重庆市一中高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 a=1，2，4，b=a，3，5，若 ab=4，则 ab=( )a4b1，2，4，5c1，2，3，4，5da，1，2，3，4，52命题“对任意xr，都有x22x+40”的否定为( )a对任意xr，都有x22x+40b对任意xr，都有x22x+40c存在x0r，使得x022x0+40d存在x0r，使x022x0+403已知复数和复数z2=cos30+isin30，则z1z2为( )a1b1cd4已知k0，则曲线和有相同的( )a顶点b焦点c离心率d长轴长5已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是( )a若ab，b，则ab若a，b，则abc若a，b，则abd若ab，b，则a6要得到函数y=sin（2x）的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位7对于函数f（x）=tan2x，下列选项中正确的是( )af（x）在（，）上是递增的bf（x）在定义域上单调递增cf（x）的最小正周期为df（x）的所有对称中心为（，0）8已知a0，b0满足a+b=1，则的最小值为( )a12b16c20d259已知，那么cos等于( )abcd10已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是( )a2bc2d211定义在（0，）上的函数f（x），f（x），是它的导函数，且恒有sinxf（x）cosxf（x）成立，则( )af（）f（）bf（）f（）cf（）2f（）df（）f（）12o是坐标原点，点a（1，1），点p（x，y）为平面区域的一个动点，函数f（）=|（r）的最小值为m，若m恒成立，则k的取值范围是( )ak1b1k1c0k3dk1或3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知直线l1：ax+y+3=0，l2：x+（2a3）y=4，l1l2，则a=_14已知等差数列an，若a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78，则s20=_15已知球o的体积为36，则球的内接正方体的棱长是_16椭圆（ab0）的右顶点为a，上、下顶点分别为 b2、b1，左、右焦点分别是f1、f2，若直线 b1f2与直线 ab2交于点 p，且b1pa为锐角，则离心率的范围是_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列an满足a2=4，a6+a8=18（i）求数列an的通项公式；（ii）求数列的前n项和18已知函数f（x）=2sincos+2cos2（i）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（ii）若f（b）=3，在abc中，角 a，b，c的对边分别是a，b，c，若b=3，sinc=2sin a，求a，c的值19如图，在四棱柱 abcda1 b1c1d1中，cc1底面 abcd，底面 abcd为菱形，点 e，f分别是 ab，b1c1的中点，且dab=60，aa1=ab=2（i）求证：ef平面 ab1d1；（ii）求三棱锥 acb1d1的体积20在平面直角坐标系xoy中，已知圆c1：（x+3）2+（y1）2=4和圆c2：（x4）2+（y5）2=1（i）若直线l过点 a（4，0），且被圆c1截得的弦长为2，求直线l的方程；（ii）若从圆c1的圆心发出一束光线经直线xy3=0反射后，反射线与圆c2有公共点，试求反射线所在直线的斜率的范围21已知函数f（x）=xeax+lnxe（ar）（i）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（ii）设g（x）=lnx+e，若函数h（x）=x在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，在rtabc中，c=90，b e平分a bc交 ac于点e，点d在ab上，deeb，且，ae=6（i）判断直线 ac与bde的外接圆的位置关系并说明理由；（ii）求ec的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线c1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是=4cos（1）求曲线c1与c2交点的极坐标；（2）a、b两点分别在曲线c1与c2上，当|ab|最大时，求oab的面积（o为坐标原点）选修4-5：不等式选讲24（i）求|2x1|+|2x+3|5的解集；（ii）设a，b，c均为正实数，试证明不等式，并说明等号成立的条件2015-2016学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 a=1，2，4，b=a，3，5，若 ab=4，则 ab=( )a4b1，2，4，5c1，2，3，4，5da，1，2，3，4，5【考点】交集及其运算；并集及其运算【专题】计算题；集合【分析】由a，b，以及两集合的交集确定出a的值，进而确定出b，找出两集合的并集即可【解答】解：a=1，2，4，b=a，3，5，且ab=4，a=4，即b=3，4，5，则ab=1，2，3，4，5，故选：c【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2命题“对任意xr，都有x22x+40”的否定为( )a对任意xr，都有x22x+40b对任意xr，都有x22x+40c存在x0r，使得x022x0+40d存在x0r，使x022x0+40【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题得：存在x0r，使得x022x0+40，故选：c【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3已知复数和复数z2=cos30+isin30，则z1z2为( )a1b1cd【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；函数思想；数系的扩充和复数【分析】化简复数z2为代数形式，利用复数的乘法求解即可【解答】解：复数和复数z2=cos30+isin30=，z1z2=故选：d【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力4已知k0，则曲线和有相同的( )a顶点b焦点c离心率d长轴长【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出两个椭圆的焦距，判断选项即可【解答】解：曲线的焦距为：2；k0，的焦距为：2=2焦点坐标都在x轴上，焦点坐标相同故选：b【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力5已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是( )a若ab，b，则ab若a，b，则abc若a，b，则abd若ab，b，则a【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】探究型；空间位置关系与距离【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定即可【解答】解：若ab、b，则a或a，故a错误；若a、b，则ab或a，b异面，故b错误；若a，b，则ab，满足线面垂直的性质定理，故正确若b，ab，则a或a，故d错误；故选：c【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养6要得到函数y=sin（2x）的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】根据“左加右减”的平移法则将y=sin2x向右平移单位即可，从而可得答案【解答】解：将函数y=sin2x的图象y=sin，即为y=sin（2x）的图象故选d【点评】本题考查函数y=asin（x+）的图象变换，掌握平移方向与平移单位是关键7对于函数f（x）=tan2x，下列选项中正确的是( )af（x）在（，）上是递增的bf（x）在定义域上单调递增cf（x）的最小正周期为df（x）的所有对称中心为（，0）【考点】正切函数的周期性；正切函数的奇偶性与对称性【专题】计算题；数形结合；三角函数的图像与性质【分析】求出函数的周期，判断a、c的正误；正切函数的单调性判断b的正误；求出对称中心判断d的正误；【解答】解：x=时，函数没有意义，a不正确；正切函数在定义域上不是单调函数，b不正确；函数f（x）=tan2x的周期为：，所以c不正确；（，0）是函数的对称中心，所以d正确故选：d【点评】本题考查正弦函数的简单性质的应用，考查计算能力8已知a0，b0满足a+b=1，则的最小值为( )a12b16c20d25【考点】基本不等式【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用【分析】通过“1”的代换，化简所求表达式，利用基本不等式求出它的最小值【解答】解：a0，b0，且满足a+b=1，则=10+10+2=16，当且仅当，即a=，时，等号成立故的最小值为16，故选：b【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题9已知，那么cos等于( )abcd【考点】两角和与差的余弦函数【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的求值【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及两角和与差的余弦函数化简求解即可【解答】解：，可得=cos=cos（+）=+=故选：b【点评】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查转化思想的应用10已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是( )a2bc2d2【考点】由三视图求面积、体积【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，如图所示；且三棱锥的高为sd=2，底面三角形边长bc=2，高ad=2；该三棱锥的最长棱是sa=2故选：c【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目11定义在（0，）上的函数f（x），f（x），是它的导函数，且恒有sinxf（x）cosxf（x）成立，则( )af（）f（）bf（）f（）cf（）2f（）df（）f（）【考点】函数的单调性与导数的关系【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用【分析】构造函数g（x）=，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性，从而判断出函数值的大小即可【解答】解：由f（x）sinxf（x）cosx，则f（x）sinxf（x）cosx0，构造函数g（x）=，则g（x）=，当x（0，）时，g（x）0，即函数g（x）在（0，）上单调递增，g（）g（），f（）f（），故选：d【点评】本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题12o是坐标原点，点a（1，1），点p（x，y）为平面区域的一个动点，函数f（）=|（r）的最小值为m，若m恒成立，则k的取值范围是( )ak1b1k1c0k3dk1或3【考点】简单线性规划【专题】数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线与圆【分析】画出满足条件的可行域，分析出函数f（）的最小值为m恒成立表示可行域内的点到直线oa：x+y=0的最大距离不大于，结合可行域的图象，分类讨论，可得答案【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：函数f（）=|（r）表示p点到直线oa上一点的距离，若函数f（）的最小值为m恒成立，则仅需可行域内的点到直线oa：x+y=0的最大距离不大于即可，若k2，则不存在满足条件的点，若k2，则存在b点（，）到直线oa：x+y=0的距离最远，此时d=，解得：k1，故选：a【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，关键是对题意的理解，是难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知直线l1：ax+y+3=0，l2：x+（2a3）y=4，l1l2，则a=1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】利用两直线垂直，x，y系数积的和为0的性质求解【解答】解：直线l1：ax+y+3=0，l2：x+（2a3）y=4，l1l2，a+（2a3）=0，解得a=1故答案为：1【点评】本题考查直线方程中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用14已知等差数列an，若a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78，则s20=180【考点】等差数列的性质【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由条件a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案【解答】解：a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）a1+a20=18s20=（a1+a20）=180故答案为：180【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用考查等差数列的性质比较基础15已知球o的体积为36，则球的内接正方体的棱长是【考点】球内接多面体【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论【解答】解：球的体积为36球的半径为3球的内接正方体的对角线为球的直径球的内接正方体的对角线长为6设球的内接正方体的棱长为a，则a=6a=2故答案为：2【点评】本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题16椭圆（ab0）的右顶点为a，上、下顶点分别为 b2、b1，左、右焦点分别是f1、f2，若直线 b1f2与直线 ab2交于点 p，且b1pa为锐角，则离心率的范围是【考点】椭圆的简单性质【专题】转化思想；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意，b1pa就是与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，b）、=（c，b），由向量的夹角为锐角可得ac+b20，把b2=a2c2代入不等式，从而可求椭圆离心率的取值范围【解答】解：由题意，b1pa就是与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，b）、=（c，b），由向量的夹角为锐角，知道与的数量积大于0，所以有：ac+b20，把b2=a2c2代入不等式得：a2acc20，除以a2得1ee20，即e2+e10，解得e，又0e1，所以0e，故答案为：0e【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是利用与的数量积大于0，建立不等式，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列an满足a2=4，a6+a8=18（i）求数列an的通项公式；（ii）求数列的前n项和【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（i）利用等差数列的通项公式即可得出；（ii）利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（i）设等差数列an的公差为d，a2=4，a6+a8=18，解得：a1=3，d=1，故数列an的通项公式为an=3+（n1）=2+n（ii）设数列的前n项和为sn，化为【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知函数f（x）=2sincos+2cos2（i）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（ii）若f（b）=3，在abc中，角 a，b，c的对边分别是a，b，c，若b=3，sinc=2sin a，求a，c的值【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（i）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性得出结论（ii）在abc中，由f（ b）=3，求得b的值，由由sinc=2sina及正弦定理求得c=2a；再根据b=3及余弦定理求得a的值，可得c的值【解答】解：（i）由已知可得：，所以f（x）的最小正周期为2由，kz，得，kz因此函数f（x）的单调递减区间为，kz（ii）在abc中，若f（ b）=3，求得sin（b+）=1，故 由sinc=2sina及，得c=2a由b=3及余弦定理b2=a2+c22accos b，得9=a2+c2ac，将c=2a代入得，求得，故 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题19如图，在四棱柱 abcda1 b1c1d1中，cc1底面 abcd，底面 abcd为菱形，点 e，f分别是 ab，b1c1的中点，且dab=60，aa1=ab=2（i）求证：ef平面 ab1d1；（ii）求三棱锥 acb1d1的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】转化思想；分割补形法；空间位置关系与距离【分析】（i）如图，连接a1c1交b1d1于o点，连接of，oa利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定可得aofe是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明（ii） 连接ac交bd于点m，连接d1m，b1m可得=，=+，由于四边形bacd是菱形，bb1平面abcd，可得平面bdd1b1平面abcd，am平面bdd1b1，即可得出=【解答】证明：（i）如图，连接a1c1交b1d1于o点，连接of，oa ，aofe是平行四边形，efoa，而ef平面 ab1d1，oa平面 ab1d1；ef平面 ab1d1（ii） 连接ac交bd于点m，连接d1m，b1m则=，=+=2，四边形bacd是菱形，acbdbb1平面abcd，平面bdd1b1平面abcd，am平面bdd1b1，=22=，=【点评】本题考查了空间线面位置关系及其判定、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20在平面直角坐标系xoy中，已知圆c1：（x+3）2+（y1）2=4和圆c2：（x4）2+（y5）2=1（i）若直线l过点 a（4，0），且被圆c1截得的弦长为2，求直线l的方程；（ii）若从圆c1的圆心发出一束光线经直线xy3=0反射后，反射线与圆c2有公共点，试求反射线所在直线的斜率的范围【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】（i）因为直线l过点a（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆c1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程（ii）圆c1的圆心（3，1）经直线xy3=0对称后的点记为 a（4，6），直线与圆c2有公共点即直线与圆相交或相切，故利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式，即可求反射线所在直线的斜率的范围【解答】解：（i）由于直线x=4与圆c1不相交；直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x4）圆c1的圆心到直线l的距离为d，l被c1截得的弦长为2d=1d=1，从而k（24k+7）=0即k=0或k=直线l的方程为：y=0或，即y=0或7x+24y28=0（ii）圆c1的圆心（3，1）经直线xy3=0对称后的点记为 a（4，6），设反射光线所在的直线的斜率为k，则反射光线所在的直线方程为y+6=k（x4）kxy4k6=0圆c2的圆心（4，5）直线与圆c2有公共点即直线与圆相交或相切，则k2120或【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，关于坐标轴对称的点的特点，切线的性质解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷21已知函数f（x）=xeax+lnxe（ar）（i）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（ii）设g（x）=lnx+e，若函数h（x）=x在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（i）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；（ii）化简函数h（x），由题意可得x2eax1=0在（0，+）有两个零点对a讨论，注意运用单调性和极值判断，即可得到a的范围【解答】解：（i）y=f（x）的定义域为（0，+），a=1，f（x）=xex+lnxe，f（1）=0，f（1）=2e+1，所以函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=（2e+1）（x1）；（ii）=x2eax1在定义域内存在两个零点，即x2eax1=0在（0，+）有两个零点令（x）=x2eax1，（x）=ax2eax+2xeax=xeax（ax+2），i、当a0时，（x）=xeax（ax+2）0，y=（x）在（0，+）上单调递增，由零点存在定理，y=（x）在（0，+）至多一个零点，与题设发生矛盾ii、当a0时，xeax（ax+2）=0，则，x（x）+0（x）单调递增极大值单调递减因为（0）=1，当x+，（x）1，所以要使（x）=x2eax1在（0，+）内有两个零点，则即可，得，又因为a0，所以综上，实数a的取值范围为【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题选修4-1：几何证明选讲22如图，在rtabc中，c=90，b e平分a bc交 ac于点e，点d在ab上，deeb，且，ae=6（i）判断直线 ac与bde的外接圆的位置关系并说明理由；（ii）求ec的长【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】（i）取bd的中点0，连结oe，如图，由bed=90，根据圆周角定理可得bd为bde的外接圆的直径，点o为bde的外接圆的圆心，再证明oebc，得到aeo=c=90，于是可根据切线的判定定理判断ac是bde的外接圆的切线；（ii）设o的半径为r，根据勾股定理得，解得r=2，根据平行线分线段成比例定理，由oebc得=，然后根据比例性质可计算出ec【解答】解：（i）取bd的中点0，连结oe，如图，deeb，bed=90，bd为bde的外接圆的直径，点o为bde的外接圆的圆心，be平分abc，cbe=obe，ob=oe，obe=oeb，oeb=cbe，oebc，aeo=c=90，oeae，ac是bde的外接圆的切线（ii）设bde的外接圆的半径为r在aoe中，oa2=oe2+ae