八年级数学下册 5.1 矩形（第2课时）例题选讲课件 （新版）浙教版.ppt

第5章特殊平行四边形 5 1矩形 第2课时 矩形的判定 例1如图 已知abcd的四个内角平分线相交于点e f g h 求证 四边形efgh是矩形 分析 要证四边形efgh为矩形 而四边形efgh的四个内角的构造方式相同 只要能证明其中一个是直角 就可以同理证得其余各角也为直角 证明 四边形abcd是平行四边形 ad bc dab cba 180 ag bg分别平分 dab abc gab gba 90 g 90 同理 ghe 90 e 90 四边形efgh为矩形 注意点 矩形判定有多种方法 要结合具体条件选择最简单的证明 比如本题若用定义来证 要证两步 不如直接用判定定理更简单 变式 已知 如图 d是 abc的边ab上一点 cn ab dn交ac于点m ma mc 1 求证 cd an 2 若 amd 2 mcd 求证 四边形adcn是矩形 答案 证明 1 cn ab dac nca 在 amd和 cmn中 dac nca ma mc amd cmn 对顶角相等 amd cmn asa ad cn 又 ad cn 四边形adcn是平行四边形 cd an 2 amd 2 mcd amd mcd mdc mcd mdc md mc 四边形adcn是平行四边形 ac 2mc dn 2md ac dn 四边形adcn是矩形 矩形的动点问题 例2如图 abc中 点o是ac边上的一个动点 过点o作直线mn bc 设mn交 bca的角平分线于点e 交 bca的外角平分线于点f 1 求证 eo fo 2 当点o运动到何处时 四边形aecf是矩形 并证明你的结论 分析 1 可证它们都与oc相等 2 由于易证 ecf 90 故要使四边形aecf是矩形 只需证它是平行四边形即可 而eo fo 故只需ao oc即可 证明 1 ce平分 bca ace bce 又 mn bc bce oec ace oec eo co 同理 fo co eo fo 2 当点o运动到ac的中点时 四边形aecf是矩形 证明 eo fo 点o是ac的中点 四边形aecf是平行四边形 又 ace bce acf gcf ace acf 180 90 即 ecf 90 四边形aecf是矩形 注意点 点在运动的过程中 oce ocf始终是等腰三角形 cef始终是直角三角形 co eo fo始终成立 这些变化过程中不变的结论是解题的关键 矩形判定的应用 例3木工师傅接受了制作一个窗框的任务 要求必须是矩形 他制好后 要小明帮助检验一下是否是矩形 若你是小明 你能找出至少两种容易操作且容易测量准确的检验方法吗 请写出你的检验方法 解 方法一 量其中三个角看是不是直角 方法二 量两组对边 看是否分别相等 并且有一个角是否是直角 方法三 量两组对边 看是否分别相等 再量两条角线是否相等 分析 要检验一个四边形是否是矩形 就是按矩形的判定方法进行判定 注意点 实际问题要建模为数学问题 再来解决数学问题 例1如图 顺次连结四边形abcd各边中点得到四边形efgh 要使四边形efgh为矩形 应添加的条件是 a ab dcb ab dcc ac bdd ac bd 正答 c 错答 d 错因 由于审题不严 以为对角线相等的四边形是矩形 从而选d 导致错解 事实上 要判断的是四边形efgh 而不是四边形abcd 此外 对角线相等的四边形也不一定就是矩形 连结bd 由中位线的知识可知 顺次连结四边形abcd各边中点得到的四边形efgh一定是平行四边形 要使它为矩形 则只要有一个角为直角即可 由平行线的性质 只要原来的对角线互相垂直即可 例2如图 m n分别是abcd的边ad bc的中点 且ad 2ab bm与an交于点p cm与dn交于点q 求证 pmqn为矩形 错答 连结mn 在 abm与 cdn中 am ad bc cn mab ncd ab cd abm cdn amb cnd 又 ad bc amn cnm pmn qnm pm qn 同理 pn mq 四边形pmqn为平行四边形 又 m是边ad的中点 pmq 90 四边形pmqn是矩形 正答 连结mn 在 abm与 cdn中 am ad bc cn mab ncd ab cd abm cdn amb cnd 又 ad bc amn cnm pmn qnm pm qn 同理 pn mq 四边形pmqn为平行四边形 又 am bn且am bn 四边形abnm为平行四边形 pm pb 又 ad 2am ad 2ab am ab mpn 90 四边形pmqn是矩形 错因 上述错解在证明平行四边形的一个角是直角时没有充分的依据 矩形是特