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第第 22 章章 曲面积分曲面积分 一 基本概念一 基本概念 1 第一型曲面积分的定义 设是空间中可求面积的曲面 为定义在上的函数 把分割为n个小曲面 i S zyxfSSSni 1 L 以记小块曲面的面积 分割T的细度 i S 的直径 i ni ST 1 max 在上任取一点 i S iii ni 1 L 若极限 i n i iii T Sf 1 0 lim 存在 且与分割T与 iii 的取法无关 则称此极限为在上的第一型曲面 积分 记作 ni 1 L zyxfS S dSzyx f 2 第一型曲面积分的计算 定理定理 1 设有光滑曲面 S yxzz Dyx 为上的连续函数 则 zyxfS dxdyzzyxzyxfdszyxf D yx S 22 1 3 第二类曲面积分的计算 定理定理 2 设R是定义在光滑曲面 上的连续函数 以的上侧为正侧 这时 的法线方向与轴正向成锐角 则有 S yxzz xy Dyx S Sz dxdyyxzyxfdszyxf xy DS 4 Gauss 公式 定理定理 3 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成 若函数SP Q R在V上连续 且有一阶连 续偏导数 则 SV RdxdyQdzdxPdydzdxdydz z R y Q x p 其中取外侧 S 5 Stokes 公式 定理定理 4 设是 R 3中的光滑曲面 的边界SSL是了按段光滑的连续曲线 若函数P Q R在V上连 续 且有一阶连续偏导数 则 S RQP zyx dxdydzdxdydz D RdzQdyPdx 二 基本方法二 基本方法 1 利用dxdyzzyxzyxfdszyxf D yx S 22 1 和 两个公式计算第一型和第二型曲面积分 dxdyyxzyxfdszyxf xy DS 2 利用 Gauss 公式计算三维积分 3 利用 Stokes 公式计算曲面积分 三 基本要求三 基本要求 1 掌握求第一型和第二型曲面积分的方法 2 会用 Gauss 公式和 Stokes 公式计算曲面积分 四 典型例题四 典型例题 例例 1 求 其中是上半球面 S dSzyx S 2222 azyx 0 z 解解 根 据 对 称 性 0 只 要 计 算即 可 由 S xdS S ydS S zdS 222 yxaz 222 yxa x zx 222 yxa y zy 所以 3 222 adxdyadSzyx ayx S 例例 2 计算 其中是以原点为中心 边长为 2 的立方体表 面并取外侧为正向 S dxdyxzdzdxzydydzyx S 解解 分析 观察积分结构及曲面的图形知 Szyx 两两对称 由对称性知 只需计算其中之一即可 由 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dzydydxydydydzyx S 8 1 2 1 2 1 1 1 1 dyydyy 故 S dxdyxzdzdxzydydzyx 83 24 例例 3 证明 若为封闭曲面 为任何固定方向 则Sl0 cos S dSln 其中为曲面外法线方向 nS 证证 设n和l的方向余弦为 cos cos cos和 则 所以 cos cos cos coscos cos ln coscos coscos SS dSln cos coscos coscos coscos dS dxdydzdxdydz S coscoscos 外 又因l的方向固定 都是常数 故 cos P cos Q cos R0 z R y Q x P 由奥高公式 原式 VS RdxdyQdzdxPdydz z R y Q x P dxdydz0 五 自测题五 自测题 1 利用高斯公式求下列积分 1 222 S x dydzy dzdxz dxdy 其中 a 为立方体0 S x y za 的边界曲面外侧 b 为锥面 S 222 0 xyzzh 下侧 2 333 S x dydzy dzdxz dxdy 其中是单位球面的外侧 S 3 设是上半球面 S 22 zaxy 2 的上侧 求 a S xdydzydzdxzdxdy b 2222 2 S xz dydzx yzdzdxxyy z dxdy 4 222222 S xyzdydzyzxdzdxzxydxdy 是 S 222 2 xaybzc R的外侧 2 用斯托克斯公式计算下列积分 1 L 32 zdzdydxyx 其中 a L为圆周 方向是逆时针 222 xyaz 0 b L为所交的椭圆 从轴正向看去 按逆时针方向 22 1 yzx y x 2 L dzyxdyxzdxzy 其中L是从 0 0a经 0 0a至 0 0 a回到 0 0a 三角形 3 L 222222 dzyxdyxzdxzy 其中 a L为1xyz 与三坐标轴的交线 其方向与所围平面区域上侧构成右手法则 b L是曲线 它的方向与所围曲面的上侧构成 右手法则 22222 2 2 0 0 xyzRx xyrxrR z 4 L xdzzdyydx L是 从轴正向看去圆周是逆时针方向 2222 0 xyzaxyz x 3 计算高斯积分 2 cos S dS r r n 其 中为 简 单 封 闭 光 滑 曲 面 为 曲 面上 在 点SnS 处 的 外 法 向 xyzrrijkr 试对下列两种情形进行讨论 1 曲面包围的区域不含S x y z点 2 曲面包围的区域含 S x y z点 4 求证 dSNR r dxdydz SV cos 2 1 其中是包围V的分片光滑封闭曲面 为的外法线方 向 SNS R x y z Rr 分下列两种情形讨论 1 中不含原点 0 0 0 2 中含原点 0 0 0 时 令 VV lim 0 VV V dxdydzdxdydz rr 其中V 是以原点为心 以 为半径的球 5 利用高斯公式变换以下积分 1 S xydxdyxzdzdxyzdydz 2 coscoscos S uuu dS xyz 其中cos cos cos 是曲面的外法线方向余弦 6 设是具有二阶连续偏导数的函数 并设 u x yv x y 22 22 uu u xy 证明 l u udxdyds n 其中 为闭曲线 所围的平面区域 l uv nn 为沿l外法线的方向导数 7 设 222 222 uuu u xyz S是V的边界曲面 证明 1 VS u udxdydzdS n 2 2 22 SVV uuuu udSdxdydzu udxdydz nxyz 式中u在V及其边界曲面上有连续的二阶偏导数 S u n 为沿曲面的外法线的方向导数 S 8 计算下列曲面积分 1 2222 2 S xy dydzyzdzdxz yx dxdy 其中是S 222 222 1 xyz abc 下侧 0z 2 coscoscos S xy dydzyz dzdxzx dxdy S 是立体 的边界面 而立体 由 1xyz 和三坐标面围成 3 S dSF n 其中 333 xyzFijk n是的外法向 S为S 2222 xyza 0 z 上侧 4 333 3233 222 S xyz yz dydzz xdzdxx ydxdy S abc 是 222 222 1 xyz abc 后侧 0 x 9 证明由曲面所包围的体积等于 S 1 coscoscos 3 S Vxyz dS 式中cos cos cos 为曲面的外法线的方向余弦 S 10 设有连续偏导数 且对任意光滑闭