关于经济增长的数学建模论文.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 河南理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李宗蔚 2. 周广鑫 3. 卿都 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2011年7月 30 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 针对经济增长问题的数学模型摘 要随着经济的快速增长,研究GDP显的的越来越重要。本文就常见的工业、建筑业及农林渔业三个领域进行研究。其中国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系实际上就是GDP与投资及总人口的自然增长率之间的关系。针对问题一,利用Excel分析工业值、建筑业及农林渔业产值分别占GDP比例可以得到对应的数量关系,通过求散点图,线性回归得到它们与GDP的关系。之后通过Excel建立工业、建筑业及农林渔业产值各自的增长曲线然后建立散点图,线性回归分析得出它们的增长函数，并进行未来的预测。针对问题二,根据经济学中的Cobb-Douglas生成函数和投资与劳动力增长的散点图,可进行线性回归分析，构建函数。之后通过对近几年来的数据来验证函数的准确度。本论文采用了大量的图表和数据作为理论依据,并建立了多个函数模型,再通过相对误差来选取最佳函数模型。本论文的数学模型的推广上有很大的发展空间,可推广与多个领域.比如体育,军事,教育等。 关键词：折线图 Cobb-Douglas生成函数 线性回归 最优拟合度 一. 问题重述1.1问题背景国内生产总值(Gross Domestic Product,简称GDP)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和服务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。它不但可反映一个国家的经济表现，更可以反映一国的国力与财富。1.2问题重述：(1) 建立国内生产总值与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，利用数据对未来经济做出预测；(2) 讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系。利用数据验证其结果。二 模型的假设与符号说明2.1模型的假设(1)问题一中假设只考虑工业、建筑业及农林渔业产值分别与GDP的关系。(2)问题一中假设工业值、建筑业及农林渔业之间没有相互影响。也就是工业、建筑业及农林渔业之间没有函数关系。(3)问题二中假设只考虑国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，不考虑其他因素。(4)不考虑特殊情况,排除不相关因素。(5)假设它们之间存在函数关系。(6)假设附录四、附录五、附录六中所给数据都是客观真实的。2.2符号说明符号符号说明在t年工业值占GDP总量的比例在t年建筑业产值占GDP总量的比例在t年农林渔业产值占GDP总量的比例在t年的工业产值在t年的建筑业产值在t年的农林渔业产值在t年的GDP总量在t年的投资总量在t年的劳动力投资在GDP中占有的份额劳动力在GDP中占有的份额内部系数单位劳动力的GDP单位劳动力的投资年份3. 问题分析(1)问题一,根据附录一中的表格可以得出工业、建筑业及农林渔业产值分别占GDP比例；利用Excel根据线性回归得到相关的函数。然后可以通过相对误差以此来检验函数的准确性。然后通过附件一的数据来得出工业值、建筑业及农林渔业产值的增长曲线,以此来推导出函数表达式.来对未来进行预测,然后可以有上一步中的函数来进行相互验证。(2)问题二中可以根据函数来进行预算。根据线性规划可以预测出和然后通过数值推出和。然后通过折线图作出的图形再作比较。验证函数构造的准确度。四.问题一的解答1. (1)由图1利用Excel根据折线图得到如下模型：线性函数：对数函数： 指数函数： 图1乘幂函数： 多项式函数（5阶）：最后经过Excel拟合优度分析（见附录三）得到的最优函数是： 图2（2）由图1可看出建筑业产值占GDP总量的比例所呈关系, 利用Excel根据折线点图得到如下模型:线性函数： 对数函数： 指数函数：乘幂函数：多项式函数（5阶）： 最后经过Excel拟合优度分析（见附录三）得到的最优函数是：图3（3）由图1并不能明确看出农林渔业产值占GDP总量的比例关系。利用Excel根据折线图得到如下模型：线性函数：对数函数：指数函数：乘幂函数： 多项式函数（5阶）：最后经过Excel拟合优度分析（见附件三）得到的最优函数是： 图42. (1)由图5看出工业产值的增长曲线近似一个指数型函数,用线性规划回归得函数.图5预测2010年的产值为152367.7亿元而官方统计为大约 155000亿元。 图6(2)由图6看出建筑业产值的增长曲线近似一个多项式,用线性规划,回归得函数 预测2010年的产值为25548.73亿元而官方统计为大约25000-26000亿元。图7(3)由图7看出农林渔业产值的镇长曲线也近似一个多项式,用线性规划,回归得函数 预测2010年的产值为37219.65亿元而官方统计为大约37000-38000亿元。5. 问题二的解答1. 用,来表示在t年的GDP总量,投资总量,劳动力总量,它们之间的关系一般记作 (1)2. 引入记号 , (2) 是单位劳动力的GDP,是单位劳动力的投资,如下假设是合理的:随的增加而增长,但增长速度递减.进而简化假设为 , , , (3)常数c可以看做成一个内部系数.由(2),(3)式可得 , (4)对(4)式两边取对数然后载关于t求导得上式表示三个变量的相对增长关率之间的线性关系,再对(4)两端关于K,L求偏导数可得 , , (5)式分别成为产量对资金和劳动力的弹性.是投资在GDP中占有的份额, 是劳动力在GDP中占有的份额.的大小直接反映了投资,劳动力而这对于创造GDP的轻重关系图82.(1)然后通过数据(见附件二)得出图8然后通过线性规划,回归得到投资增长的函数:图9图10(2)然后通过数据(见附录六)得到图9和图10然后通过线性规划,回归得到人口的增长曲线.因为劳动力和人口有着密切联系,劳动力的增长可以近似看作人口的增长.于是得到函数(3) 根据数据求得 , (4) 最后得到表达式其中 （5）把2010代入公式得到40127亿元而2010年实际GDP是39783亿元 ，由此可知函数的准确度较高。 6. 模型的评价、改进及推广1. 模型的评价(1) 函数模型构建比较成功，在数据的检验中可以看出，比较符合实际。(2) 可能由于所查数据的准确度导致函数模型的准确度下降。(3) 运用了线性规划,线性回归的方法,是所购建函数模型的可行度提高。(4) 模型的构建有大量的图表和数据作为理论依据。(5) 采取了择优法,使函数模型的准确度进一步提高。2.模型的改进由于题中信息有限，所以本文模型在实际应用中仍存在改进空间为使模型更具实用性，可在以下几方面进行改进：（1）可以考虑工业值、建筑业及农林渔业产值之间的相互影响。（2）可以考虑透析和劳动力之间的相互影响。（3）可以考虑曾佛政策所造成的影响。3.模型的推广（1）本模型可在经济的大部分领域进行推广。（2）本模型的问题处理思路可以再问题研究方面进行推广而且也是值得继续探讨和研究的。（3）如果数据的精确度越高，那模型的可推广性就越强。参考文献1 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京，高等教育出版社，2009年6月第二版2 徐雅静，段清堂，汪远征，概率论与数理统计，北京，科学出版社，2009年8月第一版附录附录一：年份x工业所占比率建筑业所占比率农林渔业所占比率19780.440851612130.0379126899790.2818856624819790.435609970130.0353962330930.3126564796719800.439213628690.0430083968990.3017392444619810.418941878060.0423564064380.3189437946519820.405650481420.0414036263470.3334428342919830.396889070770.0452088662020.33052716719840.385021478980.0437204382910.3197361789519850.381462281230.0462241097590.2836491106319860.386106052390.0511661083290.2714218302119870.38054488940.0552502916310.2682884605619880.384203498050.0538677617910.2570597636219890.381391144740.046703357330.2509230844919900.366378987510.0459122341590.2704302179619910.370522592950.0465083261130.2447608903219920.381794351730.0525294382510.2177874222219930.402381207070.0642784575980.1974973912119940.40493316390.0616251237470.1989815399919950.417160844920.0623443171770.2029042639219960.419825506380.0625491315240.1998131184419970.421740153820.0592052805020.1850080859119980.409740748650.0600518066430.178473400319990.405309921860.0584556023570.1669322962320000.408504155990.0563495865820.1524964614620010.403269489250.0548882440250.1460306181420020.398262175270.0542879390210.1388548969220030.406480070580.0554158794740.1285877518520040.408618071210.0544799794410.1341761413220050.415647048460.0557956788090.1206618259420060.419776643830.0570451130560.1105172165320070.412807611630.0571268022430.106911446220080.411917667730.0592710041820.1065747248620090.393752119710.0652143505560.10256076096附录二：年 份出生率死亡率自然增长率人口数197818.256.2512.0096259198018.216.3411.8797542198120.916.3614.5598705198222.286.6015.68100072198320.196.9013.29101654198419.906.8213.08103008198521.046.7814.26104357198622.436.8615.57105851198723.336.7216.61107507198822.376.6415.73109300198921.586.5415.04111026199021.066.6714.39112704199119.686.7012.98114333199218.246.6411.60115823199318.096.6411.45117171199417.706.4911.21118517199517.126.5710.55119850199616.986.5610.42121121199716.576.5110.06122389199815.646.509.14123626199914.646.468.18124761200014.036.457.58125786200113.386.436.95126743200212.866.416.45127627200312.416.406.01128453200412.296.425.87129227200512.406.515.89129988200612.096.815.28130756200712.106.935.17131448200812.147.065.08132129200912.137.085.05132802附录三行业拟合优度函数工业建筑业农林渔线性函数0.00030.60780.9512指数函数-0.00050.57140.9038对数函数0.00020.60890.9511多项式(2阶)函数0.26990.730.9525乘幂函数-0.00050.57260.9027上表说明各种函数里面多项式最优！2阶多项式函数0.26990.730.95253阶多项式函数0.71260.73740.97094阶多项式函数0.72590.78670.97775阶多项式函数0.75660.82150.98306阶多项式函数0.42250.77720.9799上表说明各种多项式里面五次最优！附录四年份GDP值工业建筑业农林渔业19783645.21607.0138.21027.519794062.61769.7143.81270.219804545.61996.5195.51371.619814889.52048.4207.11559.519825330.52162.3220.71777.419835985.62375.6270.61978.419847243.82789.0316.72316.119859040.73448.7417.92564.4198610274.43967.0525.72788.7198712050.64585.8665.83233.0198815036.85777.2810.03865.4198917000.96484.0794.04265.9199018718.36858.0859.45062.0199121826.28087.11015.15342.2199226937.310284.51415.05866.6199335260.014188.02266.56963.8199448108.519480.72964.79572.7199559810.524950.63728.812135.8199670142.529447.64387.414015.4199778060.832921.44621.614441.9199883024.334018.44985.814817.6199988479.235861.55172.114770.0200098000.540033.65522.314944.72001108068.243580.65931.715781.32002119095.747431.36465.516537.02003135174.054945.57490.817381.72004159586.765210.08694.321412.72005185808.677230.810367.322420.02006217522.791310.912408.624040.02007267763.7110534.915296.528627.02008316228.8130260.218743.233702.02009343464.7135239.922398.835226.0单位：亿元附录五年 份投资资金来源国家预算国内贷款利用外资自 筹 和内 资 金其他资金总量 (亿元) 1981269.8122.036.4532.91982279.3176.160.5714.51983339.7175.566.6848.31984421.0258.570.71082.71985407.8510.391.51533.61986455.6658.5137.31869.21987496.6872.0182.02241.11988432.0977.8275.32968.71989366.1763.0291.12990.31990393.0885.5284.62954.41991380.41314.7318.93580.41992347.52214.0468.75050.01993483.73072.0954.38562.41994529.63997.61769.011531.01995621.14198.72295.913409.21996625.94573.72746.615412.41997696.74782.62683.917096.519981197.45542.92617.019359.619991852.15725.92006.820169.720002109.56727.31696.322577.420012546.47239.81730.726470.020023161.08859.12085.030941.920032687.812044.42599.441284.820043254.913788.03285.754236.320054154.316319.03978.870138.720064672.019590.54334.390360.220075857.123044.25132.7116769.720087954.826443.75311.9143204.9构成(%) 198128.112.73.855.4198222.714.34.958.1198323.812.34.759.2198423.014.13.959.0198516.020.13.660.3198614.621.14.459.9198713.123.04.859.119889.321.05.963.819898.317.36.667.819908.719.66.365.419916.823.55.764.019924.327.45.862.519933.723.57.