高中数学选修知识点.pdf

选修选修 1 1 1 2 数学知识点数学知识点 第一部分 简单逻辑用语 第一部分 简单逻辑用语 1 命题 命题 用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句 真命题 真命题 判断为真的语句 假命题 假命题 判断为假的语句 2 若p 则 形式的命题中的qp称为命题的条件条件 称为命题的结论结论 q 3 原命题 若原命题 若 p 则 逆命题 若 则 则 逆命题 若 则 qqp 否命题 若 否命题 若 p 则 逆否命题 若 则 逆否命题 若 q q 则 则 p 4 四种命题的真假性之间的关系 四种命题的真假性之间的关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 1 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 5 若 则pq p是的充分条件充分条件 是qqp的必要条件必要条件 若 则p qp是的充要条件充要条件 充分必要条件 q 利用集合间的包含关系 利用集合间的包含关系 例如 若 则A是B的充分条件或B是A的必要条件 若A B 则A是B 的充要条件 BA 6 逻辑联结词 逻辑联结词 且 and 命题形式pq 或 or 命题形式pq 非 not 命题形式p p q pq pq p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 7 全称量词 所有的 任意一个 等 用 表示 全称命题全称命题 p 全称命题全称命题 p 的否定的否定 xpMx p xpMx 存在量词 存在一个 至少有一个 等 用 表示 特称命题特称命题 p 特称命题特称命题 p 的否定的否定 xpMx p xpMx 第二部分 圆锥曲线 第二部分 圆锥曲线 1 平面内与两个定点 的距离之和等于常数 大于 1 F 2 F 12 F F 的点的轨迹称为椭圆椭圆 即 2 2 2121 FFaaMFMF 这两个定点称为椭圆的焦点椭圆的焦点 两焦点的距离称为椭圆的焦距两焦点的距离称为椭圆的焦距 2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围 axa 且byb bxb 且aya 顶点 1 0a 2 0a 1 0 b 2 0 b 1 0 a 2 0 a 1 0b 2 0b 轴长 短轴的长2b 长轴的长2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 12 2 对称性 关于 222 FFc cab x轴 轴 原点对称 离心率 y 2 2 10 cb ee1 aa 3 平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 小于 1 F 2 F 12 F F 的点的轨迹称为双曲线双曲线 即 2 2121 FaMFMF F2 a 这两个定点称为双曲线的焦点双曲线的焦点 两焦点的距离称为双曲线的焦距两焦点的距离称为双曲线的焦距 4 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在轴上 y 图形 标准方程 22 22 10 0 xy ab ab 22 22 10 0 yx ab ab 范围 xa 或xa yR ya 或ya xR 顶点 1 0a 2 0a 1 0 a 2 0 a 轴长虚轴的长 2b 实轴的长2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 FFcab 12 2c 对称性 关于x轴 轴对称 关于原点中心对称 离心率 y 2 2 11 cb ee aa 渐近线方程 b yx a a yx b 5 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线等轴双曲线 6 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线抛物线 定点称为抛物线的焦点抛物线的焦点 定直线称为抛物线的准线 7 抛物线的几何性质 标准方程 FlF l 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 2 2xpy 0p 0p 图形 顶点 0 0 yx轴 对称轴 轴 焦点 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率 1e 范围 0 x 0 x 0y 0y 8 的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于过抛物线 两点的线段 称为抛物线的 通径 通径 即 2p 9 焦半径公式焦半径公式 若点 00 在抛物线上 焦点为 则 2 20ypx p F 0 p xy Fx 2 若点 00 在抛物线上 焦点为 则 2 20 xpy p F 0 2 p Fy xy 第三部分 导数及第三部分 导数及 1 函 其应用 其应用 数 f x从 1 x到 2 x的平均变化率 平均变化率 21 21 f xf x xx 2 导数定义 导数定义 f x在点 0 x处的导数记作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 3 函数在点 yf x 0 x处的导数的几何意义是曲线导数的几何意义是曲线 yf x 在点在点 00 xf x 处的切线的斜率处的切线的斜率 4 常见函数的导数公式 常见函数的导数公式 1 n C0 n nxxxxcos sin xxsin cos aa xx ln xx ee a ax x a ln 1 log x x 1 ln 5 导数运算法则 导数运算法则 1 f xg xfxgx 2 f xgg x xfxf x gx 3 2 0 f xfx g xf x gx g x g x g x 6 在某个区间内 若 则函数若 则函数 a b 0fx yf x 在这个区间内单调递增 在这个区间内单调递增 若 则函数在这个区间内单调递减 若 则函数在这个区间内单调递减 7 求函数的极值的方法是 求函数的极值的方法是 解方程 0fx yf x yf x 0fx 当 0 0fx 时 如果在 1 0 x附近的左侧 右侧左侧 右侧 0fx 0fx 那么 0 f x是极大值 如果在 2 0 x附近的左侧 右侧左侧 右侧 0fx 0fx 那么 0 f x是极小值 8 求函数在求函数在 yf x a b上的最大值与最小值的步骤是 上的最大值与最小值的步骤是 求函数在内的极值 将函数的各极值与端点处的函数值 1 yf x a b 2 yf x f a f b比较 其中最大的一个是最大值 最小的 一个是最小值 第四部分 复数 第四部分 复数 1 0 a bR z 9 导数在实际问题中的应用 最优化问题 最优化问题 概念 概念 1 z a biR b z z2 0 z a bi是纯虚数 0且b 0 a bR 2 z a bi是虚数 b 0 a bR a z z 0 z 0 z 3 20 时 变量yx 正相关 r 0 时 变量yx 负相关 越接近于 1 两个变量的线性相关性越强 接近于 0 时 两个变量之间几乎不存在线 性相关关系 总偏差平方和 r r 3 回归分析中回归效果的判定 3 回归分析中回归效果的判定 i 1 n i yy 2 残差 残差平方和 回归平方 iii yye 2 1 n i yiyi 和 i yy i 11 i n 2 n 2 yiyi 相关指数 n yy 2 n i ii i ii yy 1 2 1 1 R2 注 注 2 R得知越大 说明残差平方和越小 则模型拟合效果越好 2 R越接近于 1 则回归效果越好 4 独立性检验 分类变量关系 4 独立性检验 分类变量关系 随机变量 2 K越大 说明两个分类变量 关系越强 反之 越弱 分 一 推理 分 一 推理 合情推理 合情推理 第六部 推理与证明 第六部 推理与证明 归纳推理归纳推理和类比推理类比推理都是根据已有事实 经过观察 分析 比较 联想 在进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们称为合情推理 归纳推理归纳推理 或 有个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 由个别到一般的推理 由个别到一般的推理 推出另一类对象也具有这些特征的推 理 称为类比推理 简称类比 由某类食物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 者 注 归纳推理是由部分到整体归纳推理是由部分到整体 类比推理 由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征 注 类比推理是特殊到特殊的推理 类比推理是特殊到特殊的推理 演绎推理 演绎推理 从一般的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理叫演绎推理 注 演绎推理是由一般到特殊的推理 三段论 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般结论 小前提 所研究的特 二 证明二 证明 殊情况 结 论 根据一般原理 对特殊情况得出的判断 直接证明 直接证明 综合法综合法 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的一般地 利用已知条件和某些数学定义 结论成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推法或由因导果法 分析法分析法 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一 条件 已知条件 定义 定理 公理等 这种证明的方法叫分析法 分析法又叫逆推证法 2 间接证明 间接证明 个明显成立的 或执果索因法 反证法反证法 设错误 从而证明原命题成立 这种证明方法叫反证法 一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假 选修选修 4 4 数学知识点数学知识点 一 选考内容 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 高考考试大纲要求 1 坐标系 1 坐标系 理解坐标系的作用理解坐标系的作用 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能在极坐标系中用极坐标表示点的位置 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别 能进行极坐标和直角坐标的互化能进行极坐标和直角坐标的互化 能在极坐标系中给出简单图形 如过极点的直线 过极点或圆心在极点的圆 的方程能在极坐标系中给出简单图形 如过极点的直线 过极点或圆心在极点的圆 的方程 通过比较这些图 形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程 理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 2 参数方程 2 参数方程 了解参数方程 了解参数的意义 能选择适当的参数写出直线 圆和圆锥曲线的参数方程能选择适当的参数写出直线 圆和圆锥曲线的参数方程 二 知识归纳总结 1 伸缩变换 1 伸缩变换 设点是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 yxP 0 yy 0 x x 的作用下 点对应到点 称 yxP yxP 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换坐标伸缩变换 简称伸缩变换伸缩变换 2 极坐标系的概念 2 极坐标系的概念 在平面内取一个定点 叫做极点极点 自极点引一条射线叫做极轴极轴 再选定一个 长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系极坐标系 3 点3 点 OOOx M的极坐标 的极坐标 设M是平面内一点 极点与点OM的距离叫做点 OMM的极径极径 记为 以极 轴为始边 射线为终边的OxOMxOM 叫做点M的极角极角 记为 有序数对 叫做点点M的极坐 标 的极坐 标 记为 M 极坐标 与 Z 2 kk 表示同一个点 极点的坐标为O R 0 4 4 若0 则0 规定点 与点 关于极点对称 即 与 表示同一点 如果规定 20 0 那么除极点外 平面内的点可用唯一的极坐标 表示 同时 极坐 标 表示的点也是唯一确定的 5 极坐标与直角坐标的互化 5 极坐标与直角坐标的互化 222 cos sin t n 0 xx y yax x y 6 圆的极坐标方程 6 圆的极坐标方程 在极坐标系中 以极点为圆心 r为半径的圆的极坐标方程是 r 为半径的圆的极坐标方程是在极坐标系中 以 0 aC 0 a为圆心 a cos2a 在极坐标系中 以 2 aC 0 a为圆心 a为半径的圆的极坐标 sin2a 方程是 7 7 在极坐标系中 0 表示以极点为起点的一条射线 R 表示过极点的一条直线 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是在极坐标系中 过点 0 0 aaAa cos 8 参数方程的概念 8 参数方程的概念 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标yx 都是某个变数t的函数 tgy 程就叫做这条曲线的参数方程参数方程 联系变数 tfx 并且对于t的每一个允许值 由这个方程所确定的点 xM都在这条曲线上 那么这个方 y yx 的变数t叫做参变数参变数 简称参数参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程普通方程 9 9 圆的参数方程