另取