江苏省苏中3市(南通、扬州、泰州）高三思想第一次调研测试参考答案及评分标准讲评建议.doc

江苏省苏中3市(南通、扬州、泰州）2009届高三第一次调研测试数学2009届高三第一次调研测试数学参考答案及评分标准必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 命题“R，”的否定是 2 若集合A=，B=满足AB=R，AB=，则实数m= 3 若是纯虚数，则实数a的值是 开始结束A1, S1AM S2S+1AA+ 1 S1输出SNY（第4题）4 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是 5 若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则k= 6 若直线和圆O：没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为 7 曲线C：在x=0处的切线方程为 男生女生987653 03 3 66 62 0 01 56 5 3 62 8 77（第8题）8 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是 9 已知集合，集合，在集合A中任取一个元素p，则pB的概率是 ABCD（第13题）10设实数满足 则的取值范围是 11已知a，b为不共线的向量，设条件M：；条件N：对一切，不等式恒成立则M是N的 条件12已知数列an中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(nm)满足，则a119= 13已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如右图所示，其中四边形是边长为2cm的正方形，则这个四面体的主视图的面积为 cm214约瑟夫规则：将1，2，3，n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1，3，5，7，当时，剩余的一个数为 【填空题答案】1R，; 23; 31； 45； 5；62； 7y=2x+3； 81.5； 9； 10 ；11充要； 121； 13； 142二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，向量m =, n=满足m/n.（1）求的取值范围；（2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围. 【解】(1)因为m/n， 所以， 2分因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理，得.于是.因为. 故三角形ABC为直角三角形. 5分, 因为，所以, 故. 7分(2) . 9分设，则， 11分，因为 0，故在（1，上单调递减函数. 所以.所以实数x的取值范围是. 14分16（本小题满分14分）DCPAB（第16题）在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是梯形，ADBC，ABC=90，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD.（1）求证：PA平面ABCD；（2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.（1）【证明】因为ABC=90，ADBC，所以ADAB.而平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD平面PAB, 所以ADPA. 3分 同理可得ABPA. 5分由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,所以PA平面ABCD. 7分（2）【解】（方法一）不平行. 9分证明：假定直线l平面ABCD,由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以CD. 11分同理可得lAB, 所以ABCD. 13分这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行. 14分（方法二）因为梯形ABCD中ADBC,所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T. 11分由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.同理T平面PAB. 13分即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线与平面ABCD不平行. 14分17（本小题满分15分）设a为实数，已知函数.（1）当a=1时，求函数的极值（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围【解】(1)依题有，故. 2分由x02+00+极大值极小值5分得在时取得极大值，在时取得极小值. 7分(2) 因为， 9分所以方程的两根为a1和a+1，显然，函数在x= a1取得极大值，在x=a+1是取得极小值. 11分因为方程=0有三个不等实根，所以 即 解得且.故a的取值范围是. 15分18（本小题满分15分）如图，椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，OMNF2F1yx（第18题）且. （1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系； （2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程.【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c0)，则其右准线方程为x，且F1(c, 0),F2(c, 0).2分设M，则. 4分因为，所以，即. 于是，故MON为锐角.所以原点O在圆C外. 7分 （2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c， 8分 于是M ，且 9分MN2(y1y2)2y12+y222y1y2. 12分当且仅当 y1y2或y2y1时取“=”号， 13分所以(MN)min= 2c2，于是c=1, 从而a2，b，故所求的椭圆方程是. 15分19（本小题满分16分）下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为Aij.1 4 7 10 13 4 8 12 16 20 7 12 17 22 27 10 16 22 28 34 13 20 27 34 41 （1）证明：存在常数，对任意正整数i、j，总是合数；（2）设S中主对角线上的数1，8，17，28，41，组成数列. 试证不存在正整数k和m，使得成等比数列；（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r，使得成等差数列若存在，写出的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由 （1）【证明】因为第一行数组成的数列A1j(j=1,2，)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A1 j1+(j1)33 j2，第二行数组成的数列A2j(j1,2，)是以4为首项，公差为4的等差数列，所以A2 j4+(j1)44 j 2分所以A2 jA1 j4 j(3 j2)j2，所以第j列数组成的数列 Aij(i1,2，)是以3 j2为首项，公差为 j2的等差数列，所以Aij3 j2(i1) (j2) ij2i2j4(i3) (j2) 8 5分故Aij8=(i3) (j2)是合数所以当8时，对任意正整数i、j，总是合数 6分（2）【证明】(反证法)假设存在k、m，使得成等比数列，即 7分bnAnn (n+2)24得，即， 10分又，且k、mN，k2、m3，这与Z矛盾，所以不存在正整数k和m，使得成等比数列12分（3）【解】假设存在满足条件的，那么即. 14分不妨令 得所以存在使得成等差数列 16分（注：第（3）问中数组不唯一，例如也可以）20（本小题满分16分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”. （1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论： f(x) ； g(x)sinx (x(0，). （2）若函数h(x)lnx (xM，)是保三角形函数，求M的最小值.（1）【答】f(x) 是保三角形函数，g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数.【证明】 f(x) 是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a，b，c，则abc，bca，cab，f(a) ，f(b) ，f(c) . 因为()2a2bc2()2，所以.同理可以证明：，. 所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x) 是保三角形函数. 4分g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长. 而sin1，sin，不能作为一个三角形的三边长. 所以g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数. 8分(2)【解】M的最小值为2. 10分(i)首先证明当M2时，函数h(x)lnx (xM，)是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a，b，cM，)，且abc，bca，cab，则h(a)lna，h(b)lnb，h(c)lnc.因为a2，b2，abc，所以(a1)(b1)1，所以ababc，所以lnablnc，即lnalnblnc. 同理可证明lnblnclna，lnclnalnb.所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长. 故函数h(x)lnx (xM，)，M2)，是保三角形函数. 13分(ii)其次证明当0M2时，h(x)lnx (xM，)不是保三角形函数. 当0M2时，取三个数M，M，M2M，)，因为0M2，所以MM2MM2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，而lnMlnM2lnMlnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，所以h(x)lnx 不是保三角形函数. 所以，当M2时，h(x)lnx (xM，)不是保三角形函数. 综上所述：M的最小值为2. 16分附加题部分21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤PADBCOA. 选修41：几何证明选讲如图，PA切O于点，D为的中点，过点D引割线交O于、两点求证: 【证明】因为与圆相切于， 所以， 2分 因为D为PA中点，所以DP=DA， 所以DP2=DBDC，即 5分因为， 所以， 8分所以 10分B. 选修42：矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点变成了点，点变成了点，求矩阵M.【解】设， 2分则由， 5分得 8分所以 因此. 10分C. 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2，)，半径R=，求圆C的极坐标方程.解法一：设P(，)是圆上的任意一点，则PC= R=. 4分由余弦定理，得2+2222cos()=5. 8分化简，得24cos()1=0，此即为所求的圆C的方程. 10分解法二：将圆心C (2，)化成直角坐标为(1，)，半径R=， 2分 故圆C的方程为(x1)2(y)2=5. 4分 再将C化成极坐标方程，得(cos1)2+(cos)2=5. 6分 化简，得24cos()1=0 ，此即为所求的圆C的方程. 10分D. 选修45：不等式选讲已知，求证：.【证明】因为 3分 7分 所以. 故. 10分22. 必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示.纪念币ABC概 率aa将这三个纪念币同时投掷一次, 设表示出现正面向上的个数.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(i=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求a的取值范围.【解】(1)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为0，1，2，3. , ,. 4分 所以的分布列为的数学期望为. 5分(2) ,.由和，得,即a的取值范围是. 10分23必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知用数学归纳法证明：.【证明】（1）当n=2时，左边右边，不等式成立. 2分（2）假设当n=k（）时，不等式成立，即. 4分因为，所以，于是. 6分当n=k+1时，.即当n=k+1时，不等式也成立. 9分综合（1），（2）知，对于，不等式总成立. 10分通市2009届高三第一次调研考试（数学讲评建议）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分4本题可以构造数列 ，项数对应算法中的计数变量，通项对应算法中的存储变量5奇函数的定义域中含有0时才可以用这一特殊值6由圆O到直线的距离不大于半径得，所以点在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆，故点在椭圆内，因此过点的直线与椭圆必有两个交点8男生的所有成绩的个位上数字之和为，所以男生的总成绩为，因此男生的平均成绩为，同理得女生的平均成绩为，所以男生的平均成绩与女生的平均成绩之差是9满足且的点有25个，满足且的点有6个，故所求的概率是。注意本题中条件，若去之，本题变为几何概型的题目了，建议数值较小时画出网格10由可行域得区域内的点与原点连线的斜率范围是，故令，则，根据函数在上单调递增得正确画出可行域是前提，明白的几何意义是关键，熟知函数的单调性是基本功11方法一：构造直角三角形OAB，其中，则，当点D与点B不重合时，由斜边大于直角边得，当点D与点B重合时，反之也成立。方法二：将不等式两边平方后转化为关于变量的二次不等式在上恒成立，再利用判别式解决12方法一：采用特殊值法求出分别为，由不完全归纳法得出周期为方法二：令，得，即，所以奇数项成等比数列，偶数项均为再令，得，当为奇数时，当为偶数时，故，因此周期为13构造一个边长为的正方体ABCDABCD，在此正方体中作出一个正四面体ABCD，再求解14当时，设剩余的数为，先删除所有奇数，余下的数是2，6，8，所在位置的序号的2倍等于，依次类推。假如是1至64，则必余下64这个数，所以先删除1后，剩余64个数，这时将从3开始删除，2排在了最后，故剩余的数是2。实际上当时，剩余的数必是2二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分） 本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，化边的角度入手，进而转化为分式函数的最值问题，采用求导数或者求的