高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理.ppt

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程 知识梳理 1 直线的倾斜角 1 定义 相交 x轴 平行 重合 0 2 范围 直线的倾斜角 的取值范围是 0 2 直线的斜率 tan 3 两直线的平行 垂直与其斜率的关系 k1 k2 k1k2 1 4 直线方程的五种形式 y y1 k x x1 y kx b ax by c 0 a2 b2 0 特别提醒 1 过p1 x1 y1 p2 x2 y2 的特殊直线方程 1 若x1 x2 且y1 y2时 直线垂直于x轴 方程为x x1 2 若x1 x2 且y1 y2时 直线垂直于y轴 方程为y y1 3 若x1 x2 0 且y1 y2时 直线即为y轴 方程为x 0 4 若x1 x2 且y1 y2 0时 直线即为x轴 方程为y 0 2 直线系方程 1 与直线ax by c 0平行的直线系方程是ax by m 0 m r且m c 2 与直线ax by c 0垂直的直线系方程是bx ay m 0 m r 3 定点直线系 y y0 k x x0 x0 y0 为定点 k为参数 4 交点直线系 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 过直线a1x b1y c1 0与a2x b2y c2 0交点的直线 不含直线a2x b2y c2 0 小题快练 链接教材练一练1 必修2p100练习t3改编 直线l xsin30 ycos150 1 0的斜率是 解析 选a 设直线l的斜率为k 则k 2 必修2p99练习t1 1 改编 已知直线l经过点p 2 5 且斜率为 则直线l的方程为 a 3x 4y 14 0b 3x 4y 14 0c 4x 3y 14 0d 4x 3y 14 0 解析 选a 由点斜式得y 5 x 2 即3x 4y 14 0 感悟考题试一试3 2016 哈尔滨模拟 已知ab 0 bc 0 则直线ax by c通过 a 第一 二 三象限b 第一 二 四象限c 第一 三 四象限d 第二 三 四象限 解析 选b 直线ax by c化为因为ab 0 bc 0 所以所以直线通过第一 二 四象限 4 2016 黄冈模拟 已知直线l1 x 2ay 1 0 与l2 2a 1 x ay 1 0平行 则a的值是 a 0或1b 1或c 0或d 解析 选c 当a 0时 两直线的斜率都不存在 它们的方程分别是x 1 x 1 显然两直线是平行的 当a 0时 两直线的斜率都存在 故它们的斜率相等 由解得a 综上 a 0或 考向一直线的倾斜角与斜率 典例1 1 直线2xcos y 3 0的倾斜角的变化范围是 2 2016 广州模拟 若直线l过点p 1 2 且与以a 2 3 b 3 0 为端点的线段相交 则直线l的斜率的取值范围是 解题导引 1 先由直线方程求出直线的斜率 再求直线倾斜角的范围 2 先确定直线pa pb的斜率 再数形结合求解 规范解答 1 选b 直线2xcos y 3 0的斜率k 2cos 由于 所以因此k 2cos 1 设直线的倾斜角为 则0 tan 1 所以 即倾斜角的变化范围是 2 如图 设pa与pb的倾斜角分别为 易求得直线pa的斜率是k1 5 直线pb的斜率是k2 当直线l由pa变化到与y轴平行的位置pc时 它的倾斜角由 增至90 斜率的取值范围为 5 当直线l由pc变化到pb的位置时 它的倾斜角由90 增至 斜率的变化范围是故斜率的取值范围是 5 答案 5 一题多解 解答本题 还有如下解法 设直线l的斜率为k 则直线l的方程为y 2 k x 1 即kx y k 2 0 因为a b两点在直线的两侧或其中一点在直线l上 所以 2k 3 k 2 3k 0 k 2 0 即 k 5 4k 2 0 所以k 5或k 即直线l的斜率k的取值范围是 5 答案 5 母题变式 1 本例题 2 中的条件不变 适合条件的直线的倾斜角是否有最小值与最大值 解析 当直线l由pa位置逆时针变化到pb位置的过程中倾斜角逐渐增大 且在pa位置取得最小值 在pb位置取得最大值 2 若将本例题 2 中点p的坐标改为p 3 2 则直线l的斜率的取值范围是什么 解析 因为p 3 2 a 2 3 b 3 0 则借助图形可知 直线l的斜率的取值范围为 规律方法 1 求倾斜角的取值范围的一般步骤 1 求出斜率k tan 的取值范围 2 利用正切函数在 0 上的图象 确定倾斜角 的取值范围 2 倾斜角与斜率的关系当 且由0增大到时 k由0增大到 当 时 k也是关于 的单调函数 当 在此区间内由增大到 时 k由 趋近于0 k 0 3 斜率的求法 1 定义法 若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值 一般根据k tan 求斜率 2 公式法 若已知直线上两点a x1 y1 b x2 y2 一般根据斜率公式k x1 x2 求斜率 易错提醒 求倾斜角时要注意斜率是否存在 变式训练 1 2016 安阳模拟 设点p是曲线y 上的任意一点 p点处切线倾斜角 的取值范围是 解析 选c 因为y 故切线斜率k 切线倾斜角 的取值范围是 2 若直线l的斜率为k 倾斜角为 且 则k的取值范围是 解析 当 时 k tan 当 时 k tan 0 综上k 答案 加固训练 1 直线xsin2 ycos2 0的倾斜角的大小是 解析 选d 因为直线xsin2 ycos2 0的斜率k tan2 所以直线的倾斜角为2 2 已知直线l经过a 2 1 b 1 m2 两点 则直线l的倾斜角的取值范围为 解析 因为直线l经过a 2 1 b 1 m2 两点 所以kab 1 m2 又因为m r 所以kab 1 其倾斜角的取值范围为答案 3 2016 贵阳模拟 若直线l经过点a 1 2 在x轴上的截距的取值范围是 3 3 则其斜率的取值范围是 解析 设直线l的斜率为k 则直线方程为y 2 k x 1 在x轴上的截距为令 3答案 1 考向二两条直线的位置关系 典例2 1 若直线l1 ax 2y 6 0与直线l2 x a 1 y a2 1 0平行 则a 2 如图所示 直线l1的倾斜角 1 30 直线l1与l2垂直 则直线l1的斜率k1 直线l2的斜率k2 解题导引 1 由两直线的斜率相等 在y轴上的截距不等即可求解 2 由倾斜角与斜率的关系即可求出l1的斜率 再由垂直关系即可求出l2的斜率 规范解答 1 直线l1 ax 2y 6 0的斜率为在y轴上的截距为3 又因为直线l1与直线l2平行 所以直线l2 x a 1 y a2 1 0的斜率存在且等于在y轴上的截距为 a 1 由两直线平行得 且3 a 1 解得a 2或a 1 答案 2或 1 2 因为 1 30 则直线l1的斜率k1 tan 1 tan30 又因为直线l1与l2垂直 所以k1k2 1 k2 答案 一题多解 本题还可以用如下的方法解决 由图可知 2 1 90 120 则直线l1的斜率k1 tan 1 tan30 直线l2的斜率k2 tan 2 tan120 答案 规律方法 由一般式确定两直线位置关系的方法 变式训练 已知 abc的三个顶点为a 3 0 b 2 1 c 2 3 求 1 bc所在直线的方程 2 bc边的垂直平分线de的方程 3 过点a与bc平行的直线的方程 解析 1 因为直线bc经过b 2 1 和c 2 3 两点 由两点式得bc所在直线的方程为即x 2y 4 0 2 bc边所在直线的斜率k1 则bc的垂直平分线de的斜率k2 2 由点斜式得直线de的方程为y 2 2x 即2x y 2 0 3 bc边所在直线的斜率k1 则过点a与bc平行的直线的方程为y 0 x 3 整理得 x 2y 3 0 加固训练 1 如果直线 m 2 x m2 3m 2 y m 2与y轴平行 则m a 1或 2b 1c 1或2d 2 解析 选b 因为直线与y轴平行 所以m2 3m 2 0 解得m 1或 2 当m 1时 直线方程为x 1 当m 2时 方程 m 2 x m2 3m 2 y m 2不表示直线 舍去 综上知m 1 2 已知直线l的倾斜角为135 直线l1经过点a 3 2 b a 1 且l1与l垂直 直线l2 2x by 1 0与直线l1平行 则a b等于 a 4b 2c 0d 2 解析 选b 因为直线l的倾斜角为135 直线l1经过点a 3 2 b a 1 且l1与l垂直 所以 1 所以a 0 又直线l2 2x by 1 0与直线l1平行 所以 1 所以b 2 因此a b 2 考向三直线的方程 考情快递 考题例析 命题方向1 求直线方程 典例3 1 2016 贵阳模拟 经过点 4 0 倾斜角的正弦值为的直线的方程为 2 2016 泸州模拟 过点p 2 3 且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 解题导引 1 先求出直线的斜率 再利用点斜式即可求出直线的方程 2 对于截距相等可分为 截距都为零与截距都不为零两种情况讨论求解 规范解答 1 由题意知 直线的斜率存在 设倾斜角为 则sin 0 从而cos 则k tan 故所求直线的方程为y x 4 即x 3y 4 0 答案 x 3y 4 0或x 3y 4 0 2 当截距不为0时 设所求直线方程为即x y a 0 因为点p 2 3 在直线l上 所以 2 3 a 0 所以a 1 所求直线l的方程为x y 1 0 当截距为0时 设所求直线方程为y kx 则有3 2k 即k 此时直线l的方程为y 即3x 2y 0 综上 直线l的方程为x y 1 0或3x 2y 0 答案 x y 1 0或3x 2y 0 命题方向2 与直线方程有关的最值问题 典例4 2016 武汉模拟 过点p 4 1 作直线l分别交x y轴正半轴于a b两点 1 当 aob面积最小时 求直线l的方程 2 当 oa ob 取最小值时 求直线l的方程 解题导引 由于直线过定点 且与x y轴正半轴交于两点 所以直线在两坐标轴上的截距均为正数 因此可设直线方程的截距式 进而解决问题 规范解答 设直线l a 0 b 0 因为直线l经过点p 4 1 所以 所以ab 16 当且仅当a 8 b 2时等号成立 所以当a 8 b 2时 aob的面积最小 此时直线l的方程为即x 4y 8 0 2 因为a 0 b 0 所以 oa ob a b a b 当且仅当a 6 b 3时等号成立 所以当 oa ob 取最小值时 直线l的方程为x 2y 6 0 技法感悟 1 给定条件求直线方程的思路 1 考虑问题的特殊情况 如斜率不存在的情况 截距等于零的情况 2 在一般情况下准确选定直线方程的形式 用待定系数法求出直线方程 3 重视直线方程一般形式的应用 因为它具有广泛的适用性 2 与直线有关的最值问题的解题思路 1 借助直线方程 用y表示x或用x表示y 2 将问题转化成关于x 或y 的函数 3 利用函数的单调性或基本不等式求最值 题组通关 1 2016 银川模拟 过点a 2 3 且垂直于直线2x y 5 0的直线方程为 a x 2y 4 0b 2x y 7 0c x 2y 3 0d x 2y 5 0 解析 选a 由点斜式得所求直线方程为y 3 x 2 即x 2y 4 0 2 2016 唐山模拟 直线x 2y b 0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1 那么b的取值范围是 a 2 2 b 2 2 c 2 0 0 2 d 解析 选c 令x 0 得y 令y 0 得x b 所以所求三角形面积为且b 0 1 所以b2 4 所以b的取值范围是 2 0 0 2 3 2016 泰安模拟 过点m 3 5 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为 解析 1 当直线过原点时 直